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第02讲 排列与组合 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份第02讲 排列与组合 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第02讲排列与组合精讲原卷版docx、第02讲排列与组合精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：排列问题
题型二：组合问题
题型三：排列组合综合问题
角度1：相邻与相间问题
角度2：分组与分配问题
①不等分问题
②整体均分问题
③部分均分问题
题型四：相同元素分配问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：排列与组合的概念
知识点二：排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
知识点三：排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20B．90C．120D．240
【答案】C
【详解】共有种不同的选派方案．
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
3．（2022·北京师大附中高二期中）某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（ ）
A．15B．20C．30D．120
【答案】B
【详解】由题意，组成该评审委员会不同方式的种数为种
故选：B
4．(多选）（2022·全国·高二课时练习）已知，则的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【详解】因为，所以，所以，
其中，而 ，
所以的值可能是2或3．
故选：CD．
5．（2022·河北·滦南县第四中学高二期末）若，则正整数x的值是________．
【答案】1或4
【详解】解：∵，
∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．
经检验，x＝1或x＝4满足题意.
故答案为：1或4．
6．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）
【答案】120
【详解】解：从5名志愿者中选4人排列个.
故答案为：120
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：排列问题
典型例题
例题1．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种B．60种C．48种D．36种
【答案】C
【详解】甲、乙相邻共有种.
将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种.
则共有种.
故选：C.
例题2．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
A．24B．48C．144D．244
【答案】C
【详解】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空，
所以不同的放置方式有种.
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【答案】(1)96(2)48(3)72
(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(2)先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(3)先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序
同类题型归类练
1．（2022·山东济宁·高二期末）某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（ ）种排列情况.
A．18B．36C．54D．72
【答案】C
【详解】由题意可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，所以甲的名次可能是2,3,4,第5名可能为丙,丁,戊,剩余的三个人全排,即可得到甲、乙等5人的决赛名次的可能情况,即有种.
故选：C．
2．（2022·辽宁大连·高二期末）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有___________种.
【答案】240
【详解】由题意可得将2位教师看成一个整体，再与4位学生全排列，
所以共有种排法，
故答案为：240
3．（2022·吉林白山·高二期末）（1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）1728；（2）72.
【详解】解：（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列，有种不同的排法，
再将同类书进行排列，有种不同的排法，
所以一共有6×288＝1728种不同的排法．
（2）先排两端的节目有种顺序，
再排其余3个位置的节目，有种顺序，
所以一共有12×6＝72种不同的安排方法．
4．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）杭二中数学兴趣小组用“1，2，3，4，5，6”来构成四位数．
(1)共有多少个无重复数字的四位数；
(2)在这些无重复数字的四位数中有多少个是3的倍数．
【答案】(1)(2)
(1)用“1，2，3，4，5，6”这六个数字组成没有重复数字的四位数，也就是从6个数字中取出4个数字的所有排列的个数，故有；
(2)因为6个数字的和是21，是3的倍数，所以取4个数时也要是3的倍数，
就是去掉的两个数字和也是3的倍数即可．
可以去掉的组合：，，，，，所求有种．
题型二：组合问题
典型例题
例题1．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．8种B．10种C．14种D．20种
【答案】C
【详解】分两种情况，第一种：1家企业接待1名校长，1家企业接待3名校长，共有种方法；第二种：每家企业均接待2名校长，共有种方法，所以共有8+6=14种.
故选：C.
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，
然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，
由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有种方法，
根据分布乘法计数原理共有种.
故选：C
例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算式，并写出详细过程）
(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【答案】(1)30(2)80(3)34
(1)第一步从4名外科专家中抽取2名，第二步从其他5名专家中抽取2名，由分步乘法原理可得方法数为：；
(2)至少有2名外科专家可分为三类：2名外科专家4名其他专家，或者3名外科专家3名其他专家，或者4名外科专家2名其他专家，
所以方法数为；
(3)至多有2名外科专家可分两类：2名外科专家4名其他专家，或者1名外科专家5名其他专家，
方法数为：．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））从0，1，2，3，4，5这6个数字中，选出3个组成没有重复数字的三位数，各位数字之和为奇数的共有______________个．
【答案】48
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①若有0，0不能做首位数字，且剩下两位数字加和为奇数，
则必须为一个奇数一个偶数组合，
此时从5个数字中选择一个奇数一个偶数与0组成三位数，
共有=24种；
②若没0，则分为两个偶数与一个奇数组合，或三个奇数组合，
两个偶数一个奇数组成三位数有=18，
三个奇数组成三位数有=6，
此时共有6+18=24种；
由分类加法计数原理可得共有48种.
