第12讲：第五章 平面向量及解三角形（测）（中档卷）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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1．（2022·山西太原·三模（理））设非零向量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由，平方得，
即，则.
故选：B.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））中，是边上靠近的三等分点，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
解：因为点是边上靠近的三等分点，所以，
所以；
故选：C.
3．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
由正弦定理可知，，
不能得到是锐角三角形,但是锐角三角形,则.
故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件，
故选:B．
4．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意得，在中，，
在中，，，
所以，由正弦定理，
得，
又，
在中，.
故选：D.
5．（2022·全国·模拟预测）如图，在矩形中，，点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题可得，，
则，又，所以与所成角的余弦值为.
故选：D.
6．（2022·上海·模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：
故选：D
7．（2022·重庆·三模）在中，已知，，在方向上的投影为，P为线段上的一点，且.则的最小值为（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】B
因为，在方向上的投影为，所以，解得：.
因为，所以，即，所以，解得：.
因为P为线段上的一点，且，所以，即.
所以（当且仅当时取等号）.
所以的最小值为4.
故选：B
8．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
(当且仅当时取等号)
由，可得
， 其中 ，当且仅当时取得等号,
所以
故选：C
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．存在，使得B．当时，与垂直
C．对任意，都有D．当时，
【答案】BD
对于选项A：若，则，即，
所以不存在这样的，故A错误；
对于选项B：若，则，即，得，故B正确；
对于选项C：，当时，，
此时，故C错误；
对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，
即，所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
对于A，由余弦定理可得，解得，故A正确；
对于B，根据正弦定理：，可得，
又因为，所以，所以或，故B不正确；
对于C，由三角形的内角和可知，又 ，利用正弦定理，可知均有唯一值，故C正确；
对于D，根据正弦定理：，可得，
又因为，所以，所以只能是锐角，故D正确；
故选：ACD
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形，所以
，
作，则，
因为，所以，所以，
同理可得其余各点坐标，，，，，，
对于A中，，故A正确；
对于B中，，故B正确；
对于C中，，，，
所以，故C正确；
对于D中，，，，
，故D不正确.
故选：ABC.
12．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（ ）
A．sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5B．是锐角三角形
C．的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则外接圆半径为
【答案】BCD
解：因为在中，(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，
所以 ，解得，
所以sin A∶sin B∶sin C＝ ，故A错误；
易角C为最大角，则 ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B正确；
易角A为最小角，则，所以，即，又，所以 ，故C正确；
设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故正确；
故选：BCD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.
【答案】
解：因为与共线，可设，
即，因为，不共线，所以，所以.
故答案为：
14．（2022·四川·成都实外高一阶段练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．
【答案】
解：与夹角为锐角时，；
解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
15．（2022·河北武强中学高一期中）在中，若，则是__________．
【答案】直角三角形
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，则.
所以为直角三角形.
故答案为：为直角三角形.
16．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为_________；设D是上一点，且，则的最大值为_________．
【答案】
（1）由余弦定理知：
又由正弦定理化简得：，即，即，又，
化简得，则
又，，故当时，取最大值为.
（2）由题意得，
在与中，分别有，
又，化简得
整理得：
令，结合辅助角公式有，所以的最大值为
故答案为：；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知向量和向量，且.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.
【答案】（1）最小正周期为，最大值为2；（2）2.
由得：
则：
（1）最小正周期为：
当时，
（2）由得：，则
由正弦定理可知：，即
18．（2022·湖南邵阳·一模）在中，若边对应的角分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，由正弦定理可得
在，，∴
∴，即
又，∴
∴，∴
(2)解：∵且，
∴，
∴
∴
19．（2022·山西太原·二模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．
(1)求角C；
(2)若D为AB中点，，，求的面积．
【答案】(1)(2)
(1)∵，
∴，
即，
由正弦定理得，
即，
∵，∴．
(2)由于D为AB中点，所以,
而
所以，
∴，
∴．
20．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)(2)6或
(1)∵，则
∵
∴，即
∵，则
∴
(2)∵△ABC的面积为，则
∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
21．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数，其中，．
(1)求的单调增区间；
(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值．
【答案】(1)，(2)
(1)
令，得，
所以的单调增区间为，．
(2)∵，
∴，
又，
∴，∴
∵，∴．
∴
22．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.
(1)求角；
(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
(1)解：选①，由及正弦定理可得，
所以，，
因为、，所以，，则，
所以，，；
选②，由及正弦定理可得，
所以，，
、，，所以，，则.
(2)解：因为，所以，，
由已知，即，所以，，
所以，，
即
，
所以，.