新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数（高频精讲）（原卷版+解析版）

这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数（高频精讲）（原卷版+解析版），共84页。试卷主要包含了根式的概念及性质，分数指数幂，指数幂的运算性质，指数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13954" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc13954 \h 2
\l "_Tc31885" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc31885 \h 3
\l "_Tc11657" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11657 \h 3
\l "_Tc27114" 高频考点一：指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc27114 \h 3
\l "_Tc31929" 高频考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc31929 \h 4
\l "_Tc2726" 高频考点三：指数函数的图象 PAGEREF _Tc2726 \h 5
\l "_Tc29504" 角度1：判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc29504 \h 5
\l "_Tc4611" 角度2：根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc4611 \h 9
\l "_Tc15611" 角度3：指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc15611 \h 10
\l "_Tc13180" 角度4：指数函数图象应用 PAGEREF _Tc13180 \h 11
\l "_Tc551" 高频考点四：指数（型）函数定义域 PAGEREF _Tc551 \h 12
\l "_Tc30285" 高频考点五：指数（型）函数的值域 PAGEREF _Tc30285 \h 13
\l "_Tc21850" 角度1：指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc21850 \h 13
\l "_Tc12778" 角度2：指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc12778 \h 14
\l "_Tc27266" 角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 PAGEREF _Tc27266 \h 15
\l "_Tc25490" 高频考点六：指数函数单调性 PAGEREF _Tc25490 \h 15
\l "_Tc9929" 角度1：由指数（型）函数单调性求参数 PAGEREF _Tc9929 \h 15
\l "_Tc19749" 角度2：判断指数型复合函数单调性 PAGEREF _Tc19749 \h 16
\l "_Tc22654" 角度3：比较大小 PAGEREF _Tc22654 \h 17
\l "_Tc4058" 角度4：根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc4058 \h 18
\l "_Tc8064" 高频考点七：指数函数的最值 PAGEREF _Tc8064 \h 19
\l "_Tc18835" 角度1：求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc18835 \h 19
\l "_Tc4535" 角度2：根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc4535 \h 20
\l "_Tc12767" 角度3：含参指数（型）函数最值 PAGEREF _Tc12767 \h 21
\l "_Tc17569" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc17569 \h 23
\l "_Tc23521" ①开放性试题 PAGEREF _Tc23521 \h 23
\l "_Tc27645" ②结构不良试题 PAGEREF _Tc27645 \h 23
\l "_Tc11457" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc11457 \h 24
\l "_Tc32539" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc32539 \h 24
\l "_Tc21072" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21072 \h 25
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第一部分：知识点必背
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
例题2．（2023·全国·高三专题练习）=____________
例题3．（2023·全国·高三专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万元
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
3．（2023·全国·高三专题练习）若，=______________
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（ ）
A．B．2C．D．4a的值为
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若：函数是指数函数，，则是的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
例题3．（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数的值．
练透核心考点
1．（2023秋·云南大理·高一统考期末）已知函数（a>0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A．B．=2C．=3D．=6
2．（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．
（2023·高一课时练习）当时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是______．
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
例题2．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知函数，若，则的取值范围是______
例题3．（2023·高一课时练习）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2B．C．D．
例题4 ．（2022·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）B．（-∞，-2]
C．（3，+∞）D．[3，+∞）
3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（多选）（2022·高一单元测试）已知函数且，的图象不经过第三象限，则的范围可能为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·山东烟台·高一统考期末）函数（且）的图象过定点（ ）
A．（0，－2）B．（0，－1）C．（1，－2）D．（1，－1）
例题2．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）函数且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.
例题3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______.
练透核心考点
1．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）函数（，且）的图象必经过点的坐标________．
2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______．
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是_____；若点P在直线上，则的最小值为______.
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）已知实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例题2．（多选）（2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末）函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．
例题2．（2023·高一课时练习）函数的定义域为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，则实数的取值范围是______．
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．
2．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）当时，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）当时，函数的值域为______．
练透核心考点
1．（2022秋·广西·高二统考学业考试）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域为___________.
3．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）函数的值域为________.
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高三课时练习）函数的值域为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.
练透核心考点
1．（多选）（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在上单调递增D．在上单调递减
2．（2023·高一单元测试）已知满足，求函数的最大值及最小值．
3．（2023春·北京·高一校考开学考试）函数的对称轴方程为___________，函数值域为___________.
