备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系

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解析 解法一 ∵A，B两点的纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行，
又AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而当m＝－1时，点C，D的纵坐标均为－1，则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意.
当AB与x轴不垂直，即m≠－1时，
kAB＝4－2－2m－4－（－m－3）＝2－（m+1），
kCD＝3m+2－m3－（－m）＝2（m+1）m+3.
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即2－（m+1）·2（m+1）m+3＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
解法二 由题意可得AB·CD＝0，所以（－m－1，2）·（3＋m，2m＋2）＝0，解得m＝±1.
2.[命题点2/2023武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝（ B ）
A.23B.25C.2D.4
解析 直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0间的距离d1＝｜3－1｜12＋22＝255，
直线3x－4y＋c1＝0与3x－4y＋c2＝0间的距离d2＝｜c1－c2｜32＋（－4）2＝｜c1－c2｜5.由菱形的性质知d1＝d2，所以｜c1－c2｜5＝255，所以｜c1－c2｜＝25.
3.[命题点2]｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜的最小值为 13 .
解析 设点P（x，y），l1：3x＋4y－12＝0，l2：3x＋4y＋1＝0，则点P到l1的距离d1＝｜3x+4y－12｜5，点P到l2的距离d2＝｜3x+4y+1｜5，则｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜＝5（d1＋d2），易得直线l1∥l2，所以当点P位于直线
l1与l2之间时，｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜最小，最小值为直线l1与l2之间的距离的5倍，即d＝|-12-1|5×5＝13.
4.[命题点2，3/2024江西景德镇一中模拟]在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为（－4，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x－y＋1＝0，∠B的角平分线所在的直线方程为2x＋y－2＝0，则直线BC的方程为 18x－y－38＝0 .
解析 设点B坐标为（a，b），因为点A的坐标为（－4，2），所以AB的中点M（a-42，b+22），所以a－42－b+22＋1＝0，即a－b－4＝0.
因为点B在直线2x＋y－2＝0上，所以2a＋b－2＝0.
由a－b－4=0，2a＋b－2=0，解得a=2，b＝－2，所以B（2，－2）.
设点A（－4，2）关于直线2x＋y－2＝0的对称点为A'（m，n），
则2×m－42＋n+22－2=0，n－2m+4×（－2）＝－1，解得m＝125，n＝265，
所以A'（125，265），所以直线BC的方程为y＋2＝265+2125－2·（x－2），即18x－y－38＝0.
5.[命题点3]已知直线l：x－y－1＝0.若直线l上存在一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为 (103,73) ；
若直线l上存在一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小，则点Q的坐标为 (52,32) .
解析 如图1，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，PB，PB'，
易得b－4a×1=－1，a2－b+42－1=0，解得a=5，b＝－1，∴点B'的坐标为（5，－1）.
易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.
于是直线AB'的方程为y－1－1－1＝x－45－4，即2x＋y－9＝0.图1
联立直线l与AB'的方程，解得x＝103，y＝73，
即点P的坐标为（103，73）.
如图2，设点C关于l的对称点C'的坐标为（m，n），连接CC'，QC，QC'，QA，
易得nm－3×1=－1，m+32－n2－1=0，解得m=1，n=2， 图2
∴点C'的坐标为（1，2），
∴直线AC'的方程为y－12－1＝x－41－4，即x＋3y－7＝0.
易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜≥｜AC'｜，当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.
联立直线AC'与l的方程，解得x＝52，y＝32，
即点Q的坐标为（52，32）.