第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 (精练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（理））已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏淮安·高二期末）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·安徽滁州·高二期末）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·山东东营·高二期末）设，随机变量的分布列为：
则当在上增大时（ ）
A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为
8．（2022·全国·高二课时练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·高二课时练习）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3B．
C．D．
三、填空题
11．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）随机变量的分布列如下表，则___________.
12．（2022·广东佛山·二模）冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：
则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为___________米.
四、解答题
13．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．
14．（2022·福建省福州第二中学高二期末）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
B能力提升
15．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体，极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)估计该度假区名㵀客中，消费金额低于元的人数；
(3)为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金劵（单位：元）的方案（如下表），
方案
方案
抽奖规则如下：①消费金额低于元的游客按方案抽奖一次；②消费金额不低于元的游客按方案抽奖两次.记为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求的分布列和数学期望.
16．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．
(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
（参考数据：，）
C综合素养
17．（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值，在此基础上，设进入决赛的人数为，求的分布列及数学期望.X
3
4
5
6
P
0
1
－1
0
2
P
a
2a
3a
0
1
2
3
0
1
2
0.4
0.2
X
0
1
2
3
4
5
6
>6
P
0.15
0.1
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
代金券金额
概率
代金券金额
概率