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第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第06讲向量法求空间角含探索性问题练原卷版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx、第06讲向量法求空间角含探索性问题练解析版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为，则这个二面角的平面角的大小为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
【答案】C
解：因为两个半平面的法向量所成的角为，
所以这个二面角的平面角的大小为或.
故选：C.
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系，，，，则有：，，
设平面PAE的法向量，则有,令,则，即
∴，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为．
故选：C．
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
如图，连接交于点，过点作于，
则平面，则，
设，
则，
则根据三角形面积得，
代入解得．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，得．
，
所以直线与平面所成的角的余弦值为，
故选：．
6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，．
在中，，则，解得．
将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为．
故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确；
故选：D.
7．（2022·全国·高一单元测试）正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
如图，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，
由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，
其中，
所以当时，取得最大值，
因为，
所以的最大值为，
所以，，
平面的法向量，
所以与平面所成角的正弦值为
故选：A
8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，
因为，所以，又，所以，
,，
则，
所以，
取中点E，连接，则，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因为，所以，
因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．
故选：D．
二、多选题
9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为、，若，，则二面角的大小可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
由已知可得，因此，二面角的大小为或.
故选：AD.
10．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
【答案】AD
解：如图，建立空间直角坐标系，记，，，，则，.
当时，则，得，即位于点的位置，故选项A正确；
，，则，即无实数解，故选项B错误；
连结,当在点时，面积最大，最大， 此时，所以，故选项C错误；
过作，过作的垂线交于，连接，则是二面角的平面角，所以，又点在以为直径的圆上运动，所以先变大后变小，故二面角的平面角先变小后变大，故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为___________.
【答案】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则， ， ， ，
， ，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
12．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________
【答案】
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示，是棱长为1的正方体.
(1)设的重心为O，求证：直线平面；
(2)设E､F分别是棱､上的点，且，M为棱的中点，若异面直线与EF所成的角的余弦值为，求a的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)．
(1)设，连接，
首先平面，平面，则，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
同理，，平面，
所以平面，
连接交于，
因为，所以是等边的中心也是重心，
所以平面，
(2)如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，
，，
由题意，
解得：（负值舍去）．
14．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，
(1)证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，，，
则，平面的一个法向量，
，，
由，取，得，
，
，
平面；
(2)设平面的一个法向量，，，由，取，解得
设平面的一个法向量，
由图可知二面角为锐二面角，
二面角的大小为；
(3)设存在点满足条件，
由，，
设，
整理得，
，
直线与平面所成角的大小为，
，
则，由，得，即点和点重合，
故在线段上存在一点，且．
B能力提升
1．（多选）（2022·河北承德·高一期末）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
【答案】ABD
易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．
对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，
所以 ，，，
设（），则
所以，
平面即
解之得
当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确
对于C，设平面的法向量
则，取
得
设平面 的法向量 ,
则
取 , 得 ,
平面平面
设 , 即 ,
解得 ，，不合题意
线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．
对于D，平面的法向量为
则
因为
所以
所以的最大值为．故D正确．
故选：ABD
2．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线AP与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】AB
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
，
设，设，
即.
A：，
因为，
所以，
而平面，
所以直线平面，因此本选项结论正确；
B：侧面的对角线交点为，所以，，
而平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，
为定值，因此本选项结论正确；
C：，
设异面直线AP与所成角为，
则有，
当时，；
当时，，
因为，所以，
因此，
，即，所以，
综上所述：，所以本选项结论不正确；
D：设平面的法向量为，，
所以有，
直线与平面所成角的正弦值为：
因为，所以当时，有最小值，最小值为，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，
故选：AB
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已如平面四边形ABCD，，，，．沿直线AC将翻折成，则___________；当平面平面ABC时，则异面直线AC与所成角余弦值是___________．
【答案】 2
解：∵，，，由勾股定理得：，
∵，∴三角形ABC为等腰三角形
取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，∴，，
则；
当平面平面ABC时，在yz平面上，则，，
设异面直线AC与所成角为，则，
异面直线AC与所成角余弦值是.
