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第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第06讲向量法求空间角含探索性问题讲原卷版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx、第06讲向量法求空间角含探索性问题讲解析版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共103页， 欢迎下载使用。
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，所以，因为平面，平面，
所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，
，，，
设平面的法向量为，
所以有，
设直线与平面所成角为，
所以，
故选：B
3．（2022·全国·高二）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为，设二面角C—AB—O的大小为θ，则csθ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设平面ABO的法向量为，设，
则，于是有：，
因此，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．或4B．C．D．
【答案】D
如图,在三棱锥中, , ,∴.
∵PB⊥平面ABC,以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
可知,.因为，所以,所以PB=4,则P(0，0，4).设,且0<λ<1,则,可知，
所以,
，
因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为,
所以
解得：或（舍去）.
所以.
故选：D
5．（2022·全国·高二）在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：异面直线所成的角
典型例题
例题1．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D
例题2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
建如图所示空间直角坐标系，得，，所以，所以.
故选：D
例题3．（2022·广西·高三阶段练习（文））某圆锥的正视图如图所示，为该圆锥的顶点，分别是圆锥底面和侧面上两定点，为其底面上动点.四点在其正视图中分别对应点.若，，，则异面直线与所成角最大时，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
根据题意还原圆锥，建立如下图所示空间直角坐标系，
点在轴正半轴原点与底面圆周的交点之间运动，因为圆锥母线为2，
且在正视图中，，，所以底面圆直径为，
底面半径为，设.
所以，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
所以，要使异面直线与所成角最大，即最小，
故当时，取最小值，
所成角最大，此时.
故选：B.
例题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））现有四棱锥（如图），底面是矩形，平面.，，点，分别在棱，上.当空间四边形的周长最小时，异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】##
将沿旋转到平面内，如下图所示，
设点关于对称的点为，线段与的交点为，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为，所以，
同理可得：，
因为底面ABCD是矩形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B
2．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，，，
则，，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值．
故选：A．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
【答案】##
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
5．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））空间四边形中，，，，，，，则与所成角的余弦值等于___________．
【答案】
，
，
所以，，
所以，.
所以，与所成角的余弦值为.
故答案为：.
6．（2022·山西太原·一模（理））已知在三棱锥中，平面，，，若三棱锥的外接球体积为，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
【答案】##0.5
在三棱锥中，因平面，平面，则，，而，
，平面，因此，平面，又平面，则，
取PC中点O，连接BO，AO，如图，于是得，即有O是三棱锥的外接球球心，
由得：，，而，则有，
而，，则，
从而有，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知正方体的棱长为4，在棱上，且1，则直线与平面所成角的正弦值为___________．
【答案】
如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，
所以有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，则由
，令，得，
设直线BM与平面所成角为，则
，
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，.
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设与平面所成角为，
则.
故答案为：
例题3．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知是圆柱底面圆的一条直径，是圆柱的一条母线，为底面圆上一点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________．
【答案】##
是底面圆直径，则，又是圆柱母线，则平面，
以为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，
，所以，而，所以四边形是正方形，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，，
设直线PC与平面PAB所成角为，
所以，
故答案为：．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，､､两两垂直，，，，是的中点，则与平面所成的角的正切值为___________.
【答案】2
因为两两垂直， 所以以为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，
所以，，，，
，由于底面，所以是底面的法向量，
且，设与平面所成的角为，
所以，
所以，所以.
即与平面所成的角正切值为.
故答案为：2.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是对角线BD1上的点，且BE∶ED1=1∶3，则AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值是___________.
【答案】
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
令正方体棱长为4，则，，，
依题意，，，
平面BCC1B1的一个法向量为=(0，4，0)，
设AE与平面BCC1B1所成的角为θ，则有，
所以AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值是.
故答案为：
2．（2022·全国·高二单元测试）在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
【答案】
取BD中点O，连接AO、CO，
因为，所以、为等边三角形，
因为O为BD中点，
所以，
因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，平面ABD，
所以平面BCD，
又平面BCD，
所以，，
以O为原点，OC、OD、OA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设菱形ABCD的边长为2，
则
所以，
设平面ABC的法向量，
则，即，
令，则，即，
设AD与平面ABC所成角为，
则，
所以AD与平面ABC所成角的正弦值为.
故答案为：
3．（2022·海南·模拟预测）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，若平面轴，且，则直线与平面所成的角的正弦值为___________.
