（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）（原卷版+解析）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）题型目录一览一、知识点梳理1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【常用结论】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（3）对于任意的，总存在，使得；（4）对于任意的，总存在，使得；（5）若存在，对于任意的，使得；（6）若存在，对于任意的，使得；（7）对于任意的，使得；（8）对于任意的，使得；（9）若存在，总存在，使得（10）若存在，总存在，使得．二、题型分类精讲题型一 求函数的极值与极值点策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】已知函数，求函数的极值.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为2．（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（    ）A．1 B．2 C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）A． B． C．b D．44．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（    ）A．-3 B．1 C．27 D．-55．（2023·四川·高三专题练习）函数的极值点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ）A．的极大值为 B．的极小值为C．的单调减区间为 D．的值域为7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．曲线在处的切线与直线垂直B．在上单调递增C．的极小值为D．在上的最小值为三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值点为___________.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是__．四、解答题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)设a＝0．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并说明理由．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．题型二 极值、极值点中的参数问题【典例1】已知函数，．(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．(2)讨论函数的单调区间．【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（　　）A． B． C． D．12．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．4．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）．A．－1 B．0 C．1 D．25．（2023·全国·模拟预测）已知函数的极值点为1和2，且在上单调递增，则的最小值为（    ）A．4 B． C．5 D．6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（    ）A． B．1 C．2 D．二、多选题7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数在处有极值，且极值为8，则（    ）A．有三个零点B．C．曲线在点处的切线方程为D．函数为奇函数8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（    ）A． B．C． D．三、填空题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极小值为2，则______10．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.四、解答题13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若，函数在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数的取值范围.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．15．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为实数．(1)已知函数在处取得极值，求的值；(2)已知不等式对都成立，求实数的取值范围．题型三 求函数的最值策略方法 1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．【题型训练】一、单选题1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（    ）（注：）A．3 B．C．5 D．2．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）A． B．0，,e2 C． D．3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数，且，则的最小值为（    ）A．1 B．e C． D．4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（    ）A．有最小值，有最大值 B．无最小值，有最大值C．有最小值，无最大值 D．无最小值，无最大值5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、填空题6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________．8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，，且，则的最小值为__________．9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为______.三、解答题10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求实数的值．11．（2023·全国·模拟预测）已知.(1)求的最值；(2)当，时，若恒成立，求正整数的最大值.12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.题型四 最值中的参数问题【典例1】已知和有相同的最大值（），求的值；【题型训练】一、单选题1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ）A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ）A． B． C． D．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（    ）A．0 B．4 C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数只有一个零点B．函数只有极大值而无极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若当时，，则t的最大值为2三、填空题8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．四、解答题10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数（）.(1)若的零点有且只有一个，求的值；(2)若存在最大值，求的取值范围.12．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．