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（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第11练 对数与对数函数（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）
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这是一份（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第11练 对数与对数函数（精练：基础+重难点）（原卷版+解析），共31页。
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3B．5C．D．
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天B．天C．天D．天
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南·校联考二模）函数的图象大致形如（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
9．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河北·高三学业考试）若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．2或
12．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足、，则______________．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可）
17．（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
18．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·天津河西·统考一模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．11或B．11或C．12或D．10或
3．（2023·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率）
A．14B．15C．16D．17
4．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）若且在上恒正，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________.
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________．
四、解答题
13．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设，，，判断，，的大小．
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
二、单选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
三、多选题
5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数（且），下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．为非奇非偶函数
C．为偶函数（为的导函数）
D．若，则对任意成立
四、填空题
6．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第11练 对数与对数函数（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故选：A.
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天B．天C．天D．天
【答案】B
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【详解】把，代入，可得，，
当时，，则，两边取对数得，解得．
故选：B.
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用对数函数的单调性和比较，用指数函数的单调性和比较，用对数函数的单调性和比较，即可判断大小关系.
【详解】因为,所以为减函数，
所以，即.
因为,所以为增函数，
所以，即.
因为,所以为增函数，
所以，即，
所以．
故选：D
5．（2023·云南·校联考二模）函数的图象大致形如（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.
【详解】依题意，
为偶函数，则为偶函数，
又，则.
故选A．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，由得到为偶函数，结合函数在上函数值的正负，排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案.
【详解】变形为，定义域为，
，故为偶函数，关于y轴对称．
当时，，时，，排除BC，
又时，，故排除D，A正确.
故选：A．
9．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.
【详解】 ，
对于指数函数 ，当 时， ， ，
；
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为命题“，”为真命题．利用不等式恒成立得出关于的不等式求解.
【详解】由题意知且，命题“，”为真命题，
当时，，易知在上单调递减，其最小值为，
则由恒成立得，即；
当时，恒成立，则，此时函数为增函数，
故，得．
综上，，
即实数的取值范围是．
故选：A
11．（2023·河北·高三学业考试）若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．2或
【答案】A
【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.
【详解】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或.
故选：A.
【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.
12．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，化为，，，即可比较的大小关系，然后作商即可比较的大小，从而得到结果.
【详解】由题设知，，.因为，，
所以，，
所以，故.
因为，所以，
所以，所以，于是.
故选：C.
二、多选题
13．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ，由于，所以，故A错误，
对于B,由于，所以，所以，故B正确，
对于C, ，所以C错误，
对于D，由于，所以，故D正确，
故选：BD
14．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数和的图象，如图，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，
所以，解得；
当时，函数在上单调递增，所以，
由图可知，函数在上，有，得
所以，解得，
结合选项，实数a可以是和.
故选：BD.
三、填空题
15．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足、，则______________．
【答案】
【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值.
【详解】由，得，
所以，
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可）
【答案】（不唯一，取的整数即可）
【分析】先求定点的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得的取值.
【详解】因为函数的图像恒过定点，所以；
因为点在圆外，
所以且，解得或；
又为整数，所以的取值可以为.
故答案为：（不唯一，取的整数即可）.
17．（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
【答案】6.6
【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.
【详解】设h后血液中的药物量为mg，
则有，
令得：
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为：6.6
18．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】令，则在为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，
即的取值范围为．
故答案为：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·天津河西·统考一模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
【详解】，
，
，
，即或（舍去）
故选：C
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．11或B．11或C．12或D．10或
【答案】A
【分析】对两边同时取对数，可解得或，讨论或时的值，即可得出答案.
【详解】由，两边取对数得，所以或.
当时，8，所以；
当时，，
所以，
综上，或，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率）
A．14B．15C．16D．17
【答案】D
【分析】根据题意可得，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.
【详解】厚度为的带钢从一端输入经过减薄率为4%的对轧辊后厚度为，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为，
则，
故选：D.
