第10讲：第二章 函数与基本初等函数（测)（基础卷）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））设全集，集合，则（ ）
A．（1，2）B．（1，2]
C．（2，+ ∞）D．[2，+ ∞）
【答案】D
，，
所以，
故选：D.
2．（2022·山西·高二阶段练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
令，则，，
，，所以.
故选：C.
3．（2022·山西运城·高二阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，因为，
所以；
故选：D.
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
令，
，是R上的奇函数，，即，
又，所以．
故选：A．
6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数对任意实数x都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由函数对任意实数都有，可得函数关于对称，
又由对任意，都有，
可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数，
由，所以A不正确；
由，所以B不正确；
由，所以C正确；
由，所以，所以D不正确.
故选：C.
7．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
（1）当a<0时，，
令，得，或（舍去），
令，得，令，得，
若函数有三个零点，则，无解，即不可能有三个零点；
（2）当a=0时，，由（1）知有，或，三个零点，满足题意；
（3）当a>0时，，
当时有一个零点，是函数的一个零点，所以当时函数只有一个零点，
令，得，或（舍去），
令，得，即不论a取大于0的何值，是函数的一个零点，
故有三个零点，
综上，实数a的取值范围是
故选: A
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东茂名·高一期末）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．甲、乙都亏损B．甲盈利，乙亏损C．甲亏损，乙盈利D．甲、乙亏损的一样多
【答案】AD
解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：元，
故选：AD.
10．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
由于
对于选项A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项A错误
对于选项B：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故选项B错误
对于选项C：由于，所以函数 为增函数，所以 ，故选项C正确
对于选项D：，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以，故选项D正确
故选：CD
11．（2022·全国·高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
解：根据题意，函数是定义在区间上的奇函数，
则，
即，则，
解可得或（舍），
即，则，解可得，
故，即的取值范围为，
故选：AC.
12．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
【答案】BD
解：函数，
由可得，故函数定义域为，A选项错误；
的定义域为，设所以
即是偶函数，B选项正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C选项错误；
由，可得f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若是奇函数，当时，，则___________．
【答案】
∵是奇函数，当时，，
∴，，
∴.
故答案为：.
14．（2022·河北沧州·模拟预测）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）____________天.
【答案】24.8##
解：，，，，解得：．
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则（天．
故答案为：．
15．（2022··模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
当时，为增函数，
因为，则，
所以，，所以，，所以，，
因为，故恒成立，
由可得，解得.
因此，原不等式的解集为.
故答案为：.
16．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数 ，若函数有4个零点，，，，则____________；若关于的方程 有个不相等的实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
由题意，函数，
根函数的图象变换，函数的图象关于对称，
根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，
在坐标系中作出函数的图象，如图所示，
函数有4个零点，，，，
可得，所以；
令，则方程可化为，
因为有8个不等的实数根，
则方程必有4个实数根，所以，
所以在有2个不同的实数根，
令，可得其对称轴的方程为，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明.
【答案】(1)1
(2)在上为减函数，证明见解析
(1)解：由为定义在上奇函数可知，解得.
经检验，此时对任意的都有
故.
(2)解：由递增，可知在上为减函数，
证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
则.
∵单调递增，且，
∴即，，，
∴，∴，
故在上为减函数.
18．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知函数，且点在函数的图象上.
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，图象见解析(2)
(1)解：因为点在函数的图象上，
所以，解得，
即，
其图象如图所示：
(2)解：将化为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以直线与函数的图象有两个公共点，
在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），
由图象，得，即，
即的取值范围是.
19．（2022·湖南·高一课时练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
【答案】(1)，；
(2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．
(1)设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题设，，
由图可知（1），所以，又（4），所以，
所以，；
(2)设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，
，，
令，则，，
所以当时，，此时，
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．
20．（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为；
(3).
(1)设是任意两个实数，且任取，则
若，则，，即，，所以
所以，即，所以在上是减函数，
若，则，，即，，所以，
所以，即，所以在上是减函数，
所以对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数；
(2)，
令，因为，所以，则，
由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在上是减函数，在上是增函数，所以，，，
综上可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．
(3)由（2）知时，若存在，使得成立，
只需，在上有解即可，即最小值，
令，在上是减函数，在上是增函数，所以最小值，
所以，即实数的取值范围为．
21．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间上的两个函数和，其中，.
(1)求函数的最小值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由，则二次函数的对称轴为，
则当时，在上单调递减，在上单调递增，所以
；
当时，在上单调递减， ，
所以；
(2)，当时，，又在区间
上单调递增，所以.
若对任意，恒成立
则，故或
解得：.
22．（2022·河南焦作·高一期中）定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点．
(1)函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)为上的“平均值函数”，1是它的平均值点(2)
(1)函数是上的“平均值函数”．
令，因为，
设是它的平均值点，则有，解得，，
故为上的“平均值函数”，1是它的平均值点．
(2)令，，
设是它的平均值点，则，即，
整理得．
令，则，则需方程在上有解，
令，，
，
①当在内有一个实根时，，即 ，
解得，或；
②当在内有两个不等的实根时，需满足，
可得 ，无解．
综上，实数的取值范围是．