故答案为：2；．
4．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在等腰梯形中，，，过点作交于点，，现将沿折起，使平面平面，连接、，则直线与平面所成角的正弦值为____________；当时，则二面角的余弦值为__________．
【答案】 ．
解：在等腰梯形中，，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又由在等腰梯形中，，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，；
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以为平面的法向量，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
因为，，所以，
设平面的法向量为，则
所以取，平面的法向量，
因为二面角的余弦值为，
所以二面角的余弦值为．
故答案为：.
C综合素养
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
(1)当是线段中点时，求到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
(2)解：设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
此时点为的中点，故.
2．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知等边△边长为，△BCD中，BD=CD=1，BC=(如图1所示)，现将B与，C与重合，将△向上折起，使得AD=(如图2所示).
(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成角，且.
(3).
(1)因为，，所以；
因为，，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面BCD⊥平面AOD.
(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成角，且.
作，交的延长线于点，
因为平面BCD⊥面AOD，面面，面AOD，
所以面，面，
所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
所以.
在直角三角形中，，
，故，而，
故且三角形为等腰直角三角形，
且直角三角形为等腰直角三角形，所以，.
过点作，垂足为，则，所以平面，
所以就是与平面所成的角，
而，，
故在直角三角形中，，
而为锐角，故.
(3)将三棱锥A—BCD补形为棱长为的正方体，如图：
则三棱锥A—BCD的外接球的半径为，
所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为.
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点N在线段BC的中点
(1)证明：因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为四边形为正方形，，
所以，
因为在中，，M为线段PC的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
(2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
设，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，
所以，
化简得，得，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)在翻折过程中总有平面平面，证明见解析(2)
(3)存在且为线段的中点
(1)在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
直线和平面所成角的为，
连接，在直角三角形中，，，
由勾股定理得：.
．
(3)
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，
平面，
故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为，则这个二面角的平面角的大小为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
【答案】C
解：因为两个半平面的法向量所成的角为，
所以这个二面角的平面角的大小为或.
故选：C.
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系，，，，则有：，，
设平面PAE的法向量，则有,令,则，即
∴，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为．
故选：C．
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
如图，连接交于点，过点作于，
则平面，则，
设，
则，
则根据三角形面积得，
代入解得．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，得．
，
所以直线与平面所成的角的余弦值为，
故选：．
6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，．
在中，，则，解得．
将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为．
故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确；
故选：D.
7．（2022·全国·高一单元测试）正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
如图，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，
由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，
其中，
所以当时，取得最大值，
因为，
所以的最大值为，
所以，，
平面的法向量，
所以与平面所成角的正弦值为
故选：A
8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，
因为，所以，又，所以，
,，
则，
所以，
取中点E，连接，则，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因为，所以，
因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．
故选：D．
二、多选题
9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为、，若，，则二面角的大小可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
由已知可得，因此，二面角的大小为或.
故选：AD.
10．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
【答案】AD
解：如图，建立空间直角坐标系，记，，，，则，.
当时，则，得，即位于点的位置，故选项A正确；
，，则，即无实数解，故选项B错误；
连结,当在点时，面积最大，最大， 此时，所以，故选项C错误；
过作，过作的垂线交于，连接，则是二面角的平面角，所以，又点在以为直径的圆上运动，所以先变大后变小，故二面角的平面角先变小后变大，故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为___________.
【答案】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则， ， ， ，
， ，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
12．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________
【答案】
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示，是棱长为1的正方体.