4．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先构造函数，对函数求导，利用导函数的单调性可得到，且，再结合，即可得到，进而即可得到答案．
【详解】设，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，
所以，且，即，且，
又，则，即，即，即，
故，
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】，当时，；
当时，.
所以，.
若对任意的，不等式恒成立，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换底公式得到，再利用基本不等式比较即可；同理得到的大小.
【详解】解：因为，
又因为，
所以，即；
因为，
又因为，
所以，即，
所以，
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若且在上恒正，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合对数型复合函数的性质，列出不等式，即可容易列出不等式，即可容易求得参数范围.
【详解】因为函数,且，在上恒正,
令，
所以当时，的对称轴方程为，知，
即.
当时，，满足
或或
解不等式得：，
所以实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，注意函数定义域即可，属中档题.
二、多选题
8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，通过函数单调性及，比较出各式的大小关系.
【详解】设函数，易得在上单调递增.
因为，，
，
所以，
即.
故选：ABD
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为，不等式恒成立，
所以对恒成立.
记，，只需.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，所以.故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________.
【答案】
【分析】由题知，进而得，进而结合复合函数求值域即可.
【详解】由于函数是由函数(且)向左平移个单位,再向下平移个单位得到,
所以函数(且)的图像经过定点，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为:.
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，对数型复合函数值域求解问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件得，进而利用配方法得，再结合二次函数值域求解即可.
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________．
【答案】
【分析】确定，，设，根据函数单调递增得到，得到答案.
【详解】，则；，即，
设，函数在上单调递增，
，则，即.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设，，，判断，，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到值，从而得解；
（2）由（1）可得，当时两边取对数得到，当时，设，根据函数值的情况判断，当时，设，即可判断，从而得解.
【详解】（1）解：由题意得．
当时，，单调递增，无最小值，不满足题意．
当时，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为，即．
设，则．令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递減，在上单调递增，
即．故的解只有，
综上所述，．
（2）解：由（1）可得，所以，当且仅当时等号成立．
当时，不等式两边取对数，得，所以，当且仅当时等号成立．
当时，设，
则，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，所以．
当时，设，因为，
所以，
所以，即．
故，所以．
综上所述，．
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即()，变形即可证明.
【详解】（1）令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题.
二、单选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算，计算可得，则.构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出，根据对数函数的单调性即可得出；先证明当时，.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得.
【详解】因为，
所以，.
令，，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以.
因为在上单调递增，所以；
令，则恒成立，
所以，在R上单调递减，
所以，当时，有，即，
所以.
因为，
所以，
所以.
所以.
故选：B．
【点睛】方法点睛：对变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关系.
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答.
【详解】因为在上单调递增，于是，即，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，
取，则，所以，即，
所以.
故选：A
4．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，进而数形结合求解即可.
【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
令
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以，要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为,则，或，
所以，关于方程的两个实数根为
所以，由韦达定理得，
故选：B
【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于方程的两个实数根为，进而得.
三、多选题
5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数（且），下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．为非奇非偶函数
C．为偶函数（为的导函数）
D．若，则对任意成立
【答案】ACD
【分析】先证明函数为奇函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断AB；求出函数的导函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断C；易得，再根据，可得，即可判断D.
【详解】因为，所以的定义域为，
因为，
所以，所以为奇函数，
对于A，因为，
所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，
，
因为，
所以为偶函数，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为，
所以，
又，，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛，解决本题AB的关键在于证明为奇函数，解决D选项的关键是由，结合换底公式转化.
四、填空题
6．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
【答案】
【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.
【详解】曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，
由题意可知，，所以，
解得或，
因为为锐角，所以
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，所以，
所以直线的方程为即
，
所以，
所以直线的方程为即
所以即
所以即，
所以，即，于是有，
所以.故答案为：.