故答案为：48
2．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）若从1，2，3，4，5，6，7这7个整数中任取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有______种．
【答案】16
【详解】若3个数之和为奇数，则有1个奇数2个偶数或者3个奇数两类取法．若是1个奇数2个偶数，则有种；
若是3个奇数，则有种，故共有12＋4＝16种不同的取法．
故答案为：16.
3．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.（写出必要的数学式，结果用数字作答）
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？
【答案】(1)220(2)90(3)100
(1)从这件产品中任意抽取件，共有种
(2)从这件产品中任意抽取件，恰有件次品，
则相当于在件正品中抽取2件，在件次品中抽取1件
有种
(3)若抽出的3件中无次品，则有种
故至少有件次品的抽法有种
题型三：排列组合综合问题
角度1：相邻与相间问题
典型例题
例题1．（2022·广东潮州·高二期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30B．54C．63D．72
【答案】D
【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有.
故选：D
例题2．（2022·全国·高二单元测试）现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排．
(1)若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若要求排在正中间，且，，互不相邻，则有多少种不同的排法？
【答案】(1)720
(2)216
（1）把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球排列，则不同的排法有（种）
（2）A在正中间，所以A的排法只有1种．
因为B，C，D互不相邻，
所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧
若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有（种）；若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有（种）．
综上，所求的不同排法有（种）．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为，，，，）中的必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为，，）中的必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
【答案】(1)种
(2)种
（1）（1）先对高一、高二的节目进行全排列，有种不同的排法，
再在高一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种不同的出场顺序．
（2）（2）高一的5个节目全排列，有种不同的排法，其中在其余4个节目前面，有种排法．
高二的3个节目全排列有种不同的排法，其中在其余2个节目前面，有种排法．
初中、高一和高二的15个节目全排列有种不同的排法．
所以不同的排法共有种．
例题4．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））现有7位同学（分别编号为，，，，，，）排成一排拍照，若其中，，三人互不相邻，，两人也不相邻，而，两人必须相邻，求不同的排法总数．
【答案】种
【详解】解：因两人必须相邻，所以把看作一个整体有种排法.
又三人互不相邻，两人也不相邻，所以把排列，有种排法，产生了4个空位，再用插空法.
（1）当分别插入到中间的两个空位时，有种排法，再把整体插入到此时产生的6个空位中，有6种排法.
（2）当分别插入到中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有种排法，此时必须排在中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.
所以共有.
同类题型归类练
1．（2022·广东肇庆·高二期末）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种B．36种C．20种D．24种
【答案】B
【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有排法，
故选:B.
2．（2022·全国·高二课时练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
3．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））A，B，C，D，E五人站成一排．
(1)A，B两人相邻的不同排法有多少种？
(2)A，B，C两两不相邻的排法有多少种？
(3)A，B都与C相邻的不同排法种数有多少种？
(4)A，B，C顺序一定的排法有多少种？
【答案】(1)48(2)12(3)12(4)20
(1)第一步：将，全排列有：种不同的排法；
第二步：将，看成一个整体再与，，全排列有：种；
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
(2)第一步：将，全排列有：种不同的排法；
第二步：将，，全排列进，形成的三个空中有：种；
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
(3)第一步：将，排列在的两旁有：种不同的排法；
第二步：将，，看成一个整体再与，全排列有：种；
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
(4)因为，，顺序一定，则只需将，位置找到并排好即可，则有：种不同的排法.
4．（2022·江苏泰州·高二期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)(2)(3)
(1)先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
(2)先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
角度2：分组与分配问题
①不等分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
【答案】(1)(2)
(1)解：依题意，先选1本有种选法；
再从余下的5本中选2本有种选法；
最后余下3本全选有种方法，故共有种．
(2)解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有种．
例题2．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
【答案】（1）60(种)．（2）360(种)．
【详解】（1）根据分步计算原理可知，，
所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；
（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，
再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；
同类题型归类练
1．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
【答案】(1)60(2)360
(1)解：根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组，有种分法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有种分法；③、将剩下的1人分到丙组，有种分法；
所以共有种不同的分法；
(2)解：根据题意，分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1，有种分法；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有种分法；
所以共有种不同的分法.
2．（2022·全国·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
【答案】(1)60种(2)60种
(1)先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.
(2)由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.