(1)设的重心为O，求证：直线平面；
(2)设E､F分别是棱､上的点，且，M为棱的中点，若异面直线与EF所成的角的余弦值为，求a的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)．
(1)设，连接，
首先平面，平面，则，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
同理，，平面，
所以平面，
连接交于，
因为，所以是等边的中心也是重心，
所以平面，
(2)如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，
，，
由题意，
解得：（负值舍去）．
14．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，
(1)证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，，，
则，平面的一个法向量，
，，
由，取，得，
，
，
平面；
(2)设平面的一个法向量，，，由，取，解得
设平面的一个法向量，
由图可知二面角为锐二面角，
二面角的大小为；
(3)设存在点满足条件，
由，，
设，
整理得，
，
直线与平面所成角的大小为，
，
则，由，得，即点和点重合，
故在线段上存在一点，且．
B能力提升
1．（多选）（2022·河北承德·高一期末）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
【答案】ABD
易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．
对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，
所以 ，，，
设（），则
所以，
平面即
解之得
当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确
对于C，设平面的法向量
则，取
得
设平面 的法向量 ,
则
取 , 得 ,
平面平面
设 , 即 ,
解得 ，，不合题意
线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．
对于D，平面的法向量为
则
因为
所以
所以的最大值为．故D正确．
故选：ABD
2．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线AP与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】AB
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
，
设，设，
即.
A：，
因为，
所以，
而平面，
所以直线平面，因此本选项结论正确；
B：侧面的对角线交点为，所以，，
而平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，
为定值，因此本选项结论正确；
C：，
设异面直线AP与所成角为，
则有，
当时，；
当时，，
因为，所以，
因此，
，即，所以，
综上所述：，所以本选项结论不正确；
D：设平面的法向量为，，
所以有，
直线与平面所成角的正弦值为：
因为，所以当时，有最小值，最小值为，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，
故选：AB
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已如平面四边形ABCD，，，，．沿直线AC将翻折成，则___________；当平面平面ABC时，则异面直线AC与所成角余弦值是___________．
【答案】 2
解：∵，，，由勾股定理得：，
∵，∴三角形ABC为等腰三角形
取AC的中点O，则OB⊥AC，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，∴，，
则；
当平面平面ABC时，在yz平面上，则，，
设异面直线AC与所成角为，则，
异面直线AC与所成角余弦值是.
故答案为：2；．
4．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在等腰梯形中，，，过点作交于点，，现将沿折起，使平面平面，连接、，则直线与平面所成角的正弦值为____________；当时，则二面角的余弦值为__________．
【答案】 ．
解：在等腰梯形中，，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又由在等腰梯形中，，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，；
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以为平面的法向量，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
因为，，所以，
设平面的法向量为，则
所以取，平面的法向量，
因为二面角的余弦值为，
所以二面角的余弦值为．
故答案为：.
C综合素养
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
(1)当是线段中点时，求到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
(2)解：设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
此时点为的中点，故.
2．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知等边△边长为，△BCD中，BD=CD=1，BC=(如图1所示)，现将B与，C与重合，将△向上折起，使得AD=(如图2所示).
(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成角，且.
(3).
(1)因为，，所以；
因为，，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面BCD⊥平面AOD.
(2)在线段AC上是存在一点E，使ED与面BCD成角，且.
作，交的延长线于点，
因为平面BCD⊥面AOD，面面，面AOD，
所以面，面，
所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
所以.
在直角三角形中，，
，故，而，
故且三角形为等腰直角三角形，
且直角三角形为等腰直角三角形，所以，.
过点作，垂足为，则，所以平面，
所以就是与平面所成的角，
而，，
故在直角三角形中，，
而为锐角，故.
(3)将三棱锥A—BCD补形为棱长为的正方体，如图：
则三棱锥A—BCD的外接球的半径为，
所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为.
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)点N在线段BC的中点
(1)证明：因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为四边形为正方形，，
所以，
因为在中，，M为线段PC的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
(2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
设，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
设为平面的法向量，则
，令，则，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，
所以，
化简得，得，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)在翻折过程中总有平面平面，证明见解析(2)
(3)存在且为线段的中点
(1)在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
直线和平面所成角的为，
连接，在直角三角形中，，，
由勾股定理得：.
．
(3)
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，
平面，
故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即
令，所以
，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
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