【答案】
解：，，
由平面平行于y轴，可设平面的法向量为，
因为，
所以，即，所以可取，
所以，
所以直线AC与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，和所在平面垂直，且，，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
设，在平面、平面内分别作直线的垂线、分别交、于点、，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，，平面，
因为，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系，
则、，，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
典型例题
例题1．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
∴，令，可得，
又，
设直线与平面所成的角为，则
，又，
∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.
故选：C.
例题2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥中， 所有棱的长均为，点在棱上， 满足， 点在棱上运动， 设直线与平面所成角为， 则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
取中点，连接；
三棱锥各棱长均为，
在底面内的投影为的中心，；
以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，；
轴平面，平面的一个法向量；
设，，，，
即，，
；
当时，，；
当时，；设，则；
当时，，，；
综上所述：的最小值为.
故选：A.
例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，，，.
试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大.
【答案】(1)(2)
平面，由（1）得三线两两重直，
以为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
则，
，
设平面的法向量为，
则令得，
设，则，
，
设直线与平面所成的角为，
则，
若，此时，点与重合；
若，令，则，
当，即为的中点时，取得最大值.
例题4．（2022·湖南·模拟预测）已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，，分别是，中点，点是棱上的动点．
(1)证明：平面；
(2)请确定点的位置，使得直线与平面所成的角取最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)F为PC的中点
(1)连接AC，∵底面ABCD为菱形，，
∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴，
又，
∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD，
∴平面PAD，
(2)由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，．
设，．
设平面PCD的法向量为，
则
令，则，，
∴．
设直线AF与平面PCD所成的角为，
则，
当时，最大，此时F为PC的中点．
题型归类练
1．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥的高是底面上圆的直径，，是圆上的动点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
做交圆上一点，
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，且，
当时，与重合，此时构不成平面，
当时，与重合，此时构不成平面，
即，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，设直线与平面所成的角为，
，
令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
故选：C.
2．（2022·安徽·高二开学考试）已知正方体的棱长为3，点E在上底面内(不包含边界)，若，则AE与平面所成角的正弦值的最大值为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
，即，∴，
∴点E为在四边形内，以为圆心，1为半径的四分之一圆上，
设，且，
∴，，.
设平面的法向量，
则，令，则.
设AE与平面所成角为，
则，
当且仅当时，有最大值.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是平面内一动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为_______
【答案】
解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，
设，，，
则，，，，，，，0，，
，
，
，，
记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，
，
点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的单位圆，
，，
又为锐角或直角，，
直线与直线所成角的余弦值的最大值为．
故答案为：．
4．（2022·江苏淮安·高二期末）已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．
(1)求证：平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
(1)由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，
平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，
CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；
(2)
取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，设，则，则有，，
设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，
设PC与平面MAD所成角为，则，令，，
则，当即时，有最小值，即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.
5．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在直三棱柱中，，M为的中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若是正三角形，P为线段上的动点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：在直三棱柱中，平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又在矩形中，，，即，
所以，
因为，平面，所以平面，
(2)解：取的中点为，连接，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，取的中点，连接，同理可得平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，设，，则，
易知平面的法向量为，设与平面所成角为，设，
所以
当时，
当时，，因为在上单调递减，
所以关于单调递减，
故，
综上可得
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点.
(1)求证：当点为线段的中点时，平面；
(2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当或时，与平面所成角的正弦值为，理由见解析
(1)连接，，
∵点为线段的中点，四边形为矩形，
∴，，三点共线，则点为的中点.
∵点，分别为和的中点，
∴.
在直三棱柱中，，
∴平面，
又平面，∴.
又，∴四边形为正方形，
∴.
∵，
∴平面.
∵，
∴平面.
(2)以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
设，∴，
即，∴.
设平面的一个法向量为，
，.
由，得，令，得，
又.
设与平面所成角为，
由题意得
，
求得或.
故当或时，与平面所成角的正弦值为.
例题2．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、、分别是、、的中点.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)点在线段上，若直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.
【答案】(1)(2)
(1)∵、分别是、的中点，∴，
又三棱柱中，，故.
又平面，平面，所以平面.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，，
所以，，
取向量为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，，则，
所以.
由图示得平面与平面的夹角为锐角，所以，平面与平面的夹角的余弦值是；
(2)设，，点，所以，，，
设平面的法向量为，
则，可得，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，整理可得，即.，
因为，解得.则，即线段的长为.
