第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题（讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：中线长问题
角度1：求中线长（或中线长范围，最值）
角度2：已知中线长，求其它元素
高频考点二：已知角平分线问题
角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）
角度2：已知角平分线，求其它元素
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、中线：
在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
2、角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
2.1内角平分线定理：
核心技巧：或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在中有：;
在中有：;
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：中线长问题
角度1：求中线长（或中线长范围，最值）
1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以，
即，
又因，所以
又由题意可知，
所以，因为，所以.
(2)由余弦定理可得，
又，
则
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，由题意得，解得，
则，
所以所以
所以所以中线CD长的取值范围为
2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求的中线AM的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)解：在中，因为，
所以，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
(2)因为AM是的中线，
所以，
由（1）知，
所以，
，
当且仅当时取“＝”，则，
所以的中线AM的最小值为．
3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A；
(2)若，，求的BC边上的中线AD的长．
【答案】(1)(2)
(1)解：（1）若选①，即，得，
，或（舍去），
，；
若选②：，
由正弦定理，得，
，，，则，，；
(2)解：是的边上的中线，，
，
，
．
4．（2022·云南昆明·高一期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，.
(1)已知的面积S满足，求角A；
(2)若边BC上的中线为AD，求AD长的最小值.
【答案】(1)(2)
(1)解：由，可得，∴.
∵，故.
又，∴.
(2)解：在和中，分别由余弦定理可得，，
∴，整理得，
∴2，即，当且仅当时取等号，即AD长的最小值为.
角度2：已知中线长
1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；(2).
(1)由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
(2)由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
2．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若的面积为，求a；
(2)若边上的中线，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)因为所以，
因为，所以，所以.
(2)因为为边上的中线，
所以，
则
因此，即
化简得，所以，
由余弦定理，解得，
由，即，解得.
3．（2022·河北·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以由余弦定理得，，
，
，
整理得，
，
因为，所以，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
(2)因为边上的中线长为4，
所以，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
，
因为，
所以，
所以，即，
当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，
4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）△中，角所对的边分别是.
(1)求角；
(2)若边的中线，求△面积.
【答案】(1)(2)
(1)由题意与正弦定理可得，
由，可得.
代入整理得：.
故，可得.
(2)∵，则
可得：，故或. （舍去）
则△面积.
5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且，AC边上的中线BE交AC于点E，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理得，得
所以，
又，所以，
又，解得；
(2)
因为BD平分角B，所以，
在中，由正弦定理得，
同理，在中，，
又，，
，所以，即，
又因为BE是AC边上的中线，所以，
所以，
所以，
从而，，故.
6．（2022·安徽·砀山中学高一期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，．
(1)求大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积．
【答案】(1)(2)
(1)已知，
由正弦定理，得，因为，
所以，，所以，
(2)设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，
即①．
在和中，，
所以，即
化简，
代入①式得，
所以的面积
高频考点二：已知角平分线问题
角度1：求角平分线长（或角平分线长范围，最值）
1．（2022·河北保定·高一阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理得，得，
因为，所以，即.
(2)因为，所以.
由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.
因为，所以.
因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以，
所以，即.故的最小值为.
2．（2022·山东师范大学附中高一期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，．
(1)求角B的大小及外接圆的半径R的值；
(2)若AD是的内角平分线，当面积最大时，求AD的长．
【答案】(1)，2(2)
(1)由得，则，
∵，∴，∴
由正弦定理得
(2)在中，由余弦定理得
则，即，
∵，，∴，
当且仅当时，，
．
此时，．
在中，，
由正弦定理得.
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD.