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数且的值域是，则实数 ____.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，）的最大值为，则实数_________.
练透核心考点
1．（2023·高三课时练习）若函数的值域为，试确定的取值范围______.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北邢台·高一宁晋中学校考期末）若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
角度2：判断指数型复合函数单调性
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为__________.
练透核心考点
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的减区间是________；
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
3．（2023·高一课时练习）函数的单调递减区间是_________.
角度3：比较大小
典型例题
例题1．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知，则（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）下列大小关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
角度4：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校考期末）不等式的解集是
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）已知关于x的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）若，则有（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋·福建三明·高一校联考期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2019秋·甘肃张掖·高一张掖市第二中学校考阶段练习）不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
例题2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）已知函数，则其值域为___________.
例题3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
3．（2023·高一课时练习）已知函数
（1）作出其图象；
（2）由图象指出单调区间；
（3）由图象指出当取何值时函数有最小值，最小值为多少？
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（ ）
A．3B．C．-5D．3或
例题3．（2022秋·广东茂名·高一校联考期末）设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
练透核心考点
1．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．B．1C．或2D．2
2．（2023·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________.
3．（2022秋·云南楚雄·高三统考期末）已知奇函数在上的最大值为，则__________．
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）.
(1)求的解析式；
(2)求在R上的最大值.
例题2．（2022春·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.
练透核心考点
1．（2022秋·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求在区间上的最大值.
2．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）已知函数在区间上有最大值和最小值.
(1)求，的值；
(2)若不等式在时有解，求实数的取值范围.
3．（2022秋·浙江台州·高一临海市学海中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求函数在上的最小值．
．
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．
①；②在上为增函数．
2．（2023·福建·统考一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
3．（2023秋·广东佛山·高一统考期末）写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：______．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
②结构不良试题
1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中．若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知全集，集合是不等式的解集，集合是函数在上的值域．
(1)求集合；
(2)若是成立的______条件，判断实数是否存在．
2．（2023·高一课时练习）在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数，，且______．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（ ）
A．B．C．D．
②分类讨论的思想
1．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
2．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，利用单调性定义证明在上单调递增；
(2)若存在，使，求实数的取值范围.
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数且.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论.
(2)当时，函数的值域为，求.底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
第05讲 指数与指数函数 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13954" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc13954 \h 2
\l "_Tc31885" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc31885 \h 3
\l "_Tc11657" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11657 \h 4
\l "_Tc27114" 高频考点一：指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc27114 \h 4
\l "_Tc31929" 高频考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc31929 \h 6
\l "_Tc2726" 高频考点三：指数函数的图象 PAGEREF _Tc2726 \h 7
\l "_Tc29504" 角度1：判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc29504 \h 7
\l "_Tc4611" 角度2：根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc4611 \h 12
\l "_Tc15611" 角度3：指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc15611 \h 17
\l "_Tc13180" 角度4：指数函数图象应用 PAGEREF _Tc13180 \h 19
\l "_Tc551" 高频考点四：指数（型）函数定义域 PAGEREF _Tc551 \h 22
\l "_Tc30285" 高频考点五：指数（型）函数的值域 PAGEREF _Tc30285 \h 23
\l "_Tc21850" 角度1：指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc21850 \h 23
\l "_Tc12778" 角度2：指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc12778 \h 25
\l "_Tc27266" 角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 PAGEREF _Tc27266 \h 27
\l "_Tc25490" 高频考点六：指数函数单调性 PAGEREF _Tc25490 \h 30
\l "_Tc9929" 角度1：由指数（型）函数单调性求参数 PAGEREF _Tc9929 \h 30
\l "_Tc19749" 角度2：判断指数型复合函数单调性 PAGEREF _Tc19749 \h 32
\l "_Tc22654" 角度3：比较大小 PAGEREF _Tc22654 \h 34
\l "_Tc4058" 角度4：根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc4058 \h 37
\l "_Tc8064" 高频考点七：指数函数的最值 PAGEREF _Tc8064 \h 39
\l "_Tc18835" 角度1：求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc18835 \h 39
\l "_Tc4535" 角度2：根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc4535 \h 42
\l "_Tc12767" 角度3：含参指数（型）函数最值 PAGEREF _Tc12767 \h 45
\l "_Tc17569" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc17569 \h 49
\l "_Tc23521" ①开放性试题 PAGEREF _Tc23521 \h 49
\l "_Tc27645" ②结构不良试题 PAGEREF _Tc27645 \h 50
\l "_Tc11457" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc11457 \h 51
\l "_Tc32539" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc32539 \h 51
\l "_Tc21072" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21072 \h 53
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第一部分：知识点必背
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
【答案】
【详解】在等式两边平方可得，
因此，.