题型五 函数极值、最值的综合应用【典例1】已知函数的最小值为0．求实数的值；【典例2】已知函数．(1)证明：(2)若，求．【题型训练】一、单选题1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是（    ）A． B． C．1 D．e2．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为C．若有两个零点，，则D．若，且，则的最大值为6．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，则（    ）A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称B．存在实数，使函数为单调函数C．任意实数，函数都存在最小值D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线三、填空题7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，则的取值范围是____________.四、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)证明：存在，且时，.10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求实数的取值范围.①求函数的极值与极值点②极值、极值点中的参数问题③求函数的最值④最值中的参数问题⑤函数极值、最值的综合应用2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）题型目录一览一、知识点梳理1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【常用结论】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（3）对于任意的，总存在，使得；（4）对于任意的，总存在，使得；（5）若存在，对于任意的，使得；（6）若存在，对于任意的，使得；（7）对于任意的，使得；（8）对于任意的，使得；（9）若存在，总存在，使得（10）若存在，总存在，使得．二、题型分类精讲题型一 求函数的极值与极值点策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】已知函数，求函数的极值.【答案】见详解.【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.【详解】，定义域为R，.①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.②当时，令，得， .当， ；当 ， ；∴在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又ae时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．2．（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，利用极小值点求出a值，再借助导数求出极小值作答.【详解】依题意，，因为函数在处取得极小值，则，解得，此时，当或时，，当，时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）A． B． C．b D．4【答案】D【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，再求函数的极小值.【详解】，，，所以，解得：，，所以，得，时，，，，所以是函数的极小值点，.故选：D4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（    ）A．-3 B．1 C．27 D．-5【答案】C【分析】求导数，求出，得到解析式，利用导数求函数单调区间，得到极值.【详解】因为，所以，则，解得，故，，当或时，，当时，，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值27.故选：C5．（2023·四川·高三专题练习）函数的极值点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧导函数值的正负，即可判断零点个数.【详解】由题意得，，令得，令得，令得，故为函数的极小值点，即函数的极值点个数为1个.故选：B二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ）A．的极大值为 B．的极小值为C．的单调减区间为 D．的值域为【答案】ABD【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.【详解】，，令，得或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以是函数的极大值点，极大值，是函数的极小值点，极小值，故AB正确；C错误；，，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是，所以函数的值域是，故D正确.故选：ABD7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．曲线在处的切线与直线垂直B．在上单调递增C．的极小值为D．在上的最小值为【答案】BC【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.【详解】因为，所以，所以，故A错误；令，解得，所以的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故B正确；当时，所以的单调递减区间为，所以的极小值为，故C正确；在上单调递减，所以最小值为，故D错误；故选：BC三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值点为___________.【答案】【分析】利用导数可求得的单调性，根据单调性可得极大值点.【详解】由题意知：定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，是的极大值点.故答案为：.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．【答案】(答案不唯一）【分析】先利用条件求出，从而得到，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而利用极值点的定义求出结果.【详解】因为，所以，则，解得a＝1，则，所以，由，得到或，，由，得到，，由，得到，，所以的极大值点为，，当k＝0时，，故的一个极大值点为（答案不唯一，满足，即可）.故答案为：.10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是__．【答案】③④⑤【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.【详解】求导函数可得，当时，；当，或时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值为，的极小值为，函数没有最值，要使有三个解、、，那么结合函数草图可知：，所以，且，所以，，，，故①②错误；③④⑤正确.故答案为：③④⑤．四、解答题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，判断函数单调性求得极值，然后比较极值与端点函数值大小可得；（2）求导，分，，讨论函数单调性，然后可得极值.【详解】（1）当时，．则．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．而，，，显然，故在区间上，，．故函数在区间上的值域为．（2），，则．①当时，，所以在定义域上单调递增，不存在极值．②当时，令，解得或，又，所以当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，，在处取得极小值，．③当时，令，解得或，又，所以当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，；在处取得极小值，．综上，当时，无极值；当时，，；当时，，．