【答案】(1)；(2)﹒
(1)∵，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
即，∴，∵，
∴；
(2)方法一：∵，
∴，
∴，
∴．
方法二：在中，由余弦定理：
，
∴．
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
∵，，
∴，∴．
在中，由余弦定理：，
设，
则，即，解得或．
中，由余弦定理：，∴C是钝角．
在中，，∴．
方法三：在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
∵，，
∴．
∴，
∴
∴．
4．（2022·湖南衡阳·高一期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，， ，．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为，角A的内角平分线交BC于D，求AD．
【答案】(1)(2)
(1)依题有：，即，
所以，即，
得：；
又因，故得：；
(2)因为，所以，
又因为，
所以，故，
又由等面积法得：，
得：.
5．（2022·江苏省沙溪高级中学高一期中）在条件①；②；③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角的对边分别为
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求角.
(2)若为的角平分线，求的长.
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意得：
选择条件①：在中，
故
因为
故，解得：
故
选择条件②：在中，,角的对边分别为
故
又根据正弦定理可知
因为
故
所以
故
选择条件③: 在中，,角的对边分别为
又由正弦定理，以及可知
根据余弦定理可得，解得
(2)在中，若为的角平分线，如图所示
，
解得：
6．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，是的角平分线，求的长.
【答案】(1)；(2).
(1)因为，由正弦定理得.
因为，所以，所以.
即,
因为，所以，即.
(2)由，得，即，，
可得，由，得，
所以.
角度2：已知角平分线，求其它元素
1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)角的内角平分线交于点，若，，求.
【答案】(1)；(2)
(1)由正弦定理及切化弦可得，
又，则，即，又，则；
(2)
，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，
可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，
由正弦定理得，可得，又，可得.
2．（2022·河南省实验中学高一期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2C＝sin2A+cs2B+sinAsinC．
(1)求角B的大小；
(2)若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长．
【答案】(1)120°(2)
(1)解：因为cs2C＝sin2A+cs2B+sinAsinC，
所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，
即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，
由余弦定理得，csB，
由B为三角形内角得B＝120°；
(2)由题意得: ，且ABDCBDB＝60°，BD＝1，
所以，
所以（a+c），即ac＝a+c，
因为b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accs120°＝a2+c2+ac，
因为，
所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），
故的周长为．
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
【答案】(1)(2)
(1)因为，故，
所以即，
而为三角形内角，故.
(2)因为，所以，
因为为角平分线，故且即，
由余弦定理可得，
且
所以，解得，
故，
所以三角形的面积为.
4．（2022·河北·高三期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，
由正弦定理得：，
所以，即，
所以，
因为，所以；
(2)解：因为，所以，
又，所以
解得或，
又
解得或（舍去）；
5．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））在中，内角，，所对边的长分别为，，，满足___________.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
(1)求的大小；
(2)若是的角平分线，且，，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)选①：由可得：，
即，
因为 ，故，
即，
由于,故；
选②：由得：，
因为,故，即，
而,则，
故；
(2)是的角平分线，则 ,
所以 ,即 .
而，，即有 ，
故 .
6．（2022·吉林·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，，的内角平分线交边BC于点D，求．
【答案】(1)(2)
(1)∵
由正弦定理得
∵，∴
∴，∴
∴ ∵
∴
(2)方法一：∵
∴
∴
∴
∴
方法二：在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，
∴
∴
∴
方法三：在△ABC中，由余弦定理：
∴
在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，
∴
∴
在△ADC中，由余弦定理：
设，则 即 解得或
在△ABC中，由余弦定理：，∴C是钝角
在△ADC中，∴
∴
7．（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即.
(2)因为，
所以.
因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以．故△ABC面积的最小值为.
8．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（文））已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
【答案】(1)(2)
(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
(2) 是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故
9．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知在中，三个内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角为钝角，且角的角平分线与边相交于点，满足，求的面积的最小值.
【答案】(1)或；(2)
(1)因为，由正弦定理得：.
因为,所以,所以.
因为，所以或.
(2)当时，，
所以，即（当且仅当时取等号），
解得：（当且仅当时取等号）.
所以（当且仅当时取等号）.
即的面积的最小值为.