（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第21讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）（原卷版+解析）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（以下）
（4）单调性
（5）对称轴与对称中心.
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.
（6）平移与伸缩
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【常用结论】
1.根据图像求解析式一般步骤
①根据最高最低点求出A
②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分
③通过带最高或最低点算出φ
2.对称与周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
3.函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
二、题型分类精讲
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【典例1】函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·高三课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．若，则的最小值为
6．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上最大值为B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为
7．（2023·全国·高一专题练习）设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上单调递减
C．的最大值为2D．的图象关于直线对称
三、填空题
8．（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数的递增区间为___________.
9．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）函数的单调递减区间为______.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.则的最大值为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是______．
12．（2023·湖北·统考模拟预测）请写出一个满足下列3个条件的函数的表达式__________.
①；②在上单调递减；③.
四、解答题
13．（2023春·高三单元测试）已知函数，再从①的最大值与最小值之和为0，②这两个条件中选择一个作为已知条件.
(1)求m的值；
(2)求函数在上的单调递增区间.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
14．（2023春·浙江·高三期中）已知函数．
(1)求函数的周期及在上的单调递增区间：
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根．求实数的取值范围．
题型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性
【典例1】使函数为偶函数的最小正数φ＝（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．的最大值是
C．的图象的一条对称轴是直线D．的图象的一个对称中心是
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知曲线的一条对称轴是，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·校考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山东日照·三模）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·北京西城·统考二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．是奇函数
10．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数图象的两个相邻零点的差的绝对值为，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间为
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为B．函数图象关于直线对称
C．函数在上递增D．函数的最大值为1
14．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数的图象关于点成中心对称，若，则______.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为_______.
17．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：
①是偶函数；②；③的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．
18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:
①;
②的单调递增区间为，（）;
③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;
④.
其中正确的序号是__________.
四、解答题
19．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（2）求函数的单调递增区间．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求的对称轴；
(2)若在内的最大值与最小值之和为，求a．
题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
策略方法
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
【典例1】为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
5．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
6．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
8．（2023·河北·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为B．图象关于点对称
C．在区间上单调递增D．图象关于直线对称
9．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．
12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则________．
四、解答题
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．
14．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；
①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．
②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数的零点为，求的值．
题型四 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
策略方法 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2)．
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T)．
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【典例1】函数（其中，，）的图象如图所示，为得到的图象，只需将图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广东韶关·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递增
C．函数的一个极值点为D．函数的一个零点为
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．的最小值是
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
5．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
6．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．点是的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称
7．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．在区间上单调递减
C．将的图象向左平移个单位所得函数为奇函数
D．方程在区间内有4个根
三、填空题
8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______.
9．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数的部分图象如图，，则____________．
10．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为__________．

四、解答题
11．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)设，若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．
12．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
题型五 三角函数图像与性质的综合应用
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
【典例1】已知向量，，函数.
(1)求的单调增区间；
(2)若函数图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得函数的图像，且关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．在单调递增
B．直线是曲线的一条对称轴
C．曲线在点处的切线方程为
D．是一个极值点
2．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·江西九江·统考三模）已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（ ）

A．2B．C．4D．
4．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．若，则的值可以是
D．函数有4个零点
二、多选题
5．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
三、解答题
6．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
(2)若图象相邻两个对称中心之间的距离大于，且，求在上的值域．
①函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
②函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性
③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
④根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
⑤三角函数图像与性质的综合应用
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第21讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
一、的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（以下）
（4）单调性
（5）对称轴与对称中心.
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.
（6）平移与伸缩
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【常用结论】
1.根据图像求解析式一般步骤
①根据最高最低点求出A
②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分
③通过带最高或最低点算出φ
2.对称与周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
3.函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
二、题型分类精讲
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【典例1】函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简可得，整体法求出函数的单调递增区间，结合已知范围，即可得出答案.
【详解】因为.
由可得，
.
当时，，且；
当时，所以，.
所以，函数在上的单调递增区间是.
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，
在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
故B错；
对于C选项，当时，
则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，
则在上单调递减，故D错.
故选：C.
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化简为，再结合余弦函数的单调区间即可判断各项.
【详解】
对于A，当时，，单调递增，A错误；
对于B，当时，，没有单调性，B错误；
对于C，当时，，单调递减，C正确；
对于D，当时，，没有单调性，D错误.故选：C
3．（2023春·高三课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解.