【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性质解决曲线的公切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3B．5C．D．
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天B．天C．天D．天
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南·校联考二模）函数的图象大致形如（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
9．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河北·高三学业考试）若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．2或
12．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足、，则______________．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可）
17．（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
18．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·天津河西·统考一模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．11或B．11或C．12或D．10或
3．（2023·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率）
A．14B．15C．16D．17
4．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）若且在上恒正，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________.
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________．
四、解答题
13．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设，，，判断，，的大小．
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
二、单选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
三、多选题
5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数（且），下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．为非奇非偶函数
C．为偶函数（为的导函数）
D．若，则对任意成立
四、填空题
6．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第11练 对数与对数函数（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故选：A.
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天B．天C．天D．天
【答案】B
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【详解】把，代入，可得，，
当时，，则，两边取对数得，解得．
故选：B.
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用对数函数的单调性和比较，用指数函数的单调性和比较，用对数函数的单调性和比较，即可判断大小关系.
【详解】因为,所以为减函数，
所以，即.
因为,所以为增函数，
所以，即.
因为,所以为增函数，
所以，即，
所以．
故选：D
5．（2023·云南·校联考二模）函数的图象大致形如（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.
【详解】依题意，
为偶函数，则为偶函数，
又，则.
故选A．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，由得到为偶函数，结合函数在上函数值的正负，排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案.
【详解】变形为，定义域为，
，故为偶函数，关于y轴对称．
当时，，时，，排除BC，
又时，，故排除D，A正确.
故选：A．
9．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.
【详解】 ，
对于指数函数 ，当 时， ， ，
；
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为命题“，”为真命题．利用不等式恒成立得出关于的不等式求解.
【详解】由题意知且，命题“，”为真命题，
当时，，易知在上单调递减，其最小值为，
则由恒成立得，即；
当时，恒成立，则，此时函数为增函数，
故，得．
综上，，
即实数的取值范围是．
故选：A
11．（2023·河北·高三学业考试）若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．2或
【答案】A
【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.
【详解】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或.
故选：A.
【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.
12．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，化为，，，即可比较的大小关系，然后作商即可比较的大小，从而得到结果.
【详解】由题设知，，.因为，，
所以，，
所以，故.
因为，所以，
所以，所以，于是.
故选：C.
二、多选题
13．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ，由于，所以，故A错误，
对于B,由于，所以，所以，故B正确，
对于C, ，所以C错误，
对于D，由于，所以，故D正确，
故选：BD
14．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数和的图象，如图，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，
所以，解得；
当时，函数在上单调递增，所以，
由图可知，函数在上，有，得
所以，解得，
结合选项，实数a可以是和.
故选：BD.
三、填空题
15．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足、，则______________．
【答案】
【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值.
【详解】由，得，
所以，
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为__________.（写出一个值即可）
【答案】（不唯一，取的整数即可）
【分析】先求定点的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得的取值.
【详解】因为函数的图像恒过定点，所以；
因为点在圆外，
所以且，解得或；
又为整数，所以的取值可以为.
故答案为：（不唯一，取的整数即可）.
17．（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
【答案】6.6
【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.
【详解】设h后血液中的药物量为mg，
则有，
令得：
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为：6.6
18．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】令，则在为减函数，
所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得，
即的取值范围为．
故答案为：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·天津河西·统考一模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
【详解】，
，
，
，即或（舍去）
故选：C
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．11或B．11或C．12或D．10或
【答案】A
【分析】对两边同时取对数，可解得或，讨论或时的值，即可得出答案.
【详解】由，两边取对数得，所以或.
当时，8，所以；
当时，，
所以，
综上，或，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率）
A．14B．15C．16D．17
【答案】D
【分析】根据题意可得，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.
【详解】厚度为的带钢从一端输入经过减薄率为4%的对轧辊后厚度为，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为，
则，
故选：D.