例题3．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，四棱锥中，平面，与底而所成的角为，底面为直角梯形，
(1)求证：平面平面：
(2)在线段上是否存在点，使与平面所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析；
(1)平面，与平面所成的角为，，
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
，， ，，
， ，，
所以，，
所以，，
即，且，所以平面，
平面，所以平面平面.
(2)存在，理由如下，
，，，，，
设，
所以，，
因为平面，平面，所以，又，
且，所以平面，
所以是平面PAB的一个法向量，
所以，
解得，或，
当时，点与重合，不符合题意，舍去，
所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且.
题型归类练
1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体．
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2).
(1)∵平面平面，平面
平面平面，，
∴平面；
(2)（2）建系如图：
设平面的法向量，，，，
，
，则，
设，，
，
解得或（舍），
，∴.
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）如图，三棱柱所有的棱长为2，，M是棱BC的中点.
（Ⅰ）求证：平面ABC;
（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，.
解：（1）证明：，，是中点，
，
又，
，
，
平面，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知平面A1BC的法向量为，，，，，，
令，
则，
设直线BP与平面A1BC 所成角为，则
,
解得或（舍），
所以当时，满足题意，此时.
3．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.
(1)求证：平面DEF；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.
(1)因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接FN，如图，
在中，F，N分别为PA，PC的中点，则有，而直线平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF.
(2)因平面，平面，则，而，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
直角梯形中，，，
则，，
设平面PBC的法向量为，则，令，得，
假定存在点Q满足条件，设，整理得，
则，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，
所以，解得，即点Q与E重合，
所以在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，且.
4．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥的底面为矩形，底面ABCD．过AD的平面分别与线段相交于点E，F．
(1)证明：；
(2)若，试问是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析，
(1)因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以.
(2)存在，理由如下，
分别以所在的直线为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，， ，，
设，所以，，
设为平面的一个法向量，
则，，令则，
所以，设直线PB与平面所成角，
所以，
解得，
所以时， 为的中点时，此时存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为，此时，.
5．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
(1)求二面角的大小；
(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为
(1)由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
(2)假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·广东·兴宁市第一中学高一阶段练习）若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】B
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则，，，，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的平面角为，可以看出为锐角，则，则，故.
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的正弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，
∴，
设平面A1ED的法向量为，
则有 令得：，
∴.
∵平面ABCD的法向量为，
∴，则，
故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，，则二面角的正弦值为______.
【答案】
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则，
.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）在四棱锥中，平面，是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为平面，是矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
又，，，
所以,
因为平面，所以平面的一个法向量为，
而,
设平面的法向量为，
则，取，则平面的法向量，
，所以，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角为，
故选：A.
2．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【答案】##
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
所以，，，.
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则.
故答案为：
3．（2022·全国·高二单元测试）在长方体中，AB＝2，AD＝1，，点E为的中点，则二面角的余弦值为______.
【答案】
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
则，，，，
，，设平面的一个法向量为
则，令，得，
易知平面的一个法向量为，
而二面角为锐角，故
故答案为：
角度2：求平面与平面所成角(定值探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点且满足，记.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点．
(1)当平面时，求的值；
(2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改变，
(1)取的中点为，连接，，
因为，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
(2)取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，即，
令，即.
又平面的法向量，
所以，
即随着值的变化，二面角的大小不变．
且.
所以二面角的正弦值为.
例题2．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，，，为棱上异于，的点．
(1)若为棱的中点，求证：直线平面；
(2)若存在点为棱上异于，的点，使得直线与所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取的中点，连接，，如图，
为的中点，
，且，
又，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面．平面．
直线平面；
(2)解：由题意知，，，，
，即，
又，，平面，
平面，
平面，，
又，，，两两相互垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
设，则，，
在棱上，设，
即，，
易知平面的法向量为，，
设与平面所成角为，
则，解得，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，则，，
则，
，
由题知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
题型归类练
1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面的上方.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析.(2)2
(1) ，又
所以 ， ，所以平面，
又平面
所以，平面平面.
(2)因为 ，结合(1)问易得 两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系
设AD=t ，则：
， ，
所以 ， ，设平面的法向量为
由 得
令 则
又平面ABE
所以取平面ABE的法向量为
解得 或 (舍).
即 ，所以四边形ABCD的面积 ，由题知
， ，平面ABCD
所以BE为四棱锥 的高，所以四棱锥的体积为
.
故四棱锥的体积为2.
2．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.
