第01讲 集合 (讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
高频考点二：集合的基本关系
高频考点三：集合的运算
高频考点四：图的应用
高频考点五：集合新定义问题
第五部分：高考真题感悟
第六部分：集合(精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合的子集共有8个 ( )
【答案】错误
集合的子集共有个，
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合和表示同一个集合( )
【答案】√
由集合相等的定义可知，集合和表示同一集合.
故答案为：√.
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件的集合的个数是2个.( )
【答案】正确
因，则或，
所以的集合的个数是2个.
故答案为：正确
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合，则.( )
【答案】正确
因为
所以
5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件的集合的个数是3 ( )
【答案】错误
因集合满足，于是得或，即符合条件的集合有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合，集合，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
由题意，集合，，∴.
故选：B.
2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
故选：D.
3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
二次不等式求出集合B，进而求出，.
【详解】
由题意可得:，则或，故．
故选：C
4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由图可知阴影部分属于A，不属于B，
故阴影部分为，
故选：A.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
1．（2020·重庆·一模（理））已知集合，则B中元素个数为
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
，
，中元素个数为4个.
故选:A.
本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.
2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合，若，则___________.
【答案】
，，
则或，
解得或，
当时，集合中有两个相同元素，（舍去），
所以.故答案为：
3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
共6 个．故选B
4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合，则中元素的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.
考点：集合的表示
5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合，，则集合中所含元素的个数为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】B
因为，，，
所以满足条件的有序实数对为，，，．
故选:B.
【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.
6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．16B．18C．14D．8
【答案】A
由题设知：，
∴所有元素之和.故选：A.
研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后
再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.
高频考点二：集合的基本关系
1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意，，
故，A错，B对
又，，故C，D错
故选：B
2．（2020·山东·模拟预测）已知集合，若，则x=__.
【答案】0
若，则，不符合条件；
若，则或(舍去)，经验证符合条件．
故答案为：0．
3．（2020·江苏省如皋中学二模）设，，且，则实数m的值是________.
【答案】0；
因为，，且，所以，解得，
故答案为：0.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m的值是解题关键,属于基础题.
4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足的集合M的个数为________；
【答案】7
满足的集合有，共7个.
故答案为：7
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
∵集合，且，∴.
故选：C．
6．（2020·广西·模拟预测）已知集合，，.
（1）求，：
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
（1）；
（2）因为，所以.
当时，，即；
当时，，即
综上，
7．（2020·广西·模拟预测）已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
（1）当时，易得，
或，
.
（2）若，即时，，满足，
若，即时，
要使，只需或，
解得或，
综上所述a的取值范围为或.
【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题.
重点考查结论：
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）．
（3）若注意要讨论①②
高频考点三：集合的运算
1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
所以，
故选：A
2．（2022·北京丰台·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
∵集合，，
∴.
故选：D.
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由，即，解得或，即或，所以，又，所以；
故选：C
4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集，集合，集合，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
，解得：，故集合，，解得：，集合，则，
故选：C．
5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合，.若，则实数n的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
依据集合元素互异性可知，，排除选项AB；
当时，，，
满足.选项C判断正确；
当时，，，
.选项D判断错误.
故选：C
6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
7．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
【答案】
由题意，，又
又
由于，又
故
故答案为：
集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
高频考点四：图的应用
1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U和集合A，B的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由图知：阴影部分属于A，不属于B，故为.
故选：A
2．（2021·广东·模拟预测）已知全集，集合，它们的关系如图（图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
解：由题意得：
故选：C
3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由图知，阴影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，
故阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A．5B．10C．15D．20
【答案】C
用集合表示除草优秀的学生，表示椿树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．
5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
高频考点五：集合新定义问题
1．定义集合 且.己知集合，，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
因为，，所以，
又因为，所以.
故选：B.
2．设A、B是非空集合，定义：且．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
集合中，，即，
解得，
即，
又，
所以，，
则.
