第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
题型二：求离散型随机变量的分布列
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
角度2：决策问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．
知识点二：离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．
知识点三：离散型随机变量的分布列的性质
①，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
知识点四：离散型随机变量的均值与方差
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectatin),数学期望简称期望.
（2）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
知识点五：均值与方差的性质
（1）
（2）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
2．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（ ）
A．0B．1C．D．
3．（2022·四川眉山·高二期末（文））若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
4．（2022·广东潮州·高二期末）随机变量，满足，且，则___________.
5．（2022·广西玉林·模拟预测（理））离散型随机变量的分布列如表，则实数a＝________；E（）＝________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：离散型随机变量分布列的性质
典型例题
例题1．（2022·江西抚州·高二期末（理））设随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高二期末）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示.
则（ ）
A．0.72B．0.75C．0.85D．0.90
例题3．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．（2022·吉林省实验中学高二阶段练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校高二期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
A．－B．C．D．
3．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A．B．
C．D．
4（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）随机变量的分布列如图，且，，成等差数列，则______．
题型二：求离散型随机变量的分布列
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量的分布列如表所示．
(1)求随机变量的分布列；
(2)若，求实数的取值范围．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设表示总检测费用（单位：元），求的分布列．
例题3．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为的四批疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
(2)记三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成，编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成，如明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字（密码）就为11223．
(1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；
(2)设随机变量表示密码中所含不同数字的个数．
①求；
②求随机变量的分布列．
2．（2022·全国·高二课时练习）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量的分布列．
3．（2022·重庆市朝阳中学高二期中）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
4．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
题型三：离散型随机变量的均值与方差
角度1：期望、方差的计算
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，，．
(1)求的分布列，并求的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
例题2．（2022·陕西西安·高二期末（理））如图，小明家住小区，他每天早上骑自行车去学校上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，.
(1)若走路线，求遇到3次红灯的概率；
(2)若走路线，变量表示遇到红灯次数，求的分布列及数学期望.
例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，个白球，现从中不放回地取出2个球，若第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为，求，．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量的分布列如表所示，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
同类题型归类练
1．（2022·广东·广州市第十六中学高二期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
2．（2022·广东·广州市玉岩中学高二期中）已知随机变量的分布列如下，
(1)求的取值范围；
(2)当a为何值时，取最大值？并求出的最大值.
3．（2022·北京通州·高二期末）一个袋子中装有8个大小相同的球，其中有5个红球，3个白球．
(1)从袋子中任取1个球，设随机变量，X的分布列及；
(2)从袋子中依次不放回的取出3个球作为样本，用随机变量Y表示红球的个数，求Y的分布列及．
4．（2022·新疆·八一中学高二期末（理））袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次模出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
角度2：决策问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
(2)水果店记录了100天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16个西瓜，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由．
例题2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）为迎接党的“二十大”胜利召开，学校计划组织党史知识竞赛.某班设计一个预选方案：选手从6道题中随机抽取3道进行回答.已知甲6道题中会4道，乙每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求出甲、乙两人答对题数的概率分布列；
(2)你认为派谁参加知识竞赛更合适，请说明你的理由.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
同类题型归类练
1．（2022·河北张家口·高二期末）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
表2：
(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
2．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）某运动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比赛．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛，已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中.
(1)甲、乙两人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ，试比较ξ的方差与大小．
3．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于环，且甲射中，，，环的概率分别为，，，，乙射中，，环的概率分别为，，.
(1)求，的分布列；
(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
1
－1
0
1
P
a
4
5
6
7
8
9
10
0.03
0.05
0.07
0.08
0.26
0.23
X
－1
0
1
2
P
ξ
1
2
3
P
-1
0
1
0
1
2
3
第一排
明文字母
A
B
C
对应数字
11
12
13
第二排
明文字母
E
F
G
对应数字
21
22
23
第三排
明文字母
M
N
P
对应数字
1
2
3
0
1
0
1
2
P
b
a
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10