【详解】因为，由有：
，故B，C，D错误.
故选：A.
4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别判断正弦、余弦、正切、的单调性，判断选项A，B，C，再结和正弦余弦正切单调性及诱导公式找中间值比较即可判断D选项.
【详解】A选项：因为在上单调递增，
且，
所以有，
故A错误；
B选项：因为在上单调递增，
且，
所以有，故B错误；
C选项：在上单调递减，
且，
所以有，故C错误.
D选项：因为在上单调递增，
且，
所以，
由在上单调递增，
且，
所以，
所以，
故选：D.
二、多选题
5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．若，则的最小值为
【答案】BC
【分析】利用整体思想，结合余弦函数的周期性、对称性、单调性，可得答案.
【详解】对于A，由函数，则，故A错误；
对于B，由，则，
因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，
故B正确；
对于C，由，则，因为函数的对称轴为直线，故C正确；
对于D，由，则，令，解得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故D错误.
故选：BC.
6．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上最大值为B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；
对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；
对于D，函数的最小正周期，D正确.
故选：BD.
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上单调递减
C．的最大值为2D．的图象关于直线对称
【答案】ABD
【分析】先利用辅助角公式化简为，再根据余弦函数的性质即可一一判断各选项.
【详解】，
对于A，，所以是偶函数，故A正确；
对于B，令，，得，，
当时，，∴在上单调递减，故B正确；
对于C，当，即时，有最大值，故C错误；
对于D，，是最小值，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
8．（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数的递增区间为___________.
【答案】
【分析】根据余弦函数的单调性和单调区间的求法求解.
【详解】因为，
令,
解得，
所以递增区间为，
故答案为: .
9．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）函数的单调递减区间为______.
【答案】，
【分析】利用诱导公式及辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
故答案为：，
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.则的最大值为___________.
【答案】1
【分析】利用整体法，结合余弦函数的单调性即可求出函数的最值.
【详解】因为，所以，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以的最大值为1．
故答案为：1.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是______．
【答案】
【分析】先根据二倍角的余弦将函数化简，然后再利用余弦函数单调增区间即可求解.
【详解】函数，
令，解得：，，
所以函数的单调增区间为，
故答案为：.
12．（2023·湖北·统考模拟预测）请写出一个满足下列3个条件的函数的表达式__________.
①；②在上单调递减；③.
【答案】（答案不唯一）
【分析】由①知为偶函数，由③知的周期为2，再结合的单调区间即可求解.
【详解】由得：，
又
，
的一个正周期为2.
故函数应该是最小正周期为2的偶函数为：（答案不唯一）.
故答案为:（答案不唯一）.
四、解答题
13．（2023春·高三单元测试）已知函数，再从①的最大值与最小值之和为0，②这两个条件中选择一个作为已知条件.
(1)求m的值；
(2)求函数在上的单调递增区间.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选①，；选②，
(2)
【分析】（1）选①，利用三角恒等变换化简，求出的最值，可求得的值；
选②，利用三角恒等变换化简，由列式求解；
（2）利用正弦函数的单调性求解.
【详解】（1）选①：
，
则，，
由条件①可得，解得，
此时.
选②：
，
由条件②，得，解得，
此时.
（2）由（1）知，.
当时，，
当，即时，函数单调递增，
故函数在上的单调递增区间为.
14．（2023春·浙江·高三期中）已知函数．
(1)求函数的周期及在上的单调递增区间：
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根．求实数的取值范围．
【答案】(1)；递增区间是
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数后应用周期公式和单调递增区间求解即得；
（2）根据方程有两个不同的实数根求解值域即可.
【详解】（1）
周期为
所以递增区间是；
（2）
因为方程在上有两个不同的实数根,
.
题型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性
【典例1】使函数为偶函数的最小正数φ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数，得，由此能求出使函数为偶函数的最小正数φ的值．
【详解】∵函数为偶函数，
∴，
∴使函数为偶函数的最小正数．
故选：B
【典例2】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．的最大值是
C．的图象的一条对称轴是直线D．的图象的一个对称中心是
【答案】D
【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质依次判断即可.
【详解】因为，
对于A，函数的最小正周期，故A错误；
对于B，因为，所以函数的最大值为，故B错误；
对于C，令，，解得，，故的图象的对称轴为直线，当时，，故C错误；
对于D，当时，，将代入函数解析式得，故为函数图象的一个对称中心，故D正确，
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简，由为偶函数，求得，结合选项，即可求解.
