备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用

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A.｜e1－e2｜＝1
B.e1在e2上的投影向量的模为12
C.e1与e1－e2的夹角为5π12
D.a在e1上的投影向量为2e1
解析 ｜e1－e2｜2＝e12－2e1·e2＋e22＝1，故｜e1－e2｜＝1，故A正确.
因为e1在e2上的投影向量为e1·e2｜e2｜e2＝12e2，所以e1在e2上的投影向量的模为12，故B正确.
因为e1·（e1－e2）＝1×1×cs＜e1，e1－e2＞＝e12－e1·e2＝12，所以＜e1，e1－e2＞＝π3，故C错误.
设e1与a的夹角为θ，因为e1·a＝2＝｜a｜csθ，所以a在e1上的投影向量为
（｜a｜csθ）e1＝2e1，故D正确.
2.[命题点2/2022天津高考]在△ABC中，CA＝a，CB＝b，AC＝2DC，CB＝2BE，用a，b表示向量DE，则DE＝ 32b－12a ；若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为 π6 .
解析 由题意知CD＝12CA＝12a，又CB＝2BE，所以CE＝32CB＝32b，则DE＝CE－CD＝32b－12a.
因为AB⊥DE，AB＝CB－CA＝b－a，
所以AB·DE＝（b－a）·（32b－12a）＝0，化简整理，得3b2＋a2－4a·b＝0，则3｜b｜2＋
｜a｜2－4｜a｜｜b｜·cs∠ACB＝0，所以cs∠ACB＝3｜b｜2＋｜a｜24｜a||b｜≥23｜a||b｜4｜a||b｜＝32，当且仅当｜a｜＝3｜b｜时等号成立，又∠ACB∈（0，π），所以∠ACB≤π6，即∠ACB的最大值为π6.
3.[思维帮]在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB的中点，E，F分别是边BC，AC上的动点，且EF＝1，则DE·DF的最小值为 154 .
解析 如图，取EF的中点H，连接DH，CH，CD，则CD＝12AB＝52，CH＝12EF＝12，DE·DF＝DH2－EF24＝DH2－14，因为｜CH｜＋
｜DH｜≥｜CD｜，所以｜DH｜≥｜CD｜－｜CH｜＝52－12＝2，所以DE·DF≥4－14＝154.