②整体均分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)平均分成三份，每份2本；
(2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
【答案】(1)(2)
(1)解：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复．
不妨记6本书为、、、、、，
若第一步取了，第二步取了，第三步取了，记该种分法为，，，
则种分法中还有，，、，，、，，、，，、，，，共种情况，
而这种情况仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，
故分配方式有种．
(4)解：在（1）的基础上，还应考虑再分配，共有种．
例题2．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
（1）分成每组都是2本的三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
【答案】（1）15(种)．（2）90(种).
（1）先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)．
（2）在问题（1）的基础上再分配即可，共有分配方法＝90(种)．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)平均分给甲、乙、丙三人；
(2)平均分成三堆.
【答案(1)90种(2)15种
(1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法，
所以一共有种取法.
(2)把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人，
因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（1）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种.
所以，则.
③部分均分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
【答案】
解：无序均匀分组问题，种
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.
(1)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
(2)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
【答案】
(1)(2)
(1)99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种）.
(2)99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种）
题型四：相同元素分配问题
典型例题
例题1．（2022·河南·高二期中（理））有7本相同的笔记本作为奖品颁发给甲、乙、丙三名同学.
(1)若先将这7本笔记本分成3份，每份至少1本，有多少种不同的分法？
(2)若甲、乙、丙三名同学每人至少获得1本，并且丙同学最多获得3本，有多少种不同的分法？
(3)若这7本笔记本分别被老师写上了不同的颁奖词，并且要求甲同学恰好得到2本，乙同学至少得到1本，丙同学至少得到1本且不超过3本，有多少种不同的分法？
【答案】(1)4；(2)12；(3)525
(1)因为7本笔记本相同，，故有4种分法；
(2)若丙分得3本，则甲乙分剩下的4本，，有3种分法；
若丙分得2本，则甲乙分剩下的5本，，有4种分法；
若丙分得1本，则甲乙分剩下的6本，，有5种分法；
故共有种分法；
(3)因为7本笔记本不相同，先从7本中选2本给甲有种；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有种，
若乙3本丙2本，有种，若乙4本丙1本，有种，共有种，总共有种.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
【答案】(1)455；(2)84.
(1)问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，
从中选3个插入隔板，插法种数为.
故不同的分配方案共有455种.
(2)问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，
再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.
将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为，
因此不同的分配方案共有84种.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
2．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
3．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
名称
定义
排列
从个不同元素中取出（）个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：排列问题
题型二：组合问题
题型三：排列组合综合问题
角度1：相邻与相间问题
角度2：分组与分配问题
①不等分问题
②整体均分问题
③部分均分问题
题型四：相同元素分配问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：排列与组合的概念
知识点二：排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
知识点三：排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20B．90C．120D．240
【答案】C
【详解】共有种不同的选派方案．
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
3．（2022·北京师大附中高二期中）某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（ ）
A．15B．20C．30D．120
【答案】B
【详解】由题意，组成该评审委员会不同方式的种数为种
故选：B
4．(多选）（2022·全国·高二课时练习）已知，则的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【详解】因为，所以，所以，
其中，而 ，
所以的值可能是2或3．
故选：CD．
5．（2022·河北·滦南县第四中学高二期末）若，则正整数x的值是________．
【答案】1或4
【详解】解：∵，
∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．
经检验，x＝1或x＝4满足题意.
故答案为：1或4．
6．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）
【答案】120
【详解】解：从5名志愿者中选4人排列个.
故答案为：120
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：排列问题
典型例题
例题1．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种B．60种C．48种D．36种
【答案】C
【详解】甲、乙相邻共有种.
将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种.
则共有种.
故选：C.
例题2．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
A．24B．48C．144D．244
【答案】C
【详解】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空，
所以不同的放置方式有种.
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【答案】(1)96(2)48(3)72
(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(2)先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
(3)先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序
同类题型归类练
1．（2022·山东济宁·高二期末）某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（ ）种排列情况.
A．18B．36C．54D．72
【答案】C
【详解】由题意可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，所以甲的名次可能是2,3,4,第5名可能为丙,丁,戊,剩余的三个人全排,即可得到甲、乙等5人的决赛名次的可能情况,即有种.
故选：C．
2．（2022·辽宁大连·高二期末）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有___________种.
【答案】240
【详解】由题意可得将2位教师看成一个整体，再与4位学生全排列，
所以共有种排法，
故答案为：240
3．（2022·吉林白山·高二期末）（1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）1728；（2）72.