故答案为：.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）=____________
【答案】
【详解】
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
【答案】B
【详解】依题意有， 可得，
当时，
因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.
故选∶B．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万元
【答案】D
【详解】由题意可得，则，
即存期，本利和为，
则存期，则利息为万元.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
【答案】
【详解】，
.
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）若，=______________
【答案】
【详解】
，
因为，所以原式.
故答案为:.
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（ ）
A．B．2C．D．4a的值为
【答案】B
【详解】因为函数（，且）的图象经过点，
所以，解得：.
故选：B.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若：函数是指数函数，，则是的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2，
∴q是p的必要不充分条件.
故选：C．
例题3．（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数的值．
【答案】4
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得，
即实数a的值为4.
练透核心考点
1．（2023秋·云南大理·高一统考期末）已知函数（a>0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A．B．=2C．=3D．=6
【答案】AD
【详解】由已知得，两式相比得，所以，
由得 ，所以，
故选：AD．
2．（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．
【答案】③④
【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为，不是，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.
故答案为：③④.
3．（2023·高一课时练习）当时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：因为时，指数函数值总大于1，
所以，解得或，
所以，实数的取值范围是
故答案为：
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【详解】因为，
所以，只需将函数向左平移1个单位，即可得到函数的图象.
故选：A.
例题2．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；
当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误．
故选：C
例题3．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，，是减函数，排除CD，
，，是增函数，又排除B，
故选：A．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由可知，当时，单调递减，且，
故选：C
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，
因为，所以在上单调递减，从而排除选项AC；
又因为指数函数过定点，所以排除选项D；
而选项B中的图像满足的性质，故B正确.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】A选项，函数为减函数，则，
且函数的图象交轴正半轴点，则，可得，
函数为增函数，且函数交轴正半轴于点，则，，A满足；
对于B选项，函数交轴于点，函数交轴于点，
显然，B不满足；
对于C选项，函数交轴于点，函数交轴于点，
显然，C不满足；
对于D选项，函数为减函数，则，
函数为减函数，则，D不满足.
故选：A.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根，
由可得两根为a，b，
观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上，
又∵，∴，，
由可知，
当时，为增函数，
又由得的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知函数，若，则的取值范围是______
【答案】
【详解】设，
由于，所以，
由，解得，
画出的图象如下图所示，
不妨设，则由，
得，，
所以的取值范围是.
故答案为：
例题3．（2023·高一课时练习）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，
当时，的图象如图所示，
由已知得，；
当时，的图象如图所示，
由已知可得，
，结合可得无解，
综上可知，的取值范围为，
故选：C
例题4 ．（2022·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】若，则函数的图象必经过第一象限，而函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，所以，此时函数必过第一、二象限，且经过定点，若，图象往上平移，则必过第一、二象限，若，图象往下平移且经过第二､三､四象限，所以．
故选：A．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】根据图象，函数是单调递减的
所以指数函数的底
根据图象的纵截距，令，
解得
即，
故选：D.
2．（2022·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）B．（-∞，-2]
C．（3，+∞）D．[3，+∞）
【答案】B
【详解】解：作出函数的图象，如图所示.
由于将函数向上或下平移后，得到，
而函数的图象不经过第二象限，
由图可知，至少要向下平移2个单位，则.
所以实数的取值范围是.
故选：B.
3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
4．（多选）（2022·高一单元测试）已知函数且，的图象不经过第三象限，则的范围可能为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABC
【详解】若，函数图象如图所示
要想图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故或，解得：或，故AB正确；
若，函数图象如图所示
要想图象不经过第三象限，则需要向上平移，故，解得：，即C正确，D错误.
故选：ABC
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·山东烟台·高一统考期末）函数（且）的图象过定点（ ）
A．（0，－2）B．（0，－1）C．（1，－2）D．（1，－1）
【答案】D
【详解】依题意，因为（且），
所以令，解得：，
所以，
所以函数（且）的图象过定点.
故选：D.
例题2．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）函数且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.
【答案】
【详解】因为指数函数恒过定点，
将图象向左平移一个单位可得，此时恒过定点，
再将函数向下平移一个单位可得，此时恒过定点，
所以这个定点的坐标为，
故答案为：.
