第10讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则（ ）
A．50B．52C．60D．62
4．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）如图（1），在矩形中，，为线段上一点（不是端点），沿线段将折成（如图（2）），使得平面平面，且二面角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1B．2C．3D．4
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若，则
B．若空间四个点，，则三点共线
C．已知向量，若，则为钝角
D．任意向量满足
10．（2022·辽宁·高一期末）已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
11．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥设，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D．当时，的最小值为
12．（2022·广东广州·高二期末）正方形，的棱长为1，，分别为，的中点，下列说法正确的有（ ）
A．直线与平面垂直
B．平面截正方体所得的截面周长为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30°
D．在棱上存在点，使得点和点到平面的距离相等
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为_______．
14．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为___________.
15．（2022·广西桂林·高一期末）十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图①和图②两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是________(注：填图①或图②)．
16．（2022·河北保定·高一期末）如图，在三棱锥中，平面米，米，与底面所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点出发，沿着侧面走到上的一点，再沿着侧面继续走到棱上，则这只蚂蚁从点出发到达棱的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与的交点到底面的距离为______米.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，三棱柱中，，，．
(1)证明：；
(2)若，，求三棱柱的体积．
18．（2022·四川·遂宁中学高一期末）如图，正方体，其外接球与内切球的表面积之和为，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.
(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；
(2)平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.
19．（2022·湖南衡阳·高二期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，，，为侧棱上靠近点的四等分点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
21．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
22．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥
(1)求证：
(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD旋转至旋转至如图所示，其中二面角与二面角相同，当时，求平面与所成的锐二面角的余弦值