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新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (高频精讲）（原卷版+解析版）
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这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (高频精讲）（原卷版+解析版），共36页。
\l "_Tc17020" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc17020 \h 2
\l "_Tc26955" 1、平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc26955 \h 2
\l "_Tc23917" 1.2基底： PAGEREF _Tc23917 \h 2
\l "_Tc32646" 2、平面向量的正交分解 PAGEREF _Tc32646 \h 2
\l "_Tc13613" 3、平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc13613 \h 2
\l "_Tc14864" 3.2平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc14864 \h 2
\l "_Tc3281" 4、平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc3281 \h 2
\l "_Tc14213" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14213 \h 2
\l "_Tc14577" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14577 \h 3
\l "_Tc12483" 高频考点一：平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc12483 \h 3
\l "_Tc4857" 高频考点二：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc4857 \h 8
\l "_Tc5508" 高频考点三：平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc5508 \h 12
\l "_Tc16333" 角度1：由坐标判断是否共线 PAGEREF _Tc16333 \h 12
\l "_Tc25317" 角度2：由向量平行求参数 PAGEREF _Tc25317 \h 14
\l "_Tc11448" 角度3：由坐标解决三点共线问题 PAGEREF _Tc11448 \h 17
\l "_Tc11036" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc11036 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（2023春·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
例题2．（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，，都为实数．
(1)试用基底和来表示，其中表示式中，系数中字母只含有，；
(2)求的最小值．
练透核心考点
1．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）在平面四边形中，，若，则（ ）
A．B．C．D．2
例题3．（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点的坐标为，求点的坐标.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知点，.
（1）若点，＝，则为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？
（2）若，，则四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
2．（多选）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
典型例题
例题1．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量，，，则“”是“∥”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A．B．
C．和D．和和和
练透核心考点
1．（2023春·浙江温州·高一校考阶段练习）已知向量，，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列各组的两个向量，平行的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
角度2：由向量平行求参数
典型例题
例题1．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
例题2．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知，，若，则_______.
例题3．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）若，，三点不能构成三角形，则______．
例题4．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
练透核心考点
1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知向量，，若非零向量与共线，其中、，则等于___________.
3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
4．（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.
(1)当k为何值时，与共线?
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值.
角度3：由坐标解决三点共线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）设向量，其中为坐标原点，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，，若，，三点共线，则_________．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）若向量，则点，，能否构成三角形？若能，求出实数满足的条件；若不能，请说明理由．
练透核心考点
1．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）向量，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．或B．或C．或-11D．或
2．（多选）（2023春·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．
第四部分：数学文化题
1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C．点C、D可能同时在线段AB上
D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上
2．（2023·全国·高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川凉山·二模）已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20804" 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲） PAGEREF _Tc20804 \h 1
\l "_Tc17020" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc17020 \h 2
\l "_Tc26955" 1、平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc26955 \h 2
\l "_Tc23917" 1.2基底： PAGEREF _Tc23917 \h 2
\l "_Tc32646" 2、平面向量的正交分解 PAGEREF _Tc32646 \h 2
\l "_Tc13613" 3、平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc13613 \h 2
\l "_Tc14864" 3.2平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc14864 \h 2
\l "_Tc3281" 4、平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc3281 \h 2
\l "_Tc14213" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14213 \h 2
\l "_Tc14577" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14577 \h 3
\l "_Tc12483" 高频考点一：平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc12483 \h 3
\l "_Tc4857" 高频考点二：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc4857 \h 8
\l "_Tc5508" 高频考点三：平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc5508 \h 12
\l "_Tc16333" 角度1：由坐标判断是否共线 PAGEREF _Tc16333 \h 12
\l "_Tc25317" 角度2：由向量平行求参数 PAGEREF _Tc25317 \h 14
\l "_Tc11448" 角度3：由坐标解决三点共线问题 PAGEREF _Tc11448 \h 17
\l "_Tc11036" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc11036 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
【答案】
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（2023春·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【详解】，
因为，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：C.
例题2．（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
过点作⊥轴于点O，则，
由勾股定理得：，
则，故，
又，
所以设，
即，解得：，
故选：C
例题3．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，，都为实数．
(1)试用基底和来表示，其中表示式中，系数中字母只含有，；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,
因为，，所以
（2）又因为三点共线，
由（1）可得，
因为在线段上，所以，
所以，
当且仅当即即时取得等号.
所以的最小值为.
练透核心考点
1．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】因为为边的中点，所以，，
因为，所以，
所以，
又，因此有，则.
故选：C
2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】因为，则，
所以，
且，则，所以.
故选:D
3．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．
【答案】##0.28
【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为，，则，，.
设，则，，
因为，所以，解得，
，，，
由，得，
所以，解得，
所以，
故答案为：.