【详解】解：（1）用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列，有种不同的排法，
再将同类书进行排列，有种不同的排法，
所以一共有6×288＝1728种不同的排法．
（2）先排两端的节目有种顺序，
再排其余3个位置的节目，有种顺序，
所以一共有12×6＝72种不同的安排方法．
4．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）杭二中数学兴趣小组用“1，2，3，4，5，6”来构成四位数．
(1)共有多少个无重复数字的四位数；
(2)在这些无重复数字的四位数中有多少个是3的倍数．
【答案】(1)(2)
(1)用“1，2，3，4，5，6”这六个数字组成没有重复数字的四位数，也就是从6个数字中取出4个数字的所有排列的个数，故有；
(2)因为6个数字的和是21，是3的倍数，所以取4个数时也要是3的倍数，
就是去掉的两个数字和也是3的倍数即可．
可以去掉的组合：，，，，，所求有种．
题型二：组合问题
典型例题
例题1．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．8种B．10种C．14种D．20种
【答案】C
【详解】分两种情况，第一种：1家企业接待1名校长，1家企业接待3名校长，共有种方法；第二种：每家企业均接待2名校长，共有种方法，所以共有8+6=14种.
故选：C.
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，
然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，
由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有种方法，
根据分布乘法计数原理共有种.
故选：C
例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算式，并写出详细过程）
(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
【答案】(1)30(2)80(3)34
(1)第一步从4名外科专家中抽取2名，第二步从其他5名专家中抽取2名，由分步乘法原理可得方法数为：；
(2)至少有2名外科专家可分为三类：2名外科专家4名其他专家，或者3名外科专家3名其他专家，或者4名外科专家2名其他专家，
所以方法数为；
(3)至多有2名外科专家可分两类：2名外科专家4名其他专家，或者1名外科专家5名其他专家，
方法数为：．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））从0，1，2，3，4，5这6个数字中，选出3个组成没有重复数字的三位数，各位数字之和为奇数的共有______________个．
【答案】48
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①若有0，0不能做首位数字，且剩下两位数字加和为奇数，
则必须为一个奇数一个偶数组合，
此时从5个数字中选择一个奇数一个偶数与0组成三位数，
共有=24种；
②若没0，则分为两个偶数与一个奇数组合，或三个奇数组合，
两个偶数一个奇数组成三位数有=18，
三个奇数组成三位数有=6，
此时共有6+18=24种；
由分类加法计数原理可得共有48种.
故答案为：48
2．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）若从1，2，3，4，5，6，7这7个整数中任取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有______种．
【答案】16
【详解】若3个数之和为奇数，则有1个奇数2个偶数或者3个奇数两类取法．若是1个奇数2个偶数，则有种；
若是3个奇数，则有种，故共有12＋4＝16种不同的取法．
故答案为：16.
3．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.（写出必要的数学式，结果用数字作答）
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？
【答案】(1)220(2)90(3)100
(1)从这件产品中任意抽取件，共有种
(2)从这件产品中任意抽取件，恰有件次品，
则相当于在件正品中抽取2件，在件次品中抽取1件
有种
(3)若抽出的3件中无次品，则有种
故至少有件次品的抽法有种
题型三：排列组合综合问题
角度1：相邻与相间问题
典型例题
例题1．（2022·广东潮州·高二期末）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（ ）
A．30B．54C．63D．72
【答案】D
【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有.
故选：D
例题2．（2022·全国·高二单元测试）现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排．
(1)若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若要求排在正中间，且，，互不相邻，则有多少种不同的排法？
【答案】(1)720
(2)216
（1）把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球排列，则不同的排法有（种）
（2）A在正中间，所以A的排法只有1种．
因为B，C，D互不相邻，
所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧
若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有（种）；若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有（种）．
综上，所求的不同排法有（种）．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为，，，，）中的必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为，，）中的必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
【答案】(1)种
(2)种
（1）（1）先对高一、高二的节目进行全排列，有种不同的排法，
再在高一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种不同的出场顺序．
（2）（2）高一的5个节目全排列，有种不同的排法，其中在其余4个节目前面，有种排法．
高二的3个节目全排列有种不同的排法，其中在其余2个节目前面，有种排法．
初中、高一和高二的15个节目全排列有种不同的排法．
所以不同的排法共有种．
例题4．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））现有7位同学（分别编号为，，，，，，）排成一排拍照，若其中，，三人互不相邻，，两人也不相邻，而，两人必须相邻，求不同的排法总数．
【答案】种
【详解】解：因两人必须相邻，所以把看作一个整体有种排法.
又三人互不相邻，两人也不相邻，所以把排列，有种排法，产生了4个空位，再用插空法.
（1）当分别插入到中间的两个空位时，有种排法，再把整体插入到此时产生的6个空位中，有6种排法.