故选：A．
3．已知集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.
故选：B.
4．已知非空集合、满足以下两个条件：（1），；（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意可知，集合不能是空集，也不可能为.
若集合只有一个元素，则集合为；
若集合有两个元素，则集合为、、；
若集合有三个元素，则集合为、、；
若集合有四个元素，则集合为.
综上所述，有序集合对的个数为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合，由此得解.
5．（多选）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.
【答案】ABD
A：除以5，所得余数为，满足的定义，故正确；
B：整数集就是由除以所得余数为的整数构成的，故正确；
C：，故，故错误；
D：设，
则；
若整数，属于同一“类”，则，所以；
反之，若，则，即，属于同一“类”.
故整数，属于同一“类”的充要条件是“”，正确.
故选：.
第五部分：高 考 真 题 感 悟
1．（2021·山东·高考真题）假设集合，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，，
.
故选：B.
2．（2021·湖南·高考真题）已知集合，，且（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
因为集合，
所以，
故选：A.
3．（2021·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】B
因为，若，经验证不满足题意；
若，经验证满足题意.
所以.
故选：B.
4．（2021·天津·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，
，.
故选：C.
5．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题设可得，故，
故选：B.
6．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由交集的定义结合题意可得：.
故选：D.
7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
第六部分：第01讲 集合（精练）
一、单选题
1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【详解】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
2．（2022··模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由得：，所以，又，令，解得：，，当时，，当时，，当时，，故中元素的个数为3.
故选：B
3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】A
∵集合，，，
∴或，即，
当时，不合题意，当时，成立，
∴.
故选：A.
4．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
依题意，所以集合B的子集的个数为，
故选：C.
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合，，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
由已知，，又表示整数，表示奇数，故，
故选：B
6．（2022·广东·高二期末）集合，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
根据题意，可得：
，则有：
当时，，满足题意；
当时，则有：
则有：，
解得：或
综上，解得：或或
故答案选：
7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由题意得，
或，
，
故，
故选：B
8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合，B={-2，-1，0，1}，则A∩B=（ ）
A．{-2，-1，0，1}B．{-1，0，1}C．{-1，0}D．{-2，-1，0}
【答案】B
因为等价于等价于，
所以，又，
所以.
故选：B
二、填空题
9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合，则的子集的个数为___________.
【答案】8
，
，有个元素，所以子集个数为.
故答案为：
10．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：的集合M的个数为______.
【答案】7
由可知，
M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数
因此M中的元素来自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件：的集合M的个数有7个，
故答案为：7.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，若，求实数a的取值范围是___________.
【答案】
，
，或
当时，，满足
当时，要使得，则或
解得或
综上，实数a的取值范围是
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）设集合，或，若，则的取值范围是___________.
【答案】
或，
因为或，所以，
若，则，解得.
所以的取值范围是，
故答案为：.
三、解答题
13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合，．
(1)当时，求以及；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
(1)，
当时，，∴，
，，
∴.
(2)由题可知，
所以，
解得，
所以实数m的取值范围为.
14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合，.
(1)若，，求实数的值；
(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围.
条件：①；②；③.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)1(2)条件选择见解析，
(1)因为，所以，所以，解得：或.
当时，，不合题意；
当时，，满足题设.
∴实数的值为1.
(2)集合.
集合.
若选择①，即
若选择②，
若选择③，则
15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求a的取值集合.
【答案】(1)(2)或.
(1)当时，.
因为，
所以.
(2)因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值集合是或.
16．（2022·江苏·高一）已知集合为非空数集，定义：，.
(1)若集合，直接写出集合、；
(2)若集合，且，写出一个满足条件的集合，并说明理由；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【答案】(1)，(2)，，理由见解析(3)1347
(1)根据题意，由，则，；
(2)由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
(3)设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
∴，
∴，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
等级
项目
优秀
合格
合计
除草
30
15
45
植树
20
25
45