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则，，因，
从而有，解得，
所以P点的坐标为.
故选：A
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）在平面四边形中，，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】设，
如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，，
因为，所以，
所以,
解得，所以.
故选：B
例题3．（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点的坐标为，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知点，.
（1）若点，＝，则为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？
（2）若，，则四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析.
【详解】解：（1），
若点P在x轴上，则，∴.
若点P在y轴上，则，∴.
若点P在第二象限，则，∴.
（2）因为，.
若四边形为平行四边形，则，
∴该方程组无解.
故四边形不能成为平行四边形.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以,
又因为点C在内，且，
建立如图所示的坐标系：
则,,
又因为，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
2．（多选）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确；
，，故C正确，D不正确．
故选：AC
3．（2023·全国·高一专题练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）三点共线，，即，
，解得：.
（2）；
四边形为平行四边形，，
设，则，，，即.
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
典型例题
例题1．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量，，，则“”是“∥”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.
当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，
则“m＝－6”是“”的充要条件.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】若，则，，故A正确；
若，则，，故B错误；
若 ，则，，故C错误；
若，则，，故D错误.
故选：A.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A．B．
C．和D．和和和
【答案】C
【详解】由题, ,由题意可判断,D选项中和不与平行,A、B选项向量不全,
故选：C
练透核心考点
1．（2023春·浙江温州·高一校考阶段练习）已知向量，，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，，
，，充分性成立；
，则当时，，解得：，必要性成立；
综上所述：“”是“”的充要条件.
故选：A.
2．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列各组的两个向量，平行的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】对A，，，因为，故错误；
对B，因为，故错误；
对C，因为，故错误；
对D，因为，故正确.
故选：D.
角度2：由向量平行求参数
典型例题
例题1．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
【答案】B
【详解】，故，则，解得.
故选：B
例题2．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知，，若，则_______.
【答案】
【详解】已知，，若，则，所以.
故答案为：.
例题3．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）若，，三点不能构成三角形，则______．
【答案】
【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.
故答案为：
例题4．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，则，
由解得，
所以当时，与共线.
（2）因为，则，
又A，B，C三点共线，即有，因此，解得，
所以.
练透核心考点
1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题设，又，
所以，可得.
故选：C
2．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知向量，，若非零向量与共线，其中、，则等于___________.
【答案】##
【详解】因为向量，，则，
，
因为非零向量与共线，则，
若时，则，不合乎题意，所以，且，
由可得.
故答案为：.
3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又与垂直，
所以，即，解得，
所以.
（2）因为，，
因为，
又与向量平行，
所以，即，解得，
所以.
4．（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.
(1)当k为何值时，与共线?
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为与共线，
所以解得.
故当时，与共线.
（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，
所以存在实数λ，使得
即，
整理得
所以，解得.故的值为.
角度3：由坐标解决三点共线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）设向量，其中为坐标原点，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，，
又因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
得，
又因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，，若，，三点共线，则_________．
【答案】6
【详解】因，，则，
又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，
所以.
故答案为：6
例题3．（2023·全国·高一专题练习）若向量，则点，，能否构成三角形？若能，求出实数满足的条件；若不能，请说明理由．
【答案】点A，B，C能构成三角形；．
【详解】向量，
则，
点A，B，C能构成三角形当且仅当与不共线，即有，解得，
所以当时，点A，B，C能构成三角形．
练透核心考点
1．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）向量，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．或B．或C．或-11D．或
【答案】A
【详解】由，，，
得，，
又，，三点共线，
则，
即，解得或，
故选：A.
2．（多选）（2023春·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AB
【详解】，
因为三点共线，所以，即，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以.
故选：AB
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．
【答案】11
【详解】由题意可得 ，
因为三点共线，所以，
进而
解之得 或
因为 ，所以 ，
故答案为：
第四部分：数学文化题
1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C．点C、D可能同时在线段AB上
D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上
【答案】C
【详解】由已知不妨设，
则，
因为C、D和谐分割点A、B，
所以，
所以，
代入得，（*）
若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，，
此时两点重合，与题意矛盾，故A错误；
若是靠近点A的线段AB的三等分点，
则，代入(∗)得，，
此时两点重合，与题意矛盾，故B错误；
若C，D同时在线段AB上，则，则，
当时，，此时符合题意，
所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确；
若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则，
所以，这与矛盾，
所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，
所以，即，
故选：B．
3．（2023·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意可得，
由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图
由对称性可得,
由对称性可得点共线，点共线.
所以 ，
所以
故选：D
4．（2023·四川凉山·二模）已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．
【答案】
【详解】设，
，
，解得：，，，，
，，.
故答案为：.