（2）当分别插入到中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有种排法，此时必须排在中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.
所以共有.
同类题型归类练
1．（2022·广东肇庆·高二期末）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（ ）
A．48种B．36种C．20种D．24种
【答案】B
【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有排法，
故选:B.
2．（2022·全国·高二课时练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
3．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））A，B，C，D，E五人站成一排．
(1)A，B两人相邻的不同排法有多少种？
(2)A，B，C两两不相邻的排法有多少种？
(3)A，B都与C相邻的不同排法种数有多少种？
(4)A，B，C顺序一定的排法有多少种？
【答案】(1)48(2)12(3)12(4)20
(1)第一步：将，全排列有：种不同的排法；
第二步：将，看成一个整体再与，，全排列有：种；
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
(2)第一步：将，全排列有：种不同的排法；
第二步：将，，全排列进，形成的三个空中有：种；
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
(3)第一步：将，排列在的两旁有：种不同的排法；
第二步：将，，看成一个整体再与，全排列有：种；
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
(4)因为，，顺序一定，则只需将，位置找到并排好即可，则有：种不同的排法.
4．（2022·江苏泰州·高二期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)(2)(3)
(1)先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
(2)先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
角度2：分组与分配问题
①不等分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
【答案】(1)(2)
(1)解：依题意，先选1本有种选法；
再从余下的5本中选2本有种选法；
最后余下3本全选有种方法，故共有种．
(2)解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有种．
例题2．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
【答案】（1）60(种)．（2）360(种)．
【详解】（1）根据分步计算原理可知，，
所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；
（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，
再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；
同类题型归类练
1．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
【答案】(1)60(2)360
(1)解：根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组，有种分法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有种分法；③、将剩下的1人分到丙组，有种分法；
所以共有种不同的分法；
(2)解：根据题意，分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1，有种分法；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有种分法；
所以共有种不同的分法.
2．（2022·全国·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
【答案】(1)60种(2)60种
(1)先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.
(2)由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，
故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.
②整体均分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)平均分成三份，每份2本；
(2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
【答案】(1)(2)
(1)解：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复．
不妨记6本书为、、、、、，
若第一步取了，第二步取了，第三步取了，记该种分法为，，，
则种分法中还有，，、，，、，，、，，、，，，共种情况，
而这种情况仅是、、的顺序不同，因此只能作为一种分法，
故分配方式有种．
(4)解：在（1）的基础上，还应考虑再分配，共有种．
例题2．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？
（1）分成每组都是2本的三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．
【答案】（1）15(种)．（2）90(种).
（1）先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)．
（2）在问题（1）的基础上再分配即可，共有分配方法＝90(种)．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)平均分给甲、乙、丙三人；
(2)平均分成三堆.
【答案(1)90种(2)15种
(1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法，
所以一共有种取法.
(2)把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人，
因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（1）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种.
所以，则.
③部分均分问题
典型例题
例题1．（2022·广东·广州科学城中学高二期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
分成三份，1份4本，另外两份每份1本.
【答案】
解：无序均匀分组问题，种
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.
(1)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
(2)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
【答案】
(1)(2)
(1)99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种）.
(2)99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种）
题型四：相同元素分配问题
典型例题
例题1．（2022·河南·高二期中（理））有7本相同的笔记本作为奖品颁发给甲、乙、丙三名同学.
(1)若先将这7本笔记本分成3份，每份至少1本，有多少种不同的分法？
(2)若甲、乙、丙三名同学每人至少获得1本，并且丙同学最多获得3本，有多少种不同的分法？
(3)若这7本笔记本分别被老师写上了不同的颁奖词，并且要求甲同学恰好得到2本，乙同学至少得到1本，丙同学至少得到1本且不超过3本，有多少种不同的分法？
【答案】(1)4；(2)12；(3)525
(1)因为7本笔记本相同，，故有4种分法；
(2)若丙分得3本，则甲乙分剩下的4本，，有3种分法；
若丙分得2本，则甲乙分剩下的5本，，有4种分法；
若丙分得1本，则甲乙分剩下的6本，，有5种分法；
故共有种分法；
(3)因为7本笔记本不相同，先从7本中选2本给甲有种；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有种，
若乙3本丙2本，有种，若乙4本丙1本，有种，共有种，总共有种.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
【答案】(1)455；(2)84.
(1)问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，
从中选3个插入隔板，插法种数为.
故不同的分配方案共有455种.
(2)问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，
再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.
将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为，
因此不同的分配方案共有84种.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
2．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
3．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
名称
定义
排列
从个不同元素中取出（）个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合
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