备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题

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解析 设BD＝k（k＞0），则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cs ∠ADB＝22＋k2－2×2k×（－12）＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cs ∠ADC＝22＋（2k）2－2×2×2k×12＝4k2－4k＋4，则AC2AB2＝4k2－4k+4k2+2k+4＝4（k2+2k+4)－12k－12k2+2k+4＝4－12（k+1）k2+2k+4＝4－12（k+1）（k+1）2+3＝4－12k+1+3k+1.∵k＋1＋3k+1≥23（当且仅当k＋1＝3k+1，即k＝3－1时等号成立），∴AC2AB2≥4－1223＝4－23＝（3－1）2，∴当ACAB取得最小值3－1时，BD＝k＝3－1.
2.[命题点1]在平面四边形ABCD中，A＝B＝C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 （6－2，6＋2） .
解析 如图，作△PBC，使B＝C＝75°，BC＝2，则P＝30°.作直线AD分别交线段PB，PC于A，D两点（不与端点重合），且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，BCsin30°＝BPsin75°，可求得BP＝6＋2，同理，在△QBC中，可求得BQ＝6－2，所以AB的取值范围是（6－2，6＋2）.
3.[命题点2]如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
（1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
（2）若CD＝3BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
解析 （1）在△ABC中，cs B＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝－AB·BC2AB·BC＝－12，
因为0°＜B＜180°，所以B＝120°.
S△ABC＝12AB·BCsin 120°＝12×3×1×32＝334.
（2）设∠ACB＝θ，则∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.
在△ACD中，由ACsin（30°＋θ）＝CDsin30°，
得AC＝sin（30°＋θ）sin30°CD ①.
在△ABC中，由ACsin120°＝BCsin（60°－θ），
得AC＝sin120°sin（60°－θ）BC ②.
由①②，并结合CD＝3BC，得3sin（30°＋θ）sin30°＝sin120°sin（60°－θ），整理得sin（30°＋θ）sin（60°－θ）＝14，所以sin（60°＋2θ）＝12，
因为0°＜θ＜60°，所以60°＜60°＋2θ＜180°，
所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB的值为45°.
4.[命题点2，3，4/2023华南师大附中三模]在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的平分线交边BC于点D.
（1）证明：BC＝3CD；
（2）若AD＝AC，且△ABC的面积为67，求BC的长.
解析 （1）设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝π－β.
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得ABBD＝sinβsinα，ACCD＝sin（π－β）sinα，
所以ABBD＝ACCD，即ABAC＝BDCD，又AB＝2AC，故BD＝2CD，所以BC＝3CD.
（2）设AB＝2AC＝2t，所以AD＝AC＝t.
由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得12·t·2t·sin 2α＝12·t·t·sinα＋12·2t·t·sinα，
所以4sin αcs α＝3sin α.
因为sin α≠0，所以cs α＝34，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝18.
又0＜2α＜π，所以sin 2α＝1－cs22α＝378.
所以S△ABC＝67＝12·t·2t·sin 2α＝378t2，所以t2＝16，
所以BC2＝t2＋4t2－2×t×2t×cs 2α＝92t2＝92×16＝72，所以BC＝62.