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第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第11讲高考难点突破三圆锥曲线的综合问题最值范围问题精讲原卷版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx、第11讲高考难点突破三圆锥曲线的综合问题最值范围问题精讲解析版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
角度2：椭圆中参数范围问题
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
角度2：双曲线中参数范围问题
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
角度2：抛物线中参数范围问题
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.
例题2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，若的中点为，为原点，直线交直线于点，求取最大值时直线的方程.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值．
同类题型归类练
1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
2．（2022·江苏·高二）已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．
3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
角度2：椭圆中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·三模（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O，离心率，过且垂直于轴的直线与交于两点，；过且斜率为的直线与C交于，点．
(1)求的标准方程；
(2)令，的中点为，若存在点（），使得，求的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆经过点，点为椭圆的右焦点，过点与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
例题3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，若为锐角，求实数的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形的周长；
②求的最小值的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
2．（2022·北京东城·三模）已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.
3．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知分别是长轴长为4的椭圆C：的左右焦点，是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于的一个动点，O为坐标原点，点M为线段的中点，且直线与OM的斜率的积恒为．
(1)求椭圆C的方程
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，双曲线上除顶点外任一点满足直线与的斜率之积为4.
(1)求的方程；
(2)若直线过上的一点,且与的渐近线相交于，两点，点，分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
例题3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.
①求证：点与点的横坐标的积为定值；
②求△周长的最小值.
同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线上任意一点满足方程，
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线在轴左､右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．
角度2：双曲线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求的值；
（2）当，与x轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．
例题2．（2022·全国·高二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围．
例题3．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；
（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.
同类题型归类练
1．（2022·上海普陀·二模）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
2．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.
例题2．（2022·河南洛阳·三模（文））已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，且到点的距离的最小值为.直线与交于另一点，是上位于直线下方的动点.
(1)求的值；
(2)当，且面积最大时，求外接圆的标准方程.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点作互相垂直的直线，，交抛物线于，两点（在轴上方），交抛物线于，两点，交其准线于点．
（1）求四边形的面积的最小值；
（2）若直线与轴的交点为，求面积的最小值．
2．（2022·江西赣州·一模（文））已知点在曲线上.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.
角度2：抛物线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．
(1)证明：直线直线;
(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为3，
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)设过点且斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，．若，求斜率的取值范围．
例题3．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：直线轴；
(3)以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
2．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；
(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
3．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
角度2：椭圆中参数范围问题
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
角度2：双曲线中参数范围问题
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
角度2：抛物线中参数范围问题
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.
例题2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，若的中点为，为原点，直线交直线于点，求取最大值时直线的方程.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值．
同类题型归类练
1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
2．（2022·江苏·高二）已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．
3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
角度2：椭圆中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·三模（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O，离心率，过且垂直于轴的直线与交于两点，；过且斜率为的直线与C交于，点．
(1)求的标准方程；
(2)令，的中点为，若存在点（），使得，求的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆经过点，点为椭圆的右焦点，过点与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
例题3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，若为锐角，求实数的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形的周长；
②求的最小值的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
2．（2022·北京东城·三模）已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.
3．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知分别是长轴长为4的椭圆C：的左右焦点，是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于的一个动点，O为坐标原点，点M为线段的中点，且直线与OM的斜率的积恒为．
(1)求椭圆C的方程
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，双曲线上除顶点外任一点满足直线与的斜率之积为4.
(1)求的方程；
(2)若直线过上的一点,且与的渐近线相交于，两点，点，分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
例题3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.
①求证：点与点的横坐标的积为定值；
②求△周长的最小值.
同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线上任意一点满足方程，
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线在轴左､右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．
角度2：双曲线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求的值；
（2）当，与x轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．
例题2．（2022·全国·高二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围．
例题3．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；
（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.
同类题型归类练
1．（2022·上海普陀·二模）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
2．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.
例题2．（2022·河南洛阳·三模（文））已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，且到点的距离的最小值为.直线与交于另一点，是上位于直线下方的动点.
(1)求的值；
(2)当，且面积最大时，求外接圆的标准方程.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点作互相垂直的直线，，交抛物线于，两点（在轴上方），交抛物线于，两点，交其准线于点．
（1）求四边形的面积的最小值；
（2）若直线与轴的交点为，求面积的最小值．
2．（2022·江西赣州·一模（文））已知点在曲线上.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.
角度2：抛物线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．
(1)证明：直线直线;
(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为3，
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)设过点且斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，．若，求斜率的取值范围．
例题3．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：直线轴；
(3)以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
2．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；
(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
3．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.
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