福建省泉州市晋江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份福建省泉州市晋江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的质量，采用普查的方式
B．抛掷一枚普通硬币出现正面向上的概率是
C．任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数不可能是0
D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解方程，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，那么下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，为的中位线，的面积是3，则四边形的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．10
8．关于x的一元二次方程x2﹣2x＋m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．m＜2
9．如图，E，F，G，H分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，则四边形应具备的条件是（ ）

A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
10．如图，正方形的两边、分别在y轴、x轴上，点在边上，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．2023年12月3日，以“畅跑海丝路，晋马世遗情”为主题的特步马拉松赛在中国著名侨乡晋江鸣枪开跑．小马报名参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松和健康跑三个项目组．小马被分配到“半程马拉松”项目组的概率为 ．
13．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为 ．
14．如图，，直线，分别与这三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为 ．
15．如图，在中，，，点为BC中点，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，则的长为 ．

16．抛物线（a，c是常数且，）经过点．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点；
②；
③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为：
④若是方程的两个根，其中，则．
其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点和的顶点均为格点．
(1)以为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为2：1；
(2)在（1）的条件下，若点A的坐标为，的边上任意一点的对应点为点，直接写出点，点的坐标．
20．春运期间的一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，点到地面的距离，旅行箱与水平面AE成角，求拉杆把手处到地面的距离（结果保留根号）．

21．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同．
(1)当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？
(2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表）
在线支付：
现金支付：
如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．
22．如图，在中，为的中点，，分别与相交于点P，Q．
(1)求的值；
(2)若，，．求的长．
23．综合实践活动中，小明想观测底部无法到达的目标P的仰角．他自制一种测角仪，将细线一端固定在图1的量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆（高度为米）、量角器刻度线与铅垂线相互重合，然后按图2所示，绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点，共线，小明通过量角器的刻度直接读取的度数，得到目标的仰角的度数．

(1)直接用含的代数式表示的度数；
(2)如图3所示的皮尺，它的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．请你帮助小明利用解直角三角形的知识求某座山峰的高度，写出你的测量步骤及求解过程．
要求：测量得到的线段用字母a，b，c…表示，角用，，…表示；测量次数不超过4次．
24．如图，在中，在边AB上，在边AC上，BE与CD相交于点，，．

(1)求证：；
(2)若，，求证：．
25．直线绕着该直线上的点旋转，与抛物线（a为常数，且）相交于点，两点，当的值最小时，．
(1)当时，求的值；
(2)设抛物线的顶点为，试问：在直线绕着点旋转的过程中，直线与能否互相垂直？请说明理由；
(3)若抛物线与轴负半轴交于点，点在轴上，当时，求点的坐标．
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
5
10
5
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
5
10
参考答案：
1．A
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
2．B
【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解：，
A、与的被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意；
B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，符合题意；
C、，与被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意；
D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了调查的方式、概率的意义、随机事件的意义，根据全面调查与抽样调查的特点对A进行判断；利用概率可对B进行判断；根据必然事件和随机事件的定义对C、D进行判断．
【详解】解：A、为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以A选项说法错误；
B、抛掷一枚都是正面朝上这一事件发生的概率为，所以B选项说法正确；
C、任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数不可能是0，所以C选项说法正确；
D、“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，所以D选项正确．
综上所述：说法错误的是A，
故选：A．
4．D
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，由得，代入进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
．
．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法，按照配方法配方即可判断正确错误．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，即；
故选：B．
6．A
【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．
【详解】解：如图：

、，则，故此选项结论错误，符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意．
故选：A．
7．C
【分析】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，利用三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质得出，进而求出即可．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
的面积，
，
则四边形的面积．
故选：C．
8．D
【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得
解得m＜2．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．D
【分析】连接、，利用三角形的中位线定理及矩形的性质求解．
【详解】解：理由：连接、交于点O，

∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵四边形是平行四边形
∴四边形是矩形，
故四边形应具备的条件为对角线互相垂直．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及三角形的中位线定理的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了求正弦值，由正方形性质和点可知正方形的边长为10，，，继而求出，由即可求解．
【详解】解：∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴正方形的边长为10，即，，，
∴，
∴，
故选D．
11．
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是灵活运用运算法则．
12．
【分析】本题考查概率公式，根据概率公式直接求出即可．
【详解】解：组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松和健康跑三个项目组．
3种等可能出现的结果中，小马被分配到“半程马拉松”项目组的只有1种，
小马被分配到“半程马拉松”项目组的概率为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟记是解题关键；
直接利用求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，
则，
故答案为：2．
14．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．由平行线可得比例式，代入可求得，再求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
，
，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠可知，，再根据三角形中位线定理求即可．
【详解】解：因为，，
根据折叠，可知，，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
16．①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可．
【详解】解：①抛物线经过点，
，
，
当时，，
该抛物线一定经过，
故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
，
当时，
，
解得，或，
故此项错误．
④抛物线，对称轴为直线，
抛物线经过点，，
∵是方程的两个根，其中，，
所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标，
，
∴，
故此项正确，
故答案为：①②④．
17．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先二次根式乘除法则计算，再化简计算．
【详解】
；
18．，
【分析】本题考查的是整式的化简求值运算，先按照完全平方公式与单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入求值即可.
【详解】解：
当时，
原式=．
19．(1)见解析
(2)的坐标为，点的坐标为．
【分析】本题考查了位似变换作图，熟练掌握位似变换作图的方法是解题关键．
（1）分别找到线段的延长线找到2倍点，然后依次连接即可得解；
（2）根据位似变换的点坐标关系计算即可．
【详解】（1）解：如图、连接，并在延长线取格点，使，取格点，使，格点，使，，连接，，则即为所求．
（2）解：点A的坐标为，由图可知点的坐标为，
点的对应点为点，则点的坐标为．
20．
【分析】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
作于点，在直角中利用三角函数即可求得的长，再加上的长度即可求解．
【详解】解：作于点．
在直角中，．
，
．
则拉杆把手处到地面的距离是：．

21．(1)
(2)选择在线支付购物．理由见解析
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）求出去两种支付方式摸一次奖获10元礼金券的概率，比较即可得到结果．
【详解】（1）解：该纸盒里装有3个红球和2个白球，
现随机摸出一个球，这个球是红球的概率是．
（2）解：选择在线支付购物．记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，
在线支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲），
现金支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙），
因为在线支付获奖的概率比现金支付获奖的概率大，所以选择在线支付购物．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据为的中点，得出，根据平行四边形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可得，即，结合平行四边形对角线互相平分即可得出；进而可得，由此即可解题；
（2）根据（1）的结论得出,，根据，勾股定理求得，继而求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据（1）中，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即：
∴，
∵在中与分别相交于点，，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）得，
∴,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的中点，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
23．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，恰当构建直角三角形是解题关键．
（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；
（2）分别用自制测角仪测出两次不同位置山峰的仰角，再测出两次位置的距离，利用解直角三角形的知识即可求出山高．
【详解】（1）解：
，，
，
；
（2）解：如图所示，F，K，B在同一直线上，为山高，于M，分别在F，K处测出山峰的仰角为、；测出、，
，，
，，
所以，
即，
，
．

24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）已知，，所以可得，根据相似三角形的性质可得，由可得出；
（2）由得，，继而结合，得出，求出，得，得出，由，列方程求出，继而求出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
由（1）得，即，
∴，
∴（不合题意舍去），，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故.
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，可以根据结论中要证明的线段所在的三角形，然后去找题中与这两个三角形相关的条件证明相似，一般是找到相等的角度即可证明．
25．(1)2
(2)垂直，理由见解析
(3)或
【分析】（1）把和代入即可求出的值；
（2）根据的值最小时，求出抛物线解析式，再求出顶点为的坐标，再设出点坐标，利用勾股定理求解即可；
（3）根据，求出，再求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：把和代入得，
，即．
（2）解：在直线绕着点旋转的过程中，直线与能否互相垂直；理由如下：
因为直线经过点，
所以直线的解析式可以写成，
它与抛物线（a为常数，且）相交于点，两点，
则，
化简得，
，，
，
，
，
当时，有最小值，
因为当的值最小时，，
此时．
所以，
，
抛物线解析式为，
则顶点为的坐标为，设B点坐标为，
，
,
当时，直线与能否互相垂直；
即,
解得，或，
解得，（舍去）；，；
则B点坐标为或，
可求出一次函数解析式为或；
所以，在直线绕着点旋转的过程中，直线与能否互相垂直．
（3）解：当时．
解得，
所以点的坐标为，由（2）可知抛物线对称轴为直线，设对称轴与x轴交于点H，在对称轴上画点G，使G点坐标为，
则，
作于M，
则，，
解得，，，
，
，
，
因为，
所以，即，
所以，，
则E点坐标为或；

【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了解直角三角形，一元二次方程，解题关键是熟练运用相关知识，利用点的坐标求解．