第01讲 直线的方程 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线的倾斜角与斜率
题型二：求直线的方程
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
角度2：与直线方程有关的最值问题
角度3：其它综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线的倾斜角
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在.
2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
知识点三：直线方程的五种形式
1、直线的点斜式方程
2、直线的斜截式方程
3、直线的两点式方程
4、直线的截距式方程
5、直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·重庆南开中学高一期末）过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45B．60°C．120°D．135°
2．（2022·内蒙古包头·高一期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
3．（2022·江苏·高二）一次函数所表示直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．150°C．120°D．60°
4．（多选）（2022·重庆八中高一期末）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ）
A．－8B．－5C．3D．4
5．（2022·浙江温州·二模）直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线的倾斜角与斜率
典型例题
例题1．（2022·四川达州·高一期末（理））直线的倾斜角为______．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线的倾斜角的取值范围.
例题3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知直线l：在轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．或
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
同类题型归类练
1．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高二专题练习）在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
3．（2022·全国·高二专题练习）直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
4．（2022·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是_______.
题型二：求直线的方程
典型例题
例题1．（2022·内蒙古包头·高一期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线的方程为______．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形的三个顶点､､.
(1)求顶点的坐标；
(2)求对角线和所在直线的方程.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）根据所给条件求直线方程.
(1)直线过点，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；
(3)直线过点，.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是､､.
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
题型三：直线方程的综合应用
角度1：直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·四川眉山·高一期末（理））直线经过的定点是______．
例题2．（2022·江苏·高二）经过直线的定点，且斜率为的直线方程为__________．
同类题型归类练
1．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））直线过定点P，则P的坐标是____
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，直线：，求直线经过的定点的坐标.
3．（2022·全国·高二课时练习）求证：无论a取何值，方程总表示一条直线，且恒过一定点．
角度2：与直线方程有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
例题3．（2022·全国·高二课时练习）求经过点，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·长安一中高一期末）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
3．（2022·江苏·高二）若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中______．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，三点在直线l上．
(1)求实数的值；
(2)求直线l的方程；
(3)已知，在直线上求一点，使过、的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，当为何值时，原点到直线的距离最大.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知直线方程为．那为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
角度3：其它综合问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为______．
例题4．（2022·四川资阳·高一期末）已知直线，互相垂直，且相交于点．
(1)若的斜率为2，与轴的交点为，点在线段上运动，求的取值范围；
(2)若，分别与轴相交于点，，求的最小值．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·千阳县中学一模（理））已知点在直线上．则当变化时，实数a的范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线过定点A，直线过定点B，与的交点为C，则的最大值为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
已知条件（使用前提）
直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在且不为0；
当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
已知条件（使用前提）
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件
，