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)设a＝0．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并说明理由．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．【答案】(1)①y＝－3x＋1；②有极大值，没有极小值，理由见解析(2)．【分析】（1）①由导数的几何意义计算即可；②利用导函数判定函数的极值即可；（2）法一、分离参数得，构造函数判定其单调性及极（最）值，即可得出结果；法二、半分离参数，将问题转化为，两函数在上有两个交点，利用导数的几何意义，结合图象分析即可.【详解】（1）因为a＝0，所以，．①由及，得曲线在点处的切线方程为：y－（－2）＝－3（x－1），即y＝－3x＋1．②令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，没有极小值．（2）法一、由，得，则．设函数，则．令函数，易知在上单调递减，且，所以当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，则．由，，得，故a的取值范围是．法二、由，得，则．设函数，则．设直线与曲线切于点，则，整理得．令，易知其为增函数，且，所以a＝1．直线y＝a（x＋1）过定点，当该直线经过点时，．数形结合可知，当且仅当时，直线y＝a（x＋1）与函数的图象恰有两个交点，即在上恰有两个零点，故a的取值范围是．【点睛】本题考察导数与函数的综合，属于压轴题.第二问含参函数在定区间的零点问题的处理方式常有：分离参数法，将问题转化为参数与一个函数在定区间的交点问题；半分离参数，将问题转化为一个简单的含参函数与另一个简单的函数的交点问题.题型二 极值、极值点中的参数问题【典例1】已知函数，．(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．(2)讨论函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求定义域，求导，根据求出，验证后得到答案；（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分，，与分类讨论，得到函数的单调区间.【详解】（1）定义域为，，因为在x＝1处取得极值，所以，解得：，经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；（2），当时，恒成立，令得：，令得：，故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，故令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，恒成立，故的单调递增区间为；当时，，令得：或，令得：，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（　　）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据条件列方程组求出a和b.【详解】因为函数定义域为，所以依题可知， ，而 ，所以，即 ，所以 ，因此当时，,故函数在递增；时，,故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；故选：C．2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.【详解】因为，所以，由已知得 ，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.【详解】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．故选：A.4．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）．A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据极值点的定义即可求解.【详解】由题意可知，若1不是函数的极值点，则，即，当时，，故当 ，当，因此是 的极值点，1不是极值点，故满足题意，故选：D5．（2023·全国·模拟预测）已知函数的极值点为1和2，且在上单调递增，则的最小值为（    ）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】对函数求导，由极值点建立方程组找出间的关系，利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，所以由题函数的极值点为1和2，且在上单调递增，所以，所以，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：D．6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（    ）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质，是的一条对称轴，可求得表达式，即可求出答案.【详解】由是的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知，是的一条对称轴，即，，求得，，当时，的最小值为.故选：A.二、多选题7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数在处有极值，且极值为8，则（    ）A．有三个零点B．C．曲线在点处的切线方程为D．函数为奇函数【答案】AC【分析】由条件根据极值与导数的关系求，判断B，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.【详解】由题意得，又，又，解得(舍去）或，故B项错误；，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，，，所以有三个零点，故A项正确；又，，则曲线在点处的切线方程为，即，故C项正确；，故D项错误.故选：AC.8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求导函数，再根据存在极值点个数，参数分离构造新函数根据函数单调性及最值列式求解可得范围.【详解】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，若，则．当时，，即，即，即，设，则，所以在上单调递减，则，则，所以．若，则．当时，，即，若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即．设，则易得在上单调递减，在上单调递增，所以解得，所以．综上，的取值范围是，故选:BD．三、填空题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极小值为2，则______【答案】【分析】求函数的极小值的表达式，列方程求.【详解】函数的定义域为，求导得，令可得，当时，，函数在单调递减；当时，，函数在单调递增，故的极小值为，由已知可得，所以．故答案为：.10．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．【答案】【分析】先求导，再转化为在上有解求解．【详解】解：由题得，要使在上存在极值，则在上有解．因为当时，，令，则，设，则，在上单调递增，，又恒成立，故m的取值范围为．故答案为：11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.【答案】【分析】根据函数有两个极值点得到是方程的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.【详解】，是的两个零点，即是方程的两个不相等的实数根，， 是方程的两个不相等的实数根.令，则.当或时，；当时，，在和上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，.，且.由，得，，，由，即.故答案为：.12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】首先根据题意得到，从而得到，再分类讨论其单调性即可得到答案.【详解】，因为是的极小值点，所以，解得.所以.