(1)取棱的中点O，连接．
因为四边形是菱形，所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
(2)因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取得．
假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取，得．
由，
解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
3．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥中，．
(1)证明：平面平面．
(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取的中点，连接、．
因为，
则，
所以，即．
又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
(2)解：如图，建立空间直角坐标系，
则，则，，，．
令，
则．
设平面的法向量为，
则，取．
设直线与平面所成的角为，
则，
解得或（舍去），
故
设平面的法向量为，
所以，取．
记二面角的平面角为，所以．
4．（2022·海南中学高三阶段练习）如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)依题意，，
因为，所以，
由于平面平面ABCD，且交线为AB，平面ABCD，
所以平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，
所以平面SAB，
故.
(2)由上可知，平面SAB，所以，
由题意可知，，
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设，则，，
设是平面QBD的一个法向量，
则，令，可得
由于是平面CBD的一个法向量，
依题意，二面角的余弦值为，
所以，
解得，
此时，，
即线段BQ的长为.
角度3：已知二面角求其他参数（最值探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
如图以点D为坐标原点建立空间坐标系
设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：
B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)
，又
即，，所以
所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，
且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大
当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0
当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，
即为二面角B-AD-P的平面角，
所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确
故选：B.
例题2．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱不包括端点上一动点，是的中点.
(1)若，求的长;
(2)当在棱不包括端点上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)1；(2).
(1)正三棱柱的所有棱长均为2，而E是AB的中点，则，
而平面，平面，，又，平面，
因此，平面，而平面，即有，因，
，平面，于是得平面，又平面，则，
正方形中，，，，
所以BD的长是1.
(2)在平面内过点E作，由（1）知，两两垂直，
以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
设平面的法向量，则，令，得，
平面的法向量，设平面与平面ABC的夹角为，
则，当时，，
所以平面与平面ABC的夹角的余弦值的最大值是.
题型归类练
1．（2022·重庆市长寿中学校高一阶段练习）如图，在三棱锥中，是等边三角形，点A在平面上的投影是线段BC的中点E，AB=AD=AC，点是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若BC=2BD，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
【答案】(1)证明见解析；(2)G为BD中点.
(1)因为点A在平面上的投影是点E，∴平面BCD，∴，
∵AD=AC，点是的中点，∴
∵,平面，
∴平面
又∵平面，
∴平面平面
(2)∵AB=AD=AC，点A在平面上的投影是点E，
∴EB=ED=EC，∴B，C，D在以E为圆心的圆上，∴∠BDC=90°
∵BC=2BD，∴∠BCD=60°，
在平面BCD中，过E作EH⊥BD，垂足为 H，以EH为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=4则，，
设，则，，，
设平面AEG的法向量为
由可得
设平面ACD的法向量为
由可得，
设平面AEG与平面ACD所成锐二面角为，
则，
∴当y=0时，最大，此时锐二面角最小，
故当G为BD中点时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角最小.
2．（2022·山西运城·模拟预测（理））如图，在中，，，为的外心，平面，且．
（1）求证：平面；并计算与平面之间的距离．
（2）设平面平面，若点在线段上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析，（2）
（1）如图，连接，交于点，为的外心，
所以，
所以.
故和都为等边三角形，
即四边形为菱形，
所以且.
又平面、平面 ,
所以平面.
则到平面的距离即为点到平面的距离，记为 ,
由题意知：,
所以， .
又因为
即
解得：.
（2）因为平面，平面，平面平面=，
所以.
如图所示：以点为原点建系.则.
设,
所以.
设平面的法向量为.
则
所以直线与平面所成角的正弦值为：,
即当时直线与平面所成角取最大值.
此时，
所以,
设平面的法向量为.
则令则.
所以，即
则二面角的正弦值.
3．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）如图，在平行六面体中，底面，．
(1)证明：；
(2)设点为线段上一点（异于D，），当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接，因为
所以，在中，由余弦定理得
，即，
所以，即，
因为底面，所以，
因为，
所以平面，
所以.
(2)解：结合（1）可知，两两垂直，故以为坐标原点，分别以的方向为轴的方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，即，
因为点为线段上一点（异于D，）,
所以，设，
所以，，
设是平面的一个法向量，
则，即，即
故令，则，即
由于两两垂直，且，
所以平面，故平面的一个法向量可以为，
设平面与平面夹角为，
则
所以，当时，即时，取得最大值，
所以，.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
(1)因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
2．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
3．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)(2)
(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
(2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
(1)过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
(2)因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(1)取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，所以，因为平面，平面，
所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，
，，，
设平面的法向量为，
所以有，
设直线与平面所成角为，
所以，
故选：B
3．（2022·全国·高二）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为，设二面角C—AB—O的大小为θ，则csθ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设平面ABO的法向量为，设，
则，于是有：，
因此，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．或4B．C．D．
【答案】D
如图,在三棱锥中, , ,∴.