\l "_Tc17020" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc17020 \h 2
\l "_Tc26955" 1、平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc26955 \h 2
\l "_Tc23917" 1.2基底： PAGEREF _Tc23917 \h 2
\l "_Tc32646" 2、平面向量的正交分解 PAGEREF _Tc32646 \h 2
\l "_Tc13613" 3、平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc13613 \h 2
\l "_Tc14864" 3.2平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc14864 \h 2
\l "_Tc3281" 4、平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc3281 \h 2
\l "_Tc14213" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14213 \h 2
\l "_Tc14577" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14577 \h 3
\l "_Tc12483" 高频考点一：平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc12483 \h 3
\l "_Tc4857" 高频考点二：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc4857 \h 8
\l "_Tc5508" 高频考点三：平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc5508 \h 12
\l "_Tc16333" 角度1：由坐标判断是否共线 PAGEREF _Tc16333 \h 12
\l "_Tc25317" 角度2：由向量平行求参数 PAGEREF _Tc25317 \h 14
\l "_Tc11448" 角度3：由坐标解决三点共线问题 PAGEREF _Tc11448 \h 17
\l "_Tc11036" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc11036 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（2023春·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
例题2．（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，，都为实数．
(1)试用基底和来表示，其中表示式中，系数中字母只含有，；
(2)求的最小值．
练透核心考点
1．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）在平面四边形中，，若，则（ ）
A．B．C．D．2
例题3．（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点的坐标为，求点的坐标.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知点，.
（1）若点，＝，则为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？
（2）若，，则四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
2．（多选）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
典型例题
例题1．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量，，，则“”是“∥”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A．B．
C．和D．和和和
练透核心考点
1．（2023春·浙江温州·高一校考阶段练习）已知向量，，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列各组的两个向量，平行的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
角度2：由向量平行求参数
典型例题
例题1．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
例题2．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知，，若，则_______.
例题3．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）若，，三点不能构成三角形，则______．
例题4．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
练透核心考点
1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知向量，，若非零向量与共线，其中、，则等于___________.
3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
4．（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.
(1)当k为何值时，与共线?
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值.
角度3：由坐标解决三点共线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）设向量，其中为坐标原点，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，，若，，三点共线，则_________．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）若向量，则点，，能否构成三角形？若能，求出实数满足的条件；若不能，请说明理由．
练透核心考点
1．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）向量，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．或B．或C．或-11D．或
2．（多选）（2023春·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．
第四部分：数学文化题
1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C．点C、D可能同时在线段AB上
D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上
2．（2023·全国·高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川凉山·二模）已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲）
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20804" 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲） PAGEREF _Tc20804 \h 1
\l "_Tc17020" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc17020 \h 2
\l "_Tc26955" 1、平面向量的基本定理 PAGEREF _Tc26955 \h 2
\l "_Tc23917" 1.2基底： PAGEREF _Tc23917 \h 2
\l "_Tc32646" 2、平面向量的正交分解 PAGEREF _Tc32646 \h 2
\l "_Tc13613" 3、平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc13613 \h 2
\l "_Tc14864" 3.2平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc14864 \h 2
\l "_Tc3281" 4、平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc3281 \h 2
\l "_Tc14213" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc14213 \h 2
\l "_Tc14577" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14577 \h 3
\l "_Tc12483" 高频考点一：平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc12483 \h 3
\l "_Tc4857" 高频考点二：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc4857 \h 8
\l "_Tc5508" 高频考点三：平面向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc5508 \h 12
\l "_Tc16333" 角度1：由坐标判断是否共线 PAGEREF _Tc16333 \h 12
\l "_Tc25317" 角度2：由向量平行求参数 PAGEREF _Tc25317 \h 14
\l "_Tc11448" 角度3：由坐标解决三点共线问题 PAGEREF _Tc11448 \h 17
\l "_Tc11036" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc11036 \h 20
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知向量，若，则__________．
【答案】
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（2023春·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【详解】，
因为，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：C.
例题2．（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
过点作⊥轴于点O，则，
由勾股定理得：，
则，故，
又，
所以设，
即，解得：，
故选：C
例题3．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，，都为实数．
(1)试用基底和来表示，其中表示式中，系数中字母只含有，；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,
因为，，所以
（2）又因为三点共线，
由（1）可得，
因为在线段上，所以，
所以，
当且仅当即即时取得等号.
所以的最小值为.
练透核心考点
1．（2023春·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】因为为边的中点，所以，，
因为，所以，
所以，
又，因此有，则.
故选：C
2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】因为，则，
所以，
且，则，所以.
故选:D
3．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．
【答案】##0.28
【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为，，则，，.
设，则，，
因为，所以，解得，
，，，
由，得，
所以，解得，
所以，
故答案为：.