4．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先构造函数，对函数求导，利用导函数的单调性可得到，且，再结合，即可得到，进而即可得到答案．
【详解】设，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以，
所以，且，即，且，
又，则，即，即，即，
故，
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】，当时，；
当时，.
所以，.
若对任意的，不等式恒成立，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换底公式得到，再利用基本不等式比较即可；同理得到的大小.
【详解】解：因为，
又因为，
所以，即；
因为，
又因为，
所以，即，
所以，
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若且在上恒正，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合对数型复合函数的性质，列出不等式，即可容易列出不等式，即可容易求得参数范围.
【详解】因为函数,且，在上恒正,
令，
所以当时，的对称轴方程为，知，
即.
当时，，满足
或或
解不等式得：，
所以实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，注意函数定义域即可，属中档题.
二、多选题
8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，通过函数单调性及，比较出各式的大小关系.
【详解】设函数，易得在上单调递增.
因为，，
，
所以，
即.
故选：ABD
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为，不等式恒成立，
所以对恒成立.
记，，只需.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，所以.故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)的图像经过定点，则函数的最大值为___________.
【答案】
【分析】由题知，进而得，进而结合复合函数求值域即可.
【详解】由于函数是由函数(且)向左平移个单位,再向下平移个单位得到,
所以函数(且)的图像经过定点，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为:.
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，对数型复合函数值域求解问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件得，进而利用配方法得，再结合二次函数值域求解即可.
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数的图象与函数和的图象分别交于点，则________．
【答案】
【分析】确定，，设，根据函数单调递增得到，得到答案.
【详解】，则；，即，
设，函数在上单调递增，
，则，即.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知函数的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设，，，判断，，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到值，从而得解；
（2）由（1）可得，当时两边取对数得到，当时，设，根据函数值的情况判断，当时，设，即可判断，从而得解.
【详解】（1）解：由题意得．
当时，，单调递增，无最小值，不满足题意．
当时，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为，即．
设，则．令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递減，在上单调递增，
即．故的解只有，
综上所述，．
（2）解：由（1）可得，所以，当且仅当时等号成立．
当时，不等式两边取对数，得，所以，当且仅当时等号成立．
当时，设，
则，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，所以．
当时，设，因为，
所以，
所以，即．
故，所以．
综上所述，．
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即()，变形即可证明.
【详解】（1）令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题.
二、单选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算，计算可得，则.构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出，根据对数函数的单调性即可得出；先证明当时，.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得.
【详解】因为，
所以，.
令，，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以.
因为在上单调递增，所以；
令，则恒成立，
所以，在R上单调递减，
所以，当时，有，即，
所以.
因为，
所以，
所以.
所以.
故选：B．
【点睛】方法点睛：对变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关系.
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答.
【详解】因为在上单调递增，于是，即，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，
取，则，所以，即，
所以.
故选：A
4．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，进而数形结合求解即可.
【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
令
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以，要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为,则，或，
所以，关于方程的两个实数根为
所以，由韦达定理得，
故选：B
【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于方程的两个实数根为，进而得.
三、多选题
5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数（且），下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．为非奇非偶函数
C．为偶函数（为的导函数）
D．若，则对任意成立
【答案】ACD
【分析】先证明函数为奇函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断AB；求出函数的导函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断C；易得，再根据，可得，即可判断D.
【详解】因为，所以的定义域为，
因为，
所以，所以为奇函数，
对于A，因为，
所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，
，
因为，
所以为偶函数，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为，
所以，
又，，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛，解决本题AB的关键在于证明为奇函数，解决D选项的关键是由，结合换底公式转化.
四、填空题
6．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．
【答案】
【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.
【详解】曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，
由题意可知，，所以，
解得或，
因为为锐角，所以
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，所以，
所以直线的方程为即
，
所以，
所以直线的方程为即
所以即
所以即，
所以，即，于是有，
所以.故答案为：.
【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性质解决曲线的公切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.
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