【详解】由，
因为为偶函数，可得，所以，
令，可得.
故选：A.
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的对称轴公式求解，再由对称中心公式求得结果.
【详解】因为是函数图象的对称轴，
所以，则，又因为，
所以.
令，得，
所以函数图象的一个对称中心为.
故选：A.
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知曲线的一条对称轴是，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质先写出其对称轴的一般形式，然后检查符合条件的选项.
【详解】由题意，，即，于是，，即，，经检验，只有当时即时符合.
故选：C
4．（2023·校考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用二倍角公式化简，结合与的对称性求得的值，进而求得结果.
【详解】因为，
所以．
又因为，
所以，即，①
又因为的图象关于直线对称，
所以，．
所以，，②
所以由①②得，
所以，故．故选：A.
5．（2023·山东日照·三模）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出，可得.
【详解】函数的图像向左平移个单位，得的图像，
又函数是偶函数，则有，，解得，；
所以.
故选：C．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
7．（2023·北京西城·统考二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项.
【详解】当，即
则，
化简为，即，，
当时，，为偶函数，
当时，，为偶函数，
所以，能推出函数是偶函数
反过来，若函数是偶函数，则有，
所以“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选：C
8．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换求出平移后所得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的表达式，即可求得的最小值.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，
由题意可知，函数的图象关于原点对称，
所以，，所以，，
因为，故当时，取最小值.
故选：A.
9．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．是奇函数
【答案】B
【分析】由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点在的图象上， 所以.又，所以.
因为图象的一个对称中心是，所以，，
则，.又，所以，则，A正确.
，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.
当时，，单调递减，C正确.
，是奇函数，D正确.
故选：B.
10．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数图象的两个相邻零点的差的绝对值为，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间为
【答案】D
【分析】根据函数的性质可得的解析式，由正弦函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】因为函数图象的两个相邻零点的差的绝对值为，所以最小正周期，即，故A不正确；
则，所以的图象向左平移个单位长度，得到函数，故B不正确；
函数的图象的对称轴方程满足，，所以，，故C不正确；
函数的单调递增区间满足，，解得，，即的单调递增区间为，故D正确.
故选：D.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数变换结合条件可得，进而，即得.
【详解】因为，
所以，又函数为偶函数，
所以，即，
所以的值可以是，.
故选：BC.
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】化简，得，由，求出，结合四个选项可得答案.
【详解】由已知，得．
因为的图象关于坐标原点对称，所以，
解得．结合选项知，A，D符合题意，B，C不符合题意．
故选：AD．
13．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为B．函数图象关于直线对称
C．函数在上递增D．函数的最大值为1
【答案】BC
【分析】由平方关系可得，根据、是否成立判断A、B；令得，并利用导数研究单调性、最值判断C、D.
【详解】因为，
，故的周期不是，A错误；
因为，故关于直线对称，B正确；
当时，设，，则，
故、上，上，
所以在上递增，而，则，
而在上递增，所以在上递增，故C正确；
由C分析知：在上递减，在上递增，在上递减；
且，，所以函数的最大值为，故D错误.
故选：BC.
14．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线
【答案】ACD
【分析】根据函数的图象关于点中心对称，由求得后，再逐项求解判断.
【详解】解：因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，
因为，所以，则，
令，得，
所以在区间单调递减，故A正确；
B.若，则，由函数的单调性知：在区间有一个极值点，故B错误；
C. 令，得，所以直线是曲线的对称轴，故正确；
D. 由，得，令，得，则或，
解得或，所以曲线在处的切线方程为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数的图象关于点成中心对称，若，则______.
【答案】
【分析】先根据对称性列方程，再根据范围确定结果
【详解】因为函数的图象关于点成中心对称，
所以，所以，所以
因为，所以时，.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为_______.
【答案】3
【分析】根据余弦函数的对称轴方程，结合图象关于直线对称可得，再求解零点的表达式，分析在区间内的解的个数即可
【详解】函数图象关于直线对称，
，(的对称轴是)
，，
由知，时，，
故，
令得，．
因为，所以时，满足条件，故零点有三个．故答案为：3
17．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：
①是偶函数；②；③的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.
【详解】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，
因为，所以，即
所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期，
又的最大值为4，所以满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:
①;
②的单调递增区间为，（）;
③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;
④.