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则，，因，
从而有，解得，
所以P点的坐标为.
故选：A
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）在平面四边形中，，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】设，
如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，，
因为，所以，
所以,
解得，所以.
故选：B
例题3．（2023春·新疆喀什·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点的坐标为，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知点，.
（1）若点，＝，则为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？
（2）若，，则四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析.
【详解】解：（1），
若点P在x轴上，则，∴.
若点P在y轴上，则，∴.
若点P在第二象限，则，∴.
（2）因为，.
若四边形为平行四边形，则，
∴该方程组无解.
故四边形不能成为平行四边形.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以,
又因为点C在内，且，
建立如图所示的坐标系：
则,,
又因为，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
2．（多选）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确；
，，故C正确，D不正确．
故选：AC
3．（2023·全国·高一专题练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）三点共线，，即，
，解得：.
（2）；
四边形为平行四边形，，
设，则，，，即.
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
典型例题
例题1．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量，，，则“”是“∥”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.
当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，
则“m＝－6”是“”的充要条件.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】若，则，，故A正确；
若，则，，故B错误；
若 ，则，，故C错误；
若，则，，故D错误.
故选：A.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A．B．
C．和D．和和和
【答案】C
【详解】由题, ,由题意可判断,D选项中和不与平行,A、B选项向量不全,
故选：C
练透核心考点
1．（2023春·浙江温州·高一校考阶段练习）已知向量，，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，，
，，充分性成立；
，则当时，，解得：，必要性成立；
综上所述：“”是“”的充要条件.
故选：A.
2．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列各组的两个向量，平行的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】对A，，，因为，故错误；
对B，因为，故错误；
对C，因为，故错误；
对D，因为，故正确.
故选：D.
角度2：由向量平行求参数
典型例题
例题1．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
【答案】B
【详解】，故，则，解得.
故选：B
例题2．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知，，若，则_______.
【答案】
【详解】已知，，若，则，所以.
故答案为：.
例题3．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）若，，三点不能构成三角形，则______．
【答案】
【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.
故答案为：
例题4．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，则，
由解得，
所以当时，与共线.
（2）因为，则，
又A，B，C三点共线，即有，因此，解得，
所以.
练透核心考点
1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题设，又，
所以，可得.
故选：C
2．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知向量，，若非零向量与共线，其中、，则等于___________.
【答案】##
【详解】因为向量，，则，
，
因为非零向量与共线，则，
若时，则，不合乎题意，所以，且，
由可得.
故答案为：.
3．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又与垂直，
所以，即，解得，
所以.
（2）因为，，
因为，
又与向量平行，
所以，即，解得，
所以.
4．（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.
(1)当k为何值时，与共线?
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为与共线，
所以解得.
故当时，与共线.
（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，
所以存在实数λ，使得
即，
整理得
所以，解得.故的值为.
角度3：由坐标解决三点共线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）设向量，其中为坐标原点，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，，
又因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
得，
又因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，，若，，三点共线，则_________．
【答案】6
【详解】因，，则，
又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，
所以.
故答案为：6
例题3．（2023·全国·高一专题练习）若向量，则点，，能否构成三角形？若能，求出实数满足的条件；若不能，请说明理由．
【答案】点A，B，C能构成三角形；．
【详解】向量，
则，
点A，B，C能构成三角形当且仅当与不共线，即有，解得，
所以当时，点A，B，C能构成三角形．
练透核心考点
1．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）向量，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．或B．或C．或-11D．或
【答案】A
【详解】由，，，
得，，
又，，三点共线，
则，
即，解得或，
故选：A.
2．（多选）（2023春·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的取值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AB
【详解】，
因为三点共线，所以，即，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以.
故选：AB
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．
【答案】11
【详解】由题意可得 ，
因为三点共线，所以，
进而
解之得 或
因为 ，所以 ，
故答案为：
第四部分：数学文化题
1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C．点C、D可能同时在线段AB上
D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上
【答案】C
【详解】由已知不妨设，
则，
因为C、D和谐分割点A、B，
所以，
所以，
代入得，（*）
若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，，
此时两点重合，与题意矛盾，故A错误；
若是靠近点A的线段AB的三等分点，
则，代入(∗)得，，
此时两点重合，与题意矛盾，故B错误；
若C，D同时在线段AB上，则，则，
当时，，此时符合题意，
所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确；
若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则，
所以，这与矛盾，
所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，
所以，即，
故选：B．
3．（2023·高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意可得，
由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图
由对称性可得,
由对称性可得点共线，点共线.
所以 ，
所以
故选：D
4．（2023·四川凉山·二模）已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．
【答案】
【详解】设，
，
，解得：，，，，
，，.
故答案为：.
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