∵PB⊥平面ABC,以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
可知,.因为，所以,所以PB=4,则P(0，0，4).设,且0<λ<1,则,可知，
所以,
，
因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为,
所以
解得：或（舍去）.
所以.
故选：D
5．（2022·全国·高二）在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：异面直线所成的角
典型例题
例题1．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D
例题2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
建如图所示空间直角坐标系，得，，所以，所以.
故选：D
例题3．（2022·广西·高三阶段练习（文））某圆锥的正视图如图所示，为该圆锥的顶点，分别是圆锥底面和侧面上两定点，为其底面上动点.四点在其正视图中分别对应点.若，，，则异面直线与所成角最大时，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
根据题意还原圆锥，建立如下图所示空间直角坐标系，
点在轴正半轴原点与底面圆周的交点之间运动，因为圆锥母线为2，
且在正视图中，，，所以底面圆直径为，
底面半径为，设.
所以，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
所以，要使异面直线与所成角最大，即最小，
故当时，取最小值，
所成角最大，此时.
故选：B.
例题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））现有四棱锥（如图），底面是矩形，平面.，，点，分别在棱，上.当空间四边形的周长最小时，异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】##
将沿旋转到平面内，如下图所示，
设点关于对称的点为，线段与的交点为，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为，所以，
同理可得：，
因为底面ABCD是矩形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B
2．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，，，
则，，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值．
故选：A．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
【答案】##
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，
设点，，，
因为，所以，，即点，
，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
5．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））空间四边形中，，，，，，，则与所成角的余弦值等于___________．
【答案】
，
，
所以，，
所以，.
所以，与所成角的余弦值为.
故答案为：.
6．（2022·山西太原·一模（理））已知在三棱锥中，平面，，，若三棱锥的外接球体积为，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
【答案】##0.5
在三棱锥中，因平面，平面，则，，而，
，平面，因此，平面，又平面，则，
取PC中点O，连接BO，AO，如图，于是得，即有O是三棱锥的外接球球心，
由得：，，而，则有，
而，，则，
从而有，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知正方体的棱长为4，在棱上，且1，则直线与平面所成角的正弦值为___________．
【答案】
如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，
所以有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，则由
，令，得，
设直线BM与平面所成角为，则
，
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，.
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设与平面所成角为，
则.
故答案为：
例题3．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知是圆柱底面圆的一条直径，是圆柱的一条母线，为底面圆上一点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________．
【答案】##
是底面圆直径，则，又是圆柱母线，则平面，
以为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，
，所以，而，所以四边形是正方形，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，，
设直线PC与平面PAB所成角为，
所以，
故答案为：．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，､､两两垂直，，，，是的中点，则与平面所成的角的正切值为___________.
【答案】2
因为两两垂直， 所以以为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接，
所以，，，，
，由于底面，所以是底面的法向量，
且，设与平面所成的角为，
所以，
所以，所以.
即与平面所成的角正切值为.
故答案为：2.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是对角线BD1上的点，且BE∶ED1=1∶3，则AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值是___________.
【答案】
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
令正方体棱长为4，则，，，
依题意，，，
平面BCC1B1的一个法向量为=(0，4，0)，
设AE与平面BCC1B1所成的角为θ，则有，
所以AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值是.
故答案为：
2．（2022·全国·高二单元测试）在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
【答案】
取BD中点O，连接AO、CO，
因为，所以、为等边三角形，
因为O为BD中点，
所以，
因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，平面ABD，
所以平面BCD，
又平面BCD，
所以，，
以O为原点，OC、OD、OA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设菱形ABCD的边长为2，
则
所以，
设平面ABC的法向量，
则，即，
令，则，即，
设AD与平面ABC所成角为，
则，
所以AD与平面ABC所成角的正弦值为.
故答案为：
3．（2022·海南·模拟预测）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，若平面轴，且，则直线与平面所成的角的正弦值为___________.
