备考2024届高考数学一轮复习强化训练第五章数列第5讲数列的综合应用

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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}是公比为q的等比数列，且b1＝a1，b2＝a3，bk＝am（m，k均是大于2的正整数），记Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tk＝2m.
解析 （1）选①：
设{an}的公差为d（d≠0），因为a1＋a3＋a5＋a7=20，a2＋a3＝a6，所以a1+3d=5，a1－2d=0，解得a1=2，d=1，
所以an＝2＋（n－1）×1＝n＋1.
选②：
当n＝1时，2S1＝（a1＋2）（a1－1），即a12－a1－2＝0，
即（a1－2）（a1＋1）＝0.
因为an＞0（n∈N*），所以a1＝2.
当n＝2时，2S2＝（a2＋2）（a2－1），即a22－a2－6＝0，即（a2－3）（a2＋2）＝0.
因为an＞0（n∈N*），所以a2＝3.
因为{an}为正项等差数列，所以{an}的公差d＝a2－a1＝1，所以an＝2＋（n－1）×1＝n＋1.
选③：
设{an}的公差为d（d≠0）.
因为a1，a3，a7成等比数列，a2＝3，
所以a32＝a1·a7，a1＋d=3，即（a1+2d）2＝a1·（a1+6d),a1＋d=3，
即2d－a1=0，a1＋d=3，解得a1=2，d=1，
所以an＝2＋（n－1）×1＝n＋1.
（2）因为an＝n＋1，所以am＝m＋1，b1＝a1＝2，b2＝a3＝4，则q＝b2b1＝2，bk＝b1qk－1＝2×2k－1＝2k.
因为bk＝am，所以2k＝m＋1，
所以Tk＝2（1－2k）1－2＝2×2k－2＝2（m＋1）－2＝2m，
故Tk＝2m得证.
2.[命题点2角度1/2023山东省部分学校第三次联考]已知函数f（x）的定义域为R，
f（0）＝1，且∀x∈R，都有f（x＋1）＝2f（x）－x，设bn＝1f（n）f（n+1）（n∈N*），则数列{bn}的前2 023项和S2 023＝ 20234050 .
解析 设an＝f（n）（n∈N*），则a1＝f（1）＝2f（0）＝2，an＋1＝2an－n，即an＋1－（n＋2）＝2[an－（n＋1）]，
又a1＝2，即a1－（1＋1）＝0，于是an＋1－（n＋2）＝2[an－（n＋1）]＝0，则an＝n＋1，即f（n）＝n＋1，
从而bn＝1（n+1)(n+2）＝1n+1－1n+2，所以S2 023＝12－13＋13－14＋…＋12024－12025＝20234050.
3.[命题点2角度2/2023南京一中模拟]各项均为正数的数列{an}满足an+12－an＋1an－2an2＝0，a1a2a3＝64.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Tn＝（1＋1a1）（1＋2a2）（1＋3a3）…（1＋nan），试比较Tn与9的大小，并加以证明.
解析 （1）an+12－an＋1an－2an2＝0，即（an＋1＋an）（an＋1－2an）＝0，
因为{an}的各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，
故an＋1＝2an，即an+1an＝2，
所以{an}是以2为公比的等比数列，又a1a2a3＝64，故a23＝64，a2＝4，
结合公比为2得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.
（2）Tn＜9，证明如下.
令f（x）＝ln（1＋x）－x（x＞0），则f'（x）＝11+x－1＝－x1+x，
当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
所以ln（1＋x）－x＜ln（1＋0）－0＝0，即ln（1＋x）＜x.
设cn＝1＋nan，则ln cn＝ln（1＋nan）＝ln（1＋n2n）＜n2n，
所以ln Tn＝ln c1＋ln c2＋ln c3＋…＋ln cn＜12＋222＋323＋…＋n2n.
记An＝12＋222＋323＋…＋n2n，
则12An＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n+1，
所以An－12An＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n+1＝12（1－12n）1－12－n2n+1＝1－n+22n+1＜1，
所以12An＜1，即ln Tn＜An＜2，
所以Tn＜e2＜32＝9.