其中正确的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可.
【详解】
对于①：因为，∴，故①正确；
对于②：，
令，，解得，，
所以单调递增区间为，，故②错误；
对于③：将图像向左平移个单位得到，
关于y轴对称，故③正确；
对于④：
，所以④正确；
故答案为：①③④．
四、解答题
19．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1）或,（2）（）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用倍角公式把函数解析式化为，再由对称轴的计算方法得，即（）．所以．最后分为奇数或偶数两种情况求出的值为或．
（Ⅱ）先求出，再由，得函数的单调递增区间为（）
试题解析：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．
考点：辅助角公式的应用‚对称轴的求法ƒ求三角函数单调性区间
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求的对称轴；
(2)若在内的最大值与最小值之和为，求a．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简为，令求解即可；
（2）求得的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为，从而分三种情况讨论：、、结合单调性可求得最值，从而可求解.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以的对称轴为．
（2）由（1）得，
令，
解得，
则的单调递增区间为，
令k＝0，得的一个单调递增区间为．
令，
解得，
则的单调递减区间为，
令k＝－1，得的一个单调递减区间为，
又，则在内单调递减，且，
当时，，，
因为，即，
所以不满足，舍去；
当，此时，
又，所以，
又，且在内单调递增，所以；
当，此时，，
则，不满足，舍去；
故.
题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
策略方法
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
【典例1】为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】变换，再根据三角函数平移和伸缩法则依次判断每个选项，对比得到答案.
【详解】.
对选项A：得到的函数为，A错误；
对选项B：得到的函数为，B错误；
对选项C：得到的函数为，C错误；
对选项D：得到的函数为，D正确，
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.
【详解】由题意可设，则函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得，再向右平移个单位长度，得到函数
则， 所以，
故，
根据选项可知时，，故C正确；
故选：C
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由图象平移变换得到，再由正弦函数的性质求出的单调递增区间.
【详解】将的图象向右平移个单位长度后，
得到，即的图象，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.
故选：C.
3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的解析式为，
再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），
所得图象的函数解析式是.
令，则，当时，.
故选：C
4．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出变换后的函数解析式，再探讨在两个指定区间上的单调性作答.
【详解】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是，
当时，，因为余弦函数在上不单调，
因此函数在上不单调，AB错误；
当时，，因为余弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，C错误，D正确.
故选：D
5．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】C
【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.
【详解】曲线，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象.
故选：C.
6．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．
【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
所以，
因为为偶函数，
所以，即，
当时，可以推导出函数为偶函数，
而函数为偶函数不能推导出，
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与图象重合，求得参数，，即得答案.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
由于得到的函数的图象与图象重合，
故，，
所以，又，所以，
故选：C．
二、多选题
8．（2023·河北·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为B．图象关于点对称
C．在区间上单调递增D．图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】根据函数图象平移法则，求出函数图象平移后得到的函数的解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可．
【详解】函数，的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
所以函数；
对于A，函数的最小正周期为，选项A错误；
对于B，时，，所以的图象关于点对称，选项B正确；
对于C，，，在上单调递减，选项C错误；
对于D，正切型函数的图象不是轴对称图形，所以选项D错误．
故选：ACD．
9．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】利用辅助角公式化简函数并求出，再借助函数的单调区间列式求解作答.
【详解】依题意，，于是，
当时，，
当在上单调递增时，，
即，解得，不存在整数使得取得ABCD选项中的值；
当在上单调递减时，，
即，解得，
当时，，CD符合，不存在整数使得取得AB选项中的值.
故选：CD
10．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】先根据对称轴求出解析式，再结合平移伸缩得出新的解析式，最后求出单调减区间判断即可.
【详解】依题意，，则，因为，所以，
故．将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到的图像，
再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到的图像，
令，得函数的单调递减区间为.
故选:ABD．
三、填空题
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．
【答案】
【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值.
【详解】，函数的最小正周期为，，．
将的图像向左平移个单位长度，可得的图像，
根据所得图像关于轴对称，可得，，解得，，
又，则令，可得的值为．
故答案为：．
12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则________．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
因此，.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知，.后由
可进一步确认大致范围，后可得答案.
【详解】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：
，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），
则解析式变为.则.
当时，，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，.
∴，∴在区间上的最大值为．
（2），当时，，
要使在上无零点，则，.