【答案】
解：，，
由平面平行于y轴，可设平面的法向量为，
因为，
所以，即，所以可取，
所以，
所以直线AC与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，和所在平面垂直，且，，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
设，在平面、平面内分别作直线的垂线、分别交、于点、，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，，平面，
因为，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系，
则、，，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
典型例题
例题1．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
∴，令，可得，
又，
设直线与平面所成的角为，则
，又，
∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大.
故选：C.
例题2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥中， 所有棱的长均为，点在棱上， 满足， 点在棱上运动， 设直线与平面所成角为， 则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
取中点，连接；
三棱锥各棱长均为，
在底面内的投影为的中心，；
以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，；
轴平面，平面的一个法向量；
设，，，，
即，，
；
当时，，；
当时，；设，则；
当时，，，；
综上所述：的最小值为.
故选：A.
例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，，，.
试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大.
【答案】(1)(2)
平面，由（1）得三线两两重直，
以为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
则，
，
设平面的法向量为，
则令得，
设，则，
，
设直线与平面所成的角为，
则，
若，此时，点与重合；
若，令，则，
当，即为的中点时，取得最大值.
例题4．（2022·湖南·模拟预测）已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，，分别是，中点，点是棱上的动点．
(1)证明：平面；
(2)请确定点的位置，使得直线与平面所成的角取最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)F为PC的中点
(1)连接AC，∵底面ABCD为菱形，，
∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴，
又，
∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD，
∴平面PAD，
(2)由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，．
设，．
设平面PCD的法向量为，
则
令，则，，
∴．
设直线AF与平面PCD所成的角为，
则，
当时，最大，此时F为PC的中点．
题型归类练
1．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥的高是底面上圆的直径，，是圆上的动点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
做交圆上一点，
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，且，
当时，与重合，此时构不成平面，
当时，与重合，此时构不成平面，
即，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，设直线与平面所成的角为，
，
令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
故选：C.
2．（2022·安徽·高二开学考试）已知正方体的棱长为3，点E在上底面内(不包含边界)，若，则AE与平面所成角的正弦值的最大值为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
，即，∴，
∴点E为在四边形内，以为圆心，1为半径的四分之一圆上，
设，且，
∴，，.
设平面的法向量，
则，令，则.
设AE与平面所成角为，
则，
当且仅当时，有最大值.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是平面内一动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为_______
【答案】
解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，
设，，，
则，，，，，，，0，，
，
，
，，
记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，
，
点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的单位圆，
，，
又为锐角或直角，，
直线与直线所成角的余弦值的最大值为．
故答案为：．
4．（2022·江苏淮安·高二期末）已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．
(1)求证：平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
(1)由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，
平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，
CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；
(2)
取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，设，则，则有，，
设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，
设PC与平面MAD所成角为，则，令，，
则，当即时，有最小值，即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.
5．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在直三棱柱中，，M为的中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若是正三角形，P为线段上的动点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：在直三棱柱中，平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又在矩形中，，，即，
所以，
因为，平面，所以平面，
(2)解：取的中点为，连接，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，取的中点，连接，同理可得平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，设，，则，
易知平面的法向量为，设与平面所成角为，设，
所以
当时，
当时，，因为在上单调递减，
所以关于单调递减，
故，
综上可得
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点.
(1)求证：当点为线段的中点时，平面；
(2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当或时，与平面所成角的正弦值为，理由见解析
(1)连接，，
∵点为线段的中点，四边形为矩形，
∴，，三点共线，则点为的中点.
∵点，分别为和的中点，
∴.
在直三棱柱中，，
∴平面，
又平面，∴.
又，∴四边形为正方形，
∴.
∵，
∴平面.
∵，
∴平面.
(2)以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
设，∴，
即，∴.
设平面的一个法向量为，
，.
由，得，令，得，
又.
设与平面所成角为，
由题意得
，
求得或.
故当或时，与平面所成角的正弦值为.
例题2．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、、分别是、、的中点.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)点在线段上，若直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.
【答案】(1)(2)
(1)∵、分别是、的中点，∴，
又三棱柱中，，故.
又平面，平面，所以平面.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，，
所以，，
取向量为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，，则，
所以.
由图示得平面与平面的夹角为锐角，所以，平面与平面的夹角的余弦值是；
(2)设，，点，所以，，，
设平面的法向量为，
则，可得，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，整理可得，即.，
因为，解得.则，即线段的长为.