例题3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______.
【答案】
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）函数（，且）的图象必经过点的坐标________．
【答案】
【详解】令，得，
所以函数（，且）的图象必经过点.
故答案为：.
2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______．
【答案】
【详解】令得，此时，
所以图象过定点．
故答案为：．
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是_____；若点P在直线上，则的最小值为______.
【答案】 ； 8
【详解】当时，，则函数的图象恒过定点，
点P在直线上，可得，
则
（当且仅当时等号成立）
故答案为：；8
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）已知实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：画出函数与的图象，
当时，的图象在的图象下方，
当时，的图象在的图象上方，
当，时，则，
当时，成立，
当，时，则，
故③，④不成立.
故选：B．
例题2．（多选）（2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末）函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】函数（且），图像经过2，3，4象限，
故得到，当时，
函数是减函数，，函数为增函数，故得到
故得到，故得到AD正确，BC错误.
故选：AD.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，得；
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示；
观察可知，两个函数的图象有个交点（其中个交点的横坐标介于到之间，另外两个交点分别为，，故函数的零点个数为，
故选：D．
2．（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，，在单调递减，在单调递增，
故可得在时，取得最大值.
故，，
又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到.
故满足的函数图象是选项.
故选：
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．
【答案】.
【详解】由题意得，
解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
例题2．（2023·高一课时练习）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】，
即定义域为.
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，则实数的取值范围是______．
【答案】[-1，0]
【详解】∵f（x）的定义域为R，
∴0对任意x∈R恒成立，
即恒成立，
即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．
故答案为[﹣1，0]．
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．
【答案】且
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
2．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______
【答案】
【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，
所以函数的定义域是.
故答案为：
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）当时，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，
于是，即
所以函数的值域是.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为函数是单调递增函数，
所以函数也是单调递增函数，
所以.
故选：C
例题3．（2023·高一课时练习）当时，函数的值域为______．
【答案】
【详解】在上单调递增，故.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·广西·高二统考学业考试）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【详解】因为函数为增函数，
所以函数的最大值为.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域为___________.
【答案】##
【详解】由，可知指数函数在区间上单调递增，
又，，
则函数，的值域为
故答案为：
3．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）函数的值域为________.
【答案】
【详解】由指数函数的性质知：，
∴.
故答案为：
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】二次函数开口向下，
当时，最大值为，
函数是单调递减函数，
所以的值域为.
故选：B.
例题2．（2023·高三课时练习）函数的值域为______．
【答案】
【详解】因为，故且，
所以的值域为.
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
【答案】
【详解】因为函数的对称轴为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
故答案为: .
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.
【答案】
【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为，
故答案为：
练透核心考点
1．（多选）（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】ABD
【详解】函数，可得函数定义域为，故A正确；
设，
由指数函数的单调性得到，函数值域为，故B正确；
在上是单调递增的，
而在定义域内是单调递减的，
根据复合函数单调性法则，得到函数在上单调递减，
故C错误；D正确．
故选:ABD．
2．（2023·高一单元测试）已知满足，求函数的最大值及最小值．
【答案】，
【详解】由可得：可得：，令，，
则，，
当即时，；当即时，．
3．（2023春·北京·高一校考开学考试）函数的对称轴方程为___________，函数值域为___________.
【答案】 ； ；
【详解】，根据二次函数性质得对称轴，
设，则
又是增函数，所以即 函数值域为，
故答案为：；
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数且的值域是，则实数 ____.
【答案】或
【详解】当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， .
综上所述，可得实数或.
故答案为：或
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，）的最大值为，则实数_________.
【答案】16
【详解】∵ 函数在上为减函数，又数（，）的最大值为，
∴ 的最小值为3，即的最小值为9，
又由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
∴ ，∴
故答案为：16.
练透核心考点
1．（2023·高三课时练习）若函数的值域为，试确定的取值范围______.
【答案】
【详解】令，则，，
函数的值域为，，
，
解得或，
即或，
解得或．
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
【详解】设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
【答案】0
【详解】令，则，
因为的值域是，即的值域是，
所以的值域为，
若，则为二次函数，其值域不可能为，
若，则，其值域为，
所以
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵函数是上的减函数，等价于，
故“函数是上的减函数”的充要条件的是.
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，
由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，
又在区间上是增函数，
所以，故有.