，，，，
当时，；当时，，
当时，舍去．
综上：的取值范围为．
14．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；
①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．
②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数的零点为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦函数图像的性质得出，选①：由正余弦函数的奇偶性得出，进而由二次函数的性质求解即可；选②：由正余弦函数的奇偶性得出，进而由二次函数的性质求解即可；
（2）由得出，再由诱导公式结合倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是，
所以，解得，所以，
选①：
当将的图像向右平移个单位，得到函数，
因为为奇函数，所以，即，
因为 ，所以，则
则，
因为，所以，则，
所以.
选②：的图像向左平移个单位，得到函数，
因为函数为偶函数，所以，即.
因为 ，所以，则
则，
因为，所以，则，
所以.
（2）因为函数的零点为，
所以，则，
所以，
.
题型四 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
策略方法 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2)．
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T)．
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【典例1】函数（其中，，）的图象如图所示，为得到的图象，只需将图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】由函数图象可求出，由周期求出，根据最值点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图象变换规律，即可得到结果．
【详解】由图象可知，，函数周期为，所以；
将点代入，得，
所以，又，
所以，所以，
所以要得到只需将向右平移个长度单位.
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先有图象结合三角函数的性质得出解析式，再根据图象变换得解析式，继而可得答案.
【详解】由图象可知的周期为，代入可得，又，
故，
左移个单位长度得，
故.
故选：C
2．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得参数，结合，求得，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得且，
可得，所以，即，
又由，解得，
即，因为，所以，所以.故选：A.
3．（2023·广东韶关·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递增
C．函数的一个极值点为D．函数的一个零点为
【答案】B
【分析】根据图象确定的解析式，然后根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质一一判断．
【详解】由图可知，，所以，又，所以；
又，所以，，所以，，
因为，所以，故，
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位得到，
即，
所以的图象的最小正周期为，故A正确；
因为，所以，则在上不单调，故B错误；
对于C：令，，解得，，
当时，函数的一个极值点为，所以C正确；
对于D：令，，解得，，
令，则函数的一个零点为，所以D正确．故选：B．
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．的最小值是
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
【答案】A
【分析】根据题目所给函数图象分别过，和，再结合正弦函数的图象与性质求得，对各个选项逐一判断即可.
【详解】由图象可得：函数的最小正周期满足，
即函数的最小正周期，所以B选项错误；
因为，且，所以，即，
又知图象过和，
则有，即，则，其中，
又，，所以取，即，，
所以函数，
即，则的最小值为，所以A选项正确；
当时，，
又，取得最小值，
所以在不是单调函数，所以C选项错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到，所以D选项错误，
故选：A.
5．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】依题意可得，，，
再根据五点法作图可得，解得，．
因为，所以的图象关于点对称，故①正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故②正确；
将的图象向左平移个单位长度得到，
故③错误；
因为，当时且，，
因为函数在上有且只有两个极值点，
所以，解得，即的最大值为，故④正确；
故选：C
二、多选题
6．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．点是的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称
【答案】AC
【分析】根据函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.
【详解】由图可知，，所以，即，解得，
所以，又，
所以，解得，又，所以，
所以，故A正确，B错误；
，所以点是的一个对称中心，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位得到，
显然函数不是偶函数，故D错误；
故选：AC
7．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．在区间上单调递减
C．将的图象向左平移个单位所得函数为奇函数
D．方程在区间内有4个根
【答案】BCD
【分析】观察图象可得函数的周期，由此可求，再由求参数，由此判断A，根据正弦函数的单调性判断B，
结合三角函数图象变换结论和正弦函数性质判断C，解方程判断D.
【详解】由图可得：，又，
所以，
因为，
所以，
故，又，
所以
故，所以A错误；
因为，所以，
所以在区间上单调递减，故B正确；
的图象向左平移个单位所得函数为，该函数为奇函数，故C正确；
因为，所以，由得：
或或或，
解得或或或，
故有4个根，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______.
【答案】
【分析】先有图象结合三角函数的性质得出解析式，再根据图象变换得解析式，继而可得答案.
【详解】由图象可知的周期为，代入可得，又，
故，
左移个单位长度得，
故.
故答案为：-1
9．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数的部分图象如图，，则____________．
【答案】
【分析】由求出，由图像得，结合求解，根据函数的对称性得，再结合求得结果.