例题3．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，四棱锥中，平面，与底而所成的角为，底面为直角梯形，
(1)求证：平面平面：
(2)在线段上是否存在点，使与平面所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析；
(1)平面，与平面所成的角为，，
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
，， ，，
， ，，
所以，，
所以，，
即，且，所以平面，
平面，所以平面平面.
(2)存在，理由如下，
，，，，，
设，
所以，，
因为平面，平面，所以，又，
且，所以平面，
所以是平面PAB的一个法向量，
所以，
解得，或，
当时，点与重合，不符合题意，舍去，
所以当时， CE与平面PAD所成的角为，且.
题型归类练
1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体．
(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2).
(1)∵平面平面，平面
平面平面，，
∴平面；
(2)（2）建系如图：
设平面的法向量，，，，
，
，则，
设，，
，
解得或（舍），
，∴.
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）如图，三棱柱所有的棱长为2，，M是棱BC的中点.
（Ⅰ）求证：平面ABC;
（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，.
解：（1）证明：，，是中点，
，
又，
，
，
平面，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知平面A1BC的法向量为，，，，，，
令，
则，
设直线BP与平面A1BC 所成角为，则
,
解得或（舍），
所以当时，满足题意，此时.
3．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.
(1)求证：平面DEF；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.
(1)因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接FN，如图，
在中，F，N分别为PA，PC的中点，则有，而直线平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF.
(2)因平面，平面，则，而，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
直角梯形中，，，
则，，
设平面PBC的法向量为，则，令，得，
假定存在点Q满足条件，设，整理得，
则，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，
所以，解得，即点Q与E重合，
所以在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，且.
4．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥的底面为矩形，底面ABCD．过AD的平面分别与线段相交于点E，F．
(1)证明：；
(2)若，试问是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析，
(1)因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以.
(2)存在，理由如下，
分别以所在的直线为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，， ，，
设，所以，，
设为平面的一个法向量，
则，，令则，
所以，设直线PB与平面所成角，
所以，
解得，
所以时， 为的中点时，此时存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为，此时，.
5．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
(1)求二面角的大小；
(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为
(1)由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
(2)假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·广东·兴宁市第一中学高一阶段练习）若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】B
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则，，，，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的平面角为，可以看出为锐角，则，则，故.
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的正弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，
∴，
设平面A1ED的法向量为，
则有 令得：，
∴.
∵平面ABCD的法向量为，
∴，则，
故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，，则二面角的正弦值为______.
【答案】
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则，
.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）在四棱锥中，平面，是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为平面，是矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
又，，，
所以,
因为平面，所以平面的一个法向量为，
而,
设平面的法向量为，
则，取，则平面的法向量，
，所以，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角为，
故选：A.
2．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【答案】##
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
所以，，，.
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则.
故答案为：
3．（2022·全国·高二单元测试）在长方体中，AB＝2，AD＝1，，点E为的中点，则二面角的余弦值为______.
【答案】
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
则，，，，
，，设平面的一个法向量为
则，令，得，
易知平面的一个法向量为，
而二面角为锐角，故
故答案为：
角度2：求平面与平面所成角(定值探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点且满足，记.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点．
(1)当平面时，求的值；
(2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改变，
(1)取的中点为，连接，，
因为，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
(2)取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，即，
令，即.
又平面的法向量，
所以，
即随着值的变化，二面角的大小不变．
且.
所以二面角的正弦值为.
例题2．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，，，为棱上异于，的点．
(1)若为棱的中点，求证：直线平面；
(2)若存在点为棱上异于，的点，使得直线与所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取的中点，连接，，如图，
为的中点，
，且，
又，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面．平面．
直线平面；
(2)解：由题意知，，，，
，即，
又，，平面，
平面，
平面，，
又，，，两两相互垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
设，则，，
在棱上，设，
即，，
易知平面的法向量为，，
设与平面所成角为，
则，解得，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，则，，
则，
，
由题知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
题型归类练
1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面的上方.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析.(2)2
(1) ，又
所以 ， ，所以平面，
又平面
所以，平面平面.
(2)因为 ，结合(1)问易得 两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系
设AD=t ，则：
， ，
所以 ， ，设平面的法向量为
由 得
令 则
又平面ABE
所以取平面ABE的法向量为
解得 或 (舍).
即 ，所以四边形ABCD的面积 ，由题知
， ，平面ABCD
所以BE为四棱锥 的高，所以四棱锥的体积为
.
故四棱锥的体积为2.
2．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.