当时，，，，为减函数；，，为增函数，所以是的极小值点，符合条件.当时，令，解得或.当时，，，为增函数；，，为减函数；，，为增函数，所以是的极小值点，符合条件.当，即时，，则在R上为减函数，无极值点，舍去.当时，即，，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，所以是的极大值点，舍去.当时，即，，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，所以是的极小值点，符合条件.综上，a的取值范围为.故答案为：.四、解答题13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若，函数在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求得在点处的切线方程；（2）求得，①当时，取得，求得在上递减，在上递增，不符合题意；②当时，令，根据和两种情况讨论，分别求得函数的单调区间，求得函数的极值，进而求得的取值范围.【详解】（1）解：当时，，可得，则，即切线的斜率为，切点坐标为 所以函数在点处的切线方程为，即.（2）解：由函数，其中，可得，①当时，，此时，令，解得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，不符合题意；②当时，令，则，（i）若，即时，则对，，即恒成立，此时在上无极值，不符合题意；（ii）若，即，则图象的对称轴为，所以在上单调递增，因为，由函数单调性和零点存在性定理得，在上存在唯一的实数，使得，此时，当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以仅在处取得极小值，极小值为，因为在上单调递减，且，所以，符合题意.综上，实数的取值范围为.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根，即在区间上有两个不等实根．设，对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；（2）要证，即证，设，即证当时，成立，令，对求导，得到的单调性，即可证明.【详解】（1）由题意得，函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根．又，所以在区间上有两个不等实根．设，则．当时，，函数单调递增，与方程在区间有两个根矛盾．当时，由，得，当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数．，，当时，与方程在区间上有两个根矛盾．当时，．又，．设，，当时，，，所以，故函数在区间上和区间上各存在一个零点．综上，时，函数在区间上有两个极值点．（2）证明：不妨设，故有，要证，即证，即．由得故．要证，即证，即证，即．设，即证当时，成立．设，．所以在区间上为增函数，故，即当时，成立，综上，成立．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.15．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为实数．(1)已知函数在处取得极值，求的值；(2)已知不等式对都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由极值点的定义可得，解出的值并验证即可；（2）由题意可得对任意都成立，按照的不同取值结合二次函数的图象和对称轴分情况讨论即可.【详解】（1）由题意可得，因为函数在处取得极值，所以，解得，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数在处取得极大值，符合题意.（2）由题设知，对任意都成立，即对任意都成立，令，①当时，由解得，显然时不成立，故；②当，即时，为开口向下的抛物线，的对称轴为，所以在上单调递减，所以由对任意都成立可得，解得，与矛盾，故不符合题意；③当，即时，为开口向上的抛物线，的对称轴为，若，即时，，解得或，所以；若，即时，由对任意都成立可得，解得，所以；综上所述，.题型三 求函数的最值策略方法 1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.【详解】（1）解：函数的定义域为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，所以，所以当时，求的最大值为；（2）解：函数，则，，，①若，则，所以在上单调递增，故，不符合题意；②若，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则，令，可得，解得，因为，所以符合题意，综上所述.【题型训练】一、单选题1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（    ）（注：）A．3 B．C．5 D．【答案】B【分析】由以及极值点的知识求得，求得的单调区间，进而求得在区间上的最大值.【详解】，由于是的极值点，所以，此时，所以在区间递减；在区间递增.所以是极小值点，符合题意.，，由于，所以在区间上的最大值为.故选：B2．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）A． B．0，,e2 C． D．【答案】C【分析】当时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当时根据二次不等式的解法讨论的范围进而即得.【详解】由题意知，当时，；当时，；当时，．当时， ，即 ，构造函数 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， ， ；当时，，当时，由，解得，不合题意；当时，由，得，不合题意；当时，由，得，，所以，此时，不合题意；当时，，由，解得，此时当时恒成立，所以的解集为，符合题意；当时，由，得，又，所以，此时适合题意；综上，关于的不等式的解集为，则 .故选：C.3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数，且，则的最小值为（    ）A．1 B．e C． D．【答案】A【分析】根据展开得到的解析式，根据导数求出解析式单调性继而判断解析式的取值范围，即可得到答案.【详解】由，得，化简整理得，因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以的取值范围也是R，令，令，解得.当时，，即h（x）在（-∞，0）上单调递减；当时，，即（x）在（0，+∞）上单调递增；所以，故故选：A.4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（    ）A．有最小值，有最大值 B．无最小值，有最大值C．有最小值，无最大值 D．无最小值，无最大值【答案】C【分析】利用导数判断函数的单调性进而求出最值.【详解】由已知得，记，∵，∴在上单调递增，∴，∴当时，当时∴在上单调递增，在上单调递减，故有最小值，无最大值.故选：.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.【详解】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C二、填空题6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．【答案】【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.【详解】设，则．当时，恒成立，则函数在上单调递增，，不合题意，舍去；当时，由得．当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，令，易得在上单调递减，，则的解集为，即实数a的取值范围是．故答案为：.7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________．【答案】【分析】设函数，，则恒成立，由函数在处取得最大值，则，得出，再验证当时，符合题意．【详解】由题意设，，则恒成立，显然，函数在处取得最大值，，而，，即．当时，，当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.，符合题意．故实数a的取值集合为．