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第07讲 抛物线 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份第07讲 抛物线 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第07讲抛物线精讲原卷版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx、第07讲抛物线精讲解析版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
角度2：利用函数思想求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线的准线方程是，则实数a的值（ ）
A．B．C．8D．-8
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
例题2．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
同类题型归类练
1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
题型二：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，则此抛物线方程为__________．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的方程.
(1)焦点为，准线方程为；
(2)顶点在原点，准线方程为；
(3)顶点在原点，以轴为对称轴，过点．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小，求点的轨迹方程．
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为；
(2)准线方程为；
(3)准线方程为．
题型三：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037B．4044C．2019D．2022
例题2．（多选）（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线的焦点，点为上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线关于轴对称
C．过点与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条
D．点到点的距离与到焦点距离之和的最小值为4
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为
A．B．C．D．
3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
典型例题
例题1．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线焦点的坐标为，为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为__________，此时点坐标为__________．
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为___________.
4．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
5．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为___________．
6．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
角度2：利用函数思想求最值
典型例题
例题1．（2022·四川泸州·高二期末（文））动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．12
例题2．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线上的动点到点的距离的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
2．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知F是抛物线的焦点，A为抛物线上的动点，点，则当取最大值时，的值为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
4．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
角度2：利用函数思想求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线的准线方程是，则实数a的值（ ）
A．B．C．8D．-8
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
例题2．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
同类题型归类练
1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
题型二：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，则此抛物线方程为__________．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的方程.
(1)焦点为，准线方程为；
(2)顶点在原点，准线方程为；
(3)顶点在原点，以轴为对称轴，过点．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小，求点的轨迹方程．
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为；
(2)准线方程为；
(3)准线方程为．
题型三：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037B．4044C．2019D．2022
例题2．（多选）（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线的焦点，点为上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线关于轴对称
C．过点与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条
D．点到点的距离与到焦点距离之和的最小值为4
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为
A．B．C．D．
3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
典型例题
例题1．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线焦点的坐标为，为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为__________，此时点坐标为__________．
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为___________.
4．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
5．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为___________．
6．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
角度2：利用函数思想求最值
典型例题
例题1．（2022·四川泸州·高二期末（文））动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．12
例题2．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线上的动点到点的距离的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
2．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知F是抛物线的焦点，A为抛物线上的动点，点，则当取最大值时，的值为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
4．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
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