(1)取棱的中点O，连接．
因为四边形是菱形，所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
(2)因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取得．
假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取，得．
由，
解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
3．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥中，．
(1)证明：平面平面．
(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取的中点，连接、．
因为，
则，
所以，即．
又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
(2)解：如图，建立空间直角坐标系，
则，则，，，．
令，
则．
设平面的法向量为，
则，取．
设直线与平面所成的角为，
则，
解得或（舍去），
故
设平面的法向量为，
所以，取．
记二面角的平面角为，所以．
4．（2022·海南中学高三阶段练习）如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)依题意，，
因为，所以，
由于平面平面ABCD，且交线为AB，平面ABCD，
所以平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，
所以平面SAB，
故.
(2)由上可知，平面SAB，所以，
由题意可知，，
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设，则，，
设是平面QBD的一个法向量，
则，令，可得
由于是平面CBD的一个法向量，
依题意，二面角的余弦值为，
所以，
解得，
此时，，
即线段BQ的长为.
角度3：已知二面角求其他参数（最值探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
如图以点D为坐标原点建立空间坐标系
设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：
B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)
，又
即，，所以
所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，
且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大
当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0
当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，
即为二面角B-AD-P的平面角，
所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确
故选：B.
例题2．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱不包括端点上一动点，是的中点.
(1)若，求的长;
(2)当在棱不包括端点上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)1；(2).
(1)正三棱柱的所有棱长均为2，而E是AB的中点，则，
而平面，平面，，又，平面，
因此，平面，而平面，即有，因，
，平面，于是得平面，又平面，则，
正方形中，，，，
所以BD的长是1.
(2)在平面内过点E作，由（1）知，两两垂直，
以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
设平面的法向量，则，令，得，
平面的法向量，设平面与平面ABC的夹角为，
则，当时，，
所以平面与平面ABC的夹角的余弦值的最大值是.
题型归类练
1．（2022·重庆市长寿中学校高一阶段练习）如图，在三棱锥中，是等边三角形，点A在平面上的投影是线段BC的中点E，AB=AD=AC，点是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若BC=2BD，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
【答案】(1)证明见解析；(2)G为BD中点.
(1)因为点A在平面上的投影是点E，∴平面BCD，∴，
∵AD=AC，点是的中点，∴
∵,平面，
∴平面
又∵平面，
∴平面平面
(2)∵AB=AD=AC，点A在平面上的投影是点E，
∴EB=ED=EC，∴B，C，D在以E为圆心的圆上，∴∠BDC=90°
∵BC=2BD，∴∠BCD=60°，
在平面BCD中，过E作EH⊥BD，垂足为 H，以EH为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=4则，，
设，则，，，
设平面AEG的法向量为
由可得
设平面ACD的法向量为
由可得，
设平面AEG与平面ACD所成锐二面角为，
则，
∴当y=0时，最大，此时锐二面角最小，
故当G为BD中点时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角最小.
2．（2022·山西运城·模拟预测（理））如图，在中，，，为的外心，平面，且．
（1）求证：平面；并计算与平面之间的距离．
（2）设平面平面，若点在线段上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析，（2）
（1）如图，连接，交于点，为的外心，
所以，
所以.
故和都为等边三角形，
即四边形为菱形，
所以且.
又平面、平面 ,
所以平面.
则到平面的距离即为点到平面的距离，记为 ,
由题意知：,
所以， .
又因为
即
解得：.
（2）因为平面，平面，平面平面=，
所以.
如图所示：以点为原点建系.则.
设,
所以.
设平面的法向量为.
则
所以直线与平面所成角的正弦值为：,
即当时直线与平面所成角取最大值.
此时，
所以,
设平面的法向量为.
则令则.
所以，即
则二面角的正弦值.
3．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）如图，在平行六面体中，底面，．
(1)证明：；
(2)设点为线段上一点（异于D，），当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接，因为
所以，在中，由余弦定理得
，即，
所以，即，
因为底面，所以，
因为，
所以平面，
所以.
(2)解：结合（1）可知，两两垂直，故以为坐标原点，分别以的方向为轴的方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，即，
因为点为线段上一点（异于D，）,
所以，设，
所以，，
设是平面的一个法向量，
则，即，即
故令，则，即
由于两两垂直，且，
所以平面，故平面的一个法向量可以为，
设平面与平面夹角为，
则
所以，当时，即时，取得最大值，
所以，.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
(1)因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
2．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
3．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)(2)
(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
(2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
(1)过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
(2)因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(1)取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
(2)因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
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