故答案为：.8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，，且，则的最小值为__________．【答案】【分析】先根据得出所满足的关系式，然后用表示，然后利用导数工具求解的最小值.【详解】由，得，化简整理得．令，则，令，解得．当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，，．故答案为：9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为______.【答案】1【分析】分离参数，构造函数，利用导数求函数的最小值，分析最小值的范围，得解.【详解】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，又，，所以在有且仅有一个根，满足，即，当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以，由对勾函数可知，即，因为，所以，，所以.故整数的最大值为1.故答案为：1三、解答题10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求实数的值．【答案】(1)最小值为，最大值为(2)【分析】（1）先求的导函数，再根据导函数在区间上的正负确定的单调性，从而可求其在给定区间的最大与最小值；（2）设，由已知得，当时，；当时，，从而可得，当时，；当时，，所以，得，再证明当时，恒成立即可．【详解】（1）因为，                    所以在区间上单调递增．                        所以的最小值为；的最大值为．（2）的定义域为．由（1）知，且在上单调递增，所以当时，；当时，．            设．若恒成立，则当时，；当时，．所以，即，解得．                    下面证明：当时，恒成立．此时，，．当时，．所以在上单调递增，．                当时，设．因为，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．                    且当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且，所以当时，恒成立．综上，．【点睛】关键点睛：本题第一小问考查函数在给定区间的最值，通过对单调性的讨论即可，属于基础题；第二小问主要考查不等式恒成立求参数问题，关键是通过的正负得到的正负，从而确定的值再证明，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．11．（2023·全国·模拟预测）已知.(1)求的最值；(2)当，时，若恒成立，求正整数的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)3【分析】（1）对函数求导，然后分类讨论确定函数的单调性，从而得最值；（2）先根据题意把恒成立问题转化成求函数的最小值问题，然后利用导数确定函数的最小值即可.【详解】（1）因为，所以.当时，，所以在上单调递增，无最大值，也无最小值；当时，令，即，所以，令，即，所以；所以在上单调递减，在上单调递增，所以时取得极小值，也是最小值，，无最大值.综上，当时，在上无最大值，也无最小值；当时，在上有最小值，无最大值.（2）因为，时，，恒成立，即恒成立.设，，.设，则，所以在上单调递减，又，，所以存在唯一的，使得，即，当时，，当时，，所以当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，显然，由得，设，在时恒成立，在上单调递减，，，所以，所以，则满足的最大的正整数的值为3.【点睛】恒成立问题解题策略方法1：分离参数法求最值(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)恒成立⇔；恒成立⇔；方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在处的切线方程即可证明；（2）把不等式恒成立转化为求函数的最大值小于等于零恒成立，然后利用导数求出函数的最大值即可得结果.【详解】（1）由已知得，所以，又，所以在处的切线方程为，即，恒过坐标原点.（2），定义域为，.当时，在上单调递增，且，故不恒成立.当时，设，则，则当时，在上单调递减，又，因为，所以，即，由零点存在定理知在内存在唯一零点，即，即.当时，，于是在上单调递增，当时，，于是在上单调递减，所以在处取得极大值也是最大值，要使恒成立，只需.因为，由，解得，故所求的的取值范围是.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.题型四 最值中的参数问题【典例1】已知和有相同的最大值（），求的值；【答案】【分析】分别用导数法求出与的最大值，由最大值相等建立等式即可求解.【详解】解：的定义域为，且，，当时，，递增；当时，，递减；所以，的定义域为，且，当时，，递增；当时，，递减；所以，又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以.【题型训练】一、单选题1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点【详解】，当或时，，当时，，所以函数在，上递增函数，在上递减函数，故时函数有极大值，且，所以当函数在上有最大值，则且，即，解得.故选：B.2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出，设，得出有一正根一负根，因此题意说明正根在区间内，从而由得参数范围．【详解】，设，因为，因此有两个不同实根，又，因此两根一正一负，由题意正根在内，所以，解得，故选：A．3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.【详解】当时，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，此时，函数在上无最小值，不合乎题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，函数在上的极小值为，且，则，综上所述，.故选：A.4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ）A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值【答案】D【分析】利用导函数研究单调性，结合区间最值求得，进而判断在上的单调性，即可得答案.【详解】由，则时，时，所以在上递增，上递减，而，在上的最大值为k，所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.故选：D5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，无最小值；当时，；当时，利用导数可求得时的，结合时可构造不等式组，结合的单调性和可求得的范围，从而确定的取值；列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】若，当时，为增函数，且，不合题意；若，，则最小值为；若，当时，的最小值为；当时，，则若，则；若，则；在上单调递减，在上递增，此时的最小值为；，，则；设，则在上单调递增，又，的解为；综上所述：实数的取值范围为，又，或；设事件：“恒成立”，所有取值构成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个；.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与概率的综合应用问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合导数的知识求得的单调性，从而利用最小值来构造不等式求得的值，进而采用列举法来求得所求概率.二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（    ）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解【详解】，令，解得或.①当时，可知在上单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故A正确.