【详解】结合题意可知，，，
∵，∴，
又由图像可知，，即，解得.
又由，即，即，，
从而，故，
令，，则，
从而的对称轴为，，
由图像可知，与关于对称，即，，
因为，即，
所以．
故答案为：.
10．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为__________．

【答案】
【分析】根据图象可利用周期得，进而将代入，结合二倍角公式可得，即可求解.
【详解】其中，设周期为,由图象可知：，解得,故，
由于在图象上，所以；且，
由于，所以，故，
故可得，
由于，所以，进而可得，所以，
故答案为：
四、解答题
11．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)设，若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象先求A，利用周期和图象所过点求出其它参数;
（2）先求的解析式，根据单调性求得范围.
【详解】（1）由图象得,，所以,
由，所以，所以，
由图象经过点，代入得，
由得,
所以.
（2）由题意，
因为函数在区间上单调递增，且 ，
所以，解得，所以的最大值为.
12．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解；
（2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解.
【详解】（1）解：由函数的图象知：，则，
所以，，
因为，
所以，则，
又因为，则，
所以；
（2）由题意得：，
令，
则化为：，
即在上有解，
由对勾函数的性质得：，所以.
题型五 三角函数图像与性质的综合应用
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
【典例1】已知向量，，函数.
(1)求的单调增区间；
(2)若函数图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得函数的图像，且关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，().
(2)
【分析】（1）根据向量数量积坐标化运算和三角恒等变换化简得，列出不等式，即可得到其单调增区间；
（2）根据变换得，利用换元法求出范围，即可得到范围.
【详解】（1），
令，，
解得，
故函数的单调增区间为，().
（2）由题意可知，令，∵时，，
，故当在上有解时，
范围是.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．在单调递增
B．直线是曲线的一条对称轴
C．曲线在点处的切线方程为
D．是一个极值点
【答案】D
【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A，B，C，D的真假．
【详解】因为的图象关于点对称，
所以，，所以，，
因为，所以，故，
当时，，故在单调递减，故A不正确；
当时，得，故直线不是曲线的一条对称轴，故B不正确；
对求导可得，，
令，又，
故函数在点处切线方程为，即，故C不正确；
当时，得，故是一个极值点，故D正确；
故选：D.
2．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】依题意可得，，，
再根据五点法作图可得，解得，．
因为，所以的图象关于点对称，故①正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故②正确；
将的图象向左平移个单位长度得到，
故③错误；
因为，当时且，，
因为函数在上有且只有两个极值点，
所以，解得，即的最大值为，故④正确；
故选：C
3．（2023·江西九江·统考三模）已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（ ）

A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据图象先求出，然后根据函数过点和在单调递减得到，代入函数解析式，利用两角和与差的正弦公式即可求解.
【详解】由图可知，，，则，
，又，且在单调递减，
，，，，
又，，，
.
故的最大值为.
故选：D.
4．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．若，则的值可以是
D．函数有4个零点
【答案】D
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简，进而可画出其图象，结合图象根据选项即可求解.
【详解】依题意， ，
作出函数的大致图象如图所示，观察可知，A、B正确；
若，可以取，，故C正确；
当，当 ，
结合图象可知与有5个交点，故函数有5个零点，故D错误.
故选：D
二、多选题
5．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】ACD
【分析】根据相邻对称轴间的距离为，可得，可求，根据点是其中的一个对称中心及可求，从而可得的解析式，再逐项判断即可.
【详解】因为函数图象相邻对称轴间的距离为，则，即，所以正确；
因为，则，即，且点是对称中心，
当时，，即，
又，所以，即.
令,解得，
所以函数的对称轴为，所以错误；
令,解得，
函数的单调增区间为：，所以C正确；
函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得函数，所以正确.
故选:ACD.
三、解答题
6．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
(2)若图象相邻两个对称中心之间的距离大于，且，求在上的值域．
【答案】(1)对称轴方程，最近的对称轴方程为
(2)
【分析】（1）由周期求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的对称轴；
（2）依题意可得，即可求出范围，从而求出的值，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由，得，所以，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为，
取，得，取，得，
因为，所以与轴距离最近的对称轴方程为．
（2）设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于，
所以，即，由，，解得．
又且，所以．
所以．
因为，所以，
所以，即在上的值域为．
①函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
②函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性
③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
④根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
⑤三角函数图像与性质的综合应用