故选：B．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记，
其图象为抛物线，对称轴为，且开口向上，
因为函数在区间上是单调减函数，
所以函数在区间上是单调增函数，
而在上单调递增，
所以，解得，
故选：C．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
2．（2023秋·河北邢台·高一宁晋中学校考期末）若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，由于函数在上是减函数，
函数为上的增函数，则函数为上的减函数，
所以，，解得.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】
【详解】解：因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．
故答案为：
角度2：判断指数型复合函数单调性
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.
故选：D
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．
故选D．
例题3．（2023秋·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【详解】设，则，
对称轴为，当，即，
即，即时，为减函数，
函数为增函数，
则为减函数，
即函数单调减区间为；
当，即，
即，即时，为减函数，
函数为减函数，
则为增函数，
即函数单调增区间为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的减区间是________；
【答案】##
【详解】函数可看成由与复合而成，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
即单调递减区间为.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
【答案】
【详解】令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
3．（2023·高一课时练习）函数的单调递减区间是_________.
【答案】
【详解】令，则，
因为在上递增，在上递减，而是增函数，
所以原函数的递减区间为，
故答案为：.
角度3：比较大小
典型例题
例题1．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，，，
因为指数函数单调递减，所以,
所以，所以.
故选:D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为函数为减函数，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
例题3．（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于 故，由于 故，由，故，因此，由于在单调递增，故，故，
故选：B
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）下列大小关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】A选项：，，
因为，
又因为指数函数在R上单调递增，
所以，即，故A正确；
B选项：，因为，；
又因为指数函数在R上单调递减，
所以，故B正确；
C选项：因为，，所以，故C错误；
D选项：因为，，所，故D正确；
故选:C.
2．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在上单调递增，，即；
又，；
综上所述：.
故选：D.
角度4：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为函数是减函数，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：D.
例题2．（2022秋·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校考期末）不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，
∴8﹣x2＞﹣2x，即x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．
∴不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．
故选A．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围.
详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.
练透核心考点
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）已知关于x的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】不等式即，
由于在上单调递增，所以，
所以不等式的解集为.
故选：A
2．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）若，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵函数在上是减函数，又，
∴.
故选：C.
3．（2021秋·福建三明·高一校联考期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数在上为减函数，
，等价于，解得
所以实数a的取值范围是
故选：A
4．（2019秋·甘肃张掖·高一张掖市第二中学校考阶段练习）不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不等式恒成立，即，亦即恒成立，
则，解得，
故的取值范围是，
故选：B.
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【详解】时，在上单调递增，
则，解得，
此时，.
当时，
在上单调递减，
所以，解得，
此时，.
综上，m的值为或，
故选：D.
例题2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）已知函数，则其值域为___________.
【答案】
【详解】解：令，∵，∴，
∴，
又关于对称，
即时，函数取得最小值，即，
即时，函数取得最大值，即，
,.
故答案为：.
例题3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）的定义域是，，
因为的定义域是，所以，解得
于是的定义域为.
（2）设.
因为，即，所以当时，即时，
取得最小值，值为；
当时，即时，取得最大值，值为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，则，
当，即时，函数有最大值为.
故选：.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
【答案】
【详解】函数恒过点，
则，
区间变为，
由函数，
令，
则，
利用二次函数的单调性，
当时，，
则函数在上的最小值是.
故答案为：.
3．（2023·高一课时练习）已知函数
（1）作出其图象；
（2）由图象指出单调区间；
（3）由图象指出当取何值时函数有最小值，最小值为多少？
【答案】（1）见解析；（2）减区间为，增区间为；（3）当时，函数取得最小值.
【详解】（1），该函数的图象如下图所示：
（2）由（1）中的图象可知，函数的减区间为，增区间为；
（3）由（1）中的图象可知，当时，函数取最小值.
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，令，
则，当时，，解得.
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（ ）
A．3B．C．-5D．3或
【答案】D
【详解】令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
例题3．（2022秋·广东茂名·高一校联考期末）设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：为偶函数，，
又为奇函数，，
，①
，即，②
由得：，可得.
（2）解：，
所以，，
令，因为函数、在上均为增函数，
故在上单调递增，则，
设，，对称轴，
①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得：或（舍）；
②当时，在上单调递增，
，解得：，不符合题意.
综上：.
练透核心考点
1．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．B．1C．或2D．2
【答案】D
【详解】解：当时，函数为增函数，
则，
故，解得或（舍去），
当时，函数为减函数，
则，
故，无解，
综上，.