②当时，可知在上单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故B正确.③当时，可知在的最小值为，最大值为b或或，，则，与矛盾.若，，则或或，与矛盾.故C､D错误.故选：AB7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数只有一个零点B．函数只有极大值而无极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若当时，，则t的最大值为2【答案】CD【分析】解方程判断A；利用导数探讨的极值判断B；分析函数的性质，借助图象判断C；由结合取最大值的x值区间判断D作答.【详解】对于A，由得：，解得，A不正确；对于B，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，B不正确；对于C，由选项B知，作出曲线及直线，如图，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以当时，方程有且只有两个实根，C正确；对于D，因，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，即，所以t的最大值为2，D正确.故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．【答案】（答案不唯一，、均可）【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】因为，则.由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为、，所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得，所以，整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，、均可）.9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．【答案】【分析】分类讨论，根据函数的单调性与最值的关系求解.【详解】当时，，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以解得，与矛盾；当时，，(i)若，即，则有在单调递减，单调递增，所以解得，与矛盾；(ii)若，即，则有在单调递减，单调递增，所以解得，满足题意；综上，，故答案为:.四、解答题10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．【答案】(1)极大值为9，无极小值(2)【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意得，当时，，则，令，得，，，在内随x变化而变化的情况如下表所示：故在内的极大值为9，无极小值；（2），①当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，解得，与矛盾，②当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递减，所以在上，，符合题意，③当时，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，即，即，即，解得或，与矛盾，综上，实数a的取值范围为．【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数（）.(1)若的零点有且只有一个，求的值；(2)若存在最大值，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，令得到，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极大值，即可得解；（2）由（1）知，当时，，显然不符合题意，当时，有两个零点，易知，即可得到的单调性，依题意可得有最大值，即可求出的取值范围，再结合的单调性，计算可得.【详解】（1）因为，所以，令，即，得，令，由，则时，，时，，所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以在处取得极大值即最大值，又时，；时，，，所以当时，有且只有一个零点.（2）因为，由（1）知，当时，，所以在区间单调递减，无最大值；当时，有两个零点，易知，当或时，，故单调递减，当时，，故单调递增，又时，，时，，所以有最大值，消去得，结合以及在区间单调递减，且，所以.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．12．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到其单调区间；（2）根据题意，整理可得当时，恒成立，构造，转化为即可，然后通过求导研究函数的最大值，即可得到a的取值范围.【详解】（1）当时，，则，易知在上单调递增，且，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上所述，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，．整理得，即恒成立．令，则即可，所以必有成立，即．易知，令，则，，易知．当时，，所以当和时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．故，故，解得．当时，，，所以当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减．故，解得，所以．综上所述，实数a的取值范围为．【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于转化为时，恒成立，然后构造，由来求解的值.题型五 函数极值、最值的综合应用【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.【详解】（1）解：函数的定义域为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，所以，所以当时，求的最大值为；（2）解：函数，则，，，①若，则，所以在上单调递增，故，不符合题意；②若，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则，令，可得，解得，因为，所以符合题意，综上所述.6．已知函数的最小值为0．求实数的值；【答案】【分析】求导函数，导函数为增函数，由题意在定义域内有实数解，即，而，由此得出关于的方程，引入新函数，利用导数证明此方程只有唯一解，从而可得结论.【详解】，显然在定义域内是增函数，有最小值，则有实数解，时，，单调递减，，，单调递增，则有，，，，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，因此由得.【典例2】7．已知函数．(1)证明：(2)若，求．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；（2）构造函数，求导分析单调性可得当时，结合（1）中的结论求解即可【详解】（1）证明：的定义域为，且令，得．当时，，单调递增当时，，单调递减，所以，所以（2）令，则．当时，有，与题设矛盾，故舍去．当时，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以由知，当且仅当时，取等号，所以，所以．【题型训练】一、单选题1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是（    ）A． B． C．1 D．e【答案】C【分析】设，求得，当时，得到在上单调递增，得到，即，设，求得，得到时， 在上单调递增，得到，即，得到，进而得到，即可求解.【详解】设，可得，当时，，则在上单调递增，故当时，，即，当且仅当时，等号成立，设，则，当时，，则在上单调递增，故当时，，即，当且仅当时，等号成立，可得，所以，所以，所以的最大值是.故选：C.2．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设，然后构造，由导数研究函数的最小值，即可得到结果.【详解】不等式，即，所以.设，则，可知时，，单调递减；时，，单调递增，所以.