第11讲：第五章 平面向量及解三角形（测）（基础卷）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）已知向量，且，那么的值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
由题意，．
故选：D．
2．（2022·河南南阳·高一期中）记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由正弦定理得：.
故选：C.
3．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）向量，，则（ ）
A．2B．C．3D．5
【答案】D
由题意知：，则.
故选：D.
4．（2022·四川省南充市第一中学高一期中）在中，且角的平分线交于则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
因为是角的平分线， ，，
所以，
故选：A．
5．（2022·河南驻马店·高一期中（文））中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
由题意，，结合余弦定理可知.
故选：A.
6．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））在中，已知，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
根据正弦定理得：，所以，
因为，所以.
故选：C.
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形
【答案】B
因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：B.
8．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由题意得：
设，则
又由，不共线
，解得：
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
据题意
因为
所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确
故选：ABD
10．（2022·福建泉州·高一阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
A．若A＝30°，，，则△ABC有两解
B．若，则角A最大值为30°
C．若，则△ABC为锐角三角形
D．若，则直线AP必过△ABC内心
【答案】ABD
【详解】
对于选项A：bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b，
所以，△ABC有两解，A选项正确；
对于选项B：设（以为基底），则，
∵∴=0
则，即
∴
∵，∴，B选项正确；
对于选项C：∵，∴，又∴C为锐角
若C为最大角， 则△ABC为锐角三角形，否则△ABC为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，C选项错误；
对于选项D：∵表示与同向的单位向量，表示与同向单位向量
又∵与不共线
∴与菱形对角线向量共线
∴直线AP为角A的角平分线，即直线AP必过△ABC内心， D选项正确．
故选：ABD．
11．（2022·贵州·凯里一中高一期中）在△ABC中，，，，则（ ）
A．△ABC外接圆面积为定值，且定值为B．△ABC的面积有最大值，最大值为
C．若，则D．当且仅当或时，△ABC有一解
【答案】ABD
【详解】
由容易得到，由得，，A正确；
由得，解得，
∴，B正确．
若，由得，∴或（均符合题意），C错误．
由得
，，此方程有唯一正解等价于或，又由于，∴或，D正确．
故选：ABD．
12．（2022·全国·高一期末）在中，角A、B、C的对边分别为、、，、分别是、上的点，与交于，且满足：，，，，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．D．与的夹角的余弦值为
【答案】BC
由得，
∴，即，
由正弦定理得：，即，
又，、，∴B-C=0，即，
同理可得，∴，∴是等边三角形，
∵，∴为的三等分点，
∵，∴为的中点，
如图建立平面直角坐标系，则、、、，
，，，故A错误；
设，则，，
∥，为的中点，∴，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误．
故选：BC．
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】且
因向量，，且与的夹角为锐角，于是得，且与不共线，
因此，且，解得且，
所以实数的取值范围是且.
故答案为：且
14．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.
【答案】
由题意，，，
所以．
故答案为：．
15．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
【答案】②③
对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，
则也有两解，此时也有两解；
对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；
对于④，若已知、、，则不确定.
故答案为：②③.
16．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）AOB中，，，，．若，．若，则与的夹角为__________；当与夹角最大时，__________．
【答案】 ##
当k＝2时，
，．
，
，
∴，
∴与夹角的余弦值，
∴．
如图所示：
分别延长OA，OB到C，D使．
，
故终点在CD上运动，
又．
即向量，
∴与夹角为∠AMO，
当OAM外接圆与CD相切时∠AMO最大（即M在P点时），
由，
，
，
，
，
易求，
∴，
∴.
故答案为：，
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知向量，，
(1)若，求k的值；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)(2)
(1),，
由题意得：，解得：
(2)由题意得：，
解得：
18．（2022·湖北·高一阶段练习）已知的三个角，，的对边分别是，，，而且满足.
(1)求角的值；
(2)若，，边AB上的中点为D，求CD的长度.
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理及余弦定理有
，又因为，∴.
(2)∵CD是AB边上的中线，∴
∴.
∴.
19．（2022·四川省宜宾市第四中学校高一期中）已知平面向量，满足：，，.
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影.
【答案】(1)(2)
(1)∵，∴，
又∵，∴，∴．
∵，∴．
(2)∵，∴，
∴向量在向量上的投影为．
20．（2022·安徽淮南·二模（文））如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求的值；
(2)若，求△的边上高的大小．
【答案】(1)(2)
(1)在中，由正弦定理得 ，
即 ，解得，
∵，且，∴，即，
∴；
(2)在△中，由余弦定理得
，解得，
又∵△的面积为，
∴△的边上高的大小为．
21．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知两个不共线的向量，的夹角为，且，.
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值，并指出此时向量与的位置关系.
【答案】(1)
(2)时，的最小值为，与垂直
(1)解：∵与垂直，∴，
∴，即.
∵，，∴，∴.
∵，∴，∴.
(2)解：当时，，
所以
，
∴时，的最小值为，
此时，
∴与垂直.
22．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量，，函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)（1）依题意，，
由得，，
所以在上的值域为.
(2)由得，，，则有，解得，
在中，由余弦定理得，，
当且仅当时取“=“，即有，又因为，则，
因此，
所以的周长的取值范围为．