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________.
【答案】或
【详解】（1）若，则函数在区间上是递增的，
当时，取得最大值，即，
又，∴.
（2）若，则函数在区间上是递减的，
当时，取得最大值，
所以.
综上所述，的值为或.
故答案为：或
3．（2022秋·云南楚雄·高三统考期末）已知奇函数在上的最大值为，则__________．
【答案】2或
【详解】因为是奇函数，所以，
解得，即．
当时，函数在上单调递增，则，解得．
当时，函数在上单调递减，则，解得．
故答案为：2或
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）.
(1)求的解析式；
(2)求在R上的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可知，
由为奇函数，为偶函数，可知，，
则，
则.
（2）由（1）得，
当，且时，，则，
当且仅当，即时取等号，
故在R上的最大值为.
例题2．（2022春·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，即，
当时，符合条件.
（2）因为，所以，
解得或（舍）.
故，
令，由，故，
所以
函数图象的对称轴为，
①时，，解得（舍去）；
②时，，解得.
所以，.
练透核心考点
1．（2022秋·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求在区间上的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：当时，，
由可得，，所以.
即当时，函数的零点为.
（2）解：令，即求在区间上的最大值.
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以.
综上所述.
2．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）已知函数在区间上有最大值和最小值.
(1)求，的值；
(2)若不等式在时有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：令，则原函数可转化为，
因为且对称轴，
所以在上单调递增，
由已知可得，解得；
（2）解：由（1）知，.
令，由，得，则在上有解，
即在上有解.
令，，则，
，，
即实数k的取值范围为.
3．（2022秋·浙江台州·高一临海市学海中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）不等式为，，，，
解集为；
（2）设，由得，
，，
，即时，，
，即时，，
，即时，，
综上．
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．
①；②在上为增函数．
【答案】（答案不唯一）
【详解】指数函数满足，且，时，函数单调递增，
所以满足条件的一个函数.
故答案为：（答案不唯一）
2．（2023·福建·统考一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
【答案】（答案不唯一）
【详解】比如，，故，又，也即成立，
又在上单调递减．
故答案为：.
3．（2023秋·广东佛山·高一统考期末）写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：______．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一）
【详解】如，定义域为，
又，因为，所以，，
又，故是奇函数．
故答案为：（答案不唯一）
②结构不良试题
1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中．若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知全集，集合是不等式的解集，集合是函数在上的值域．
(1)求集合；
(2)若是成立的______条件，判断实数是否存在．
【答案】(1)
(2)选①，；选②，实数不存在.
【详解】（1）解：令，其中，
因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
又因为，，由可得，
可得，所以，.
（2）解：当，，所以，.
若选①，若是成立的充分不必要条件，则，则，解得；
若选②，若是成立的必要不充分条件，则，则，解得.
2．（2023·高一课时练习）在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数，，且______．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
【详解】（1）解：若选条件①．因为，
所以，即．
解得．所以．
若选条件②．函数的定义域为R．因为为偶函数，
所以，，即，
，化简得，．
所以，即．所以．
若选条件③．由题意知，，
即，解得．所以．
（2）解：函数在区间上单调递增．
证明如下：，，且，
则．
因为，，，所以，即．
又因为，所以，即．
所以，即．
所以在区间上单调递增．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】∵，当时，在R上单调递增，
∴：.
对于不等式，
作出函数与的图象，如图所示：
由图象可知，不等式的解集为，
∴：.
又∵，
∴是的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
3．（多选）（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示：
当，则，A成立；
当，则，B成立，C不成立；
当时，则，D成立.
故选：ABD.
②分类讨论的思想
1．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】设的值域为，的值域为，
由对任意，总存在，使得成立知：；
在上单调递减，，即；
当时，，即，满足；
当时，在上单调递增，，
即，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
2．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，利用单调性定义证明在上单调递增；
(2)若存在，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取，则，
，故，，故，，，
故，即，函数单调递增.
（2），故，即，
当时，，不成立；
当时，不成立；
当时，，，故，故，解得，
综上所述：
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数且.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论.
(2)当时，函数的值域为，求.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)或
【详解】（1）奇函数，证明：由题意得的定义域为,
且，
是奇函数，
（2）设，则
当时,，得
即,
这时在上是增函数;
则，即，解得.
当时,,
得,即,
这时在上是减函数.
则，即，解得，
综上或3.
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究