令，则.当时，，单调递增，则，则，故满足条件；当时，则在上单调递减；在上单调递增，则，设，则，则在单调递减，又，所以，则，综上所述，的取值范围是.故选：A【点睛】解答本题的关键在于，先换元令，然后构造函数，得到其最值，即可得到结果.3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.【详解】，设，函数定义域为，则，故在上为增函数，有，即，所以，故.设，函数定义域为，则，，解得；，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取最大值，所以，即，时等号成立，所以，即，又，所以.故选：D．4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】有两个不同的极值点，则有两个不同的零点，则且，恒成立，即恒成立，分和两种类型讨论，通过构造函数，利用导数求最值，求的取值范围.【详解】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，若，则，，当时，，即，即，即，设（），则，所以在上单调递减，则，则，所以.若，则，，当时，，即，若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即.设（），则，解得，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则有解得，所以.综上，的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧， 不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为C．若有两个零点，，则D．若，且，则的最大值为【答案】ABD【分析】A选项，由题，，判断在上的单调性即可；B选项，由单调性，；C选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解；D选项，因，及在上单调递增，结合B选项分析可判断选项.【详解】对于A选项，，.又当时，，则在上是增函数，故A正确；对于B选项，时，，又为正实数，所以，又时，，所以在单调递增，故，即.令，知，所以在上递增，在上递减，所以，得正实数的最小值为，故B正确；对于C选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，.注意到，则在上单调递减，在上单调递增，因函数有零点，则.设，令，，因为，所以，当时，，单调递减；所以在上单调递减，所以，即当时，，由题意，，，且在上单调递增，所以，即．故C错误；对于D选项，由AB选项分析可知，在上单调递增，又，，则.由，即，即有，又，在上单调递增，所以，即，所以，其中.由B选项分析可知，，其中时取等号，则，其中时取等号，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.6．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，则（    ）A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称B．存在实数，使函数为单调函数C．任意实数，函数都存在最小值D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线【答案】ACD【分析】根据对称性先用特殊值求得的值，再判断对称性是否对所以自变量均成立即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断D.【详解】对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立所以且，所以，解得，且当时，，则，所以存在唯一实数，使函数图象关于直线对称，故A正确；对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；对于C，由于，又令，则恒成立，所以在上单调递增，且，故存在唯一的零点，使得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数，函数都存在最小值，故C正确；对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，所以切线方程为，当切线过原点时，有整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确.故选：ACD.三、填空题7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.【答案】【分析】根据函数有两个极值点得到是方程的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.【详解】，是的两个零点，即是方程的两个不相等的实数根，， 是方程的两个不相等的实数根.令，则.当或时，；当时，，在和上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，.，且.由，得，，，由，即.故答案为：.8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，则的取值范围是____________.【答案】【分析】根据题意，将不等式变形然后转化为一元二次不等式恒成立问题，将范围转化为函数的值域问题，再结合导数即可得到结果.【详解】，原不等式变形得.，或，，由于，若，则恒成立，在上单调递增，无最大值，不符合题意；若，则，在上单调递增，在上单调递减，所以.综上：，在上单调递减，在上单调递增，且，所以有两个零点，由得，当且仅当时等号成立.，且当，，单调递增，且当，，单调递减；所以，当且仅当时等号成立.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】解答本题的关键在于先转化为恒成立问题，再构造函数，结合导数作为工具研究函数的最值，即可得到结果.四、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)证明：存在，且时，.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）要使，即，求得，得到的单调性和最值，即可求出实数a的值；（2）求得，设，得到，利用导数性质推导出是在的唯一极大值点，即可证明.【详解】（1）解：由函数，可得其的定义域为，且，因为，且，故只需，又因为，则，解得，当时，则，当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在（1，+∞）上单调递增.所以是的唯一极小值点，故，综上可得，实数的值为1.（2）解：由（1）知，可得，设，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又由，所以在有唯一零点，在上有唯一零点1，且当时，；当时，因为，所以是的唯一极大值点.即是在的最大值点，所以成立.10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先求定义域，求导后，对进行分类讨论，即可得到函数的单调性；（2）由题意，可取，得，对原不等式进行放缩可得，构造函数，求导得，再构造，求导得，取特殊值可得的最小值为正数，所以可知在处取得极小值，可得，所以恒成立，故实数的取值范围是.【详解】（1）的定义域为，，当时，，在上单调递减；当时，由，解得：，由，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）由，得，取时，得，所以，下证：，即证：，令，则，构造，则，易知在上是单调递增函数，又，，在上存在唯一零点，设该零点为，且满足，，当时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，当时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，在上恒成立，即，在上恒成立，故实数的取值范围是.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.①求函数的极值与极值点②极值、极值点中的参数问题③求函数的最值④最值中的参数问题⑤函数极值、最值的综合应用x1+0单调递增极大值9单调递减