备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第1讲直线的方程

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解析 csx2+sinx可看作点A（2，0）和点B（－sin x，－cs x）连线的斜率，易得点B在圆O：x2＋y2＝1上，作出图象如图所示.设过点A的直线分别与圆O相切于点C，D，连接OC，OD，则由OD=OC=1=OA=2易得∠OAD＝∠OAC＝30°，所以kAC＝33，kAD＝－33，所以函数f（x）的值域为[－33，33].
2.[命题点2]过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为 4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0 .
解析 由题设知，直线在x轴、y轴上的截距均不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，
又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9，故直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
3.[命题点2]已知两条不重合的直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（ A ）
A.2x＋y＋1＝0B.2x－y＋1＝0
C.2x＋y－1＝0D.x＋2y＋1＝0
解析 把A（2，1）代入直线l1和l2的方程，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，则2（a1－a2）＝b2－b1.又过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是y－b1b2－b1＝x－a1a2－a1，∴y－b1=-2(x－a1)，即2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A.
4.[命题点2，3/2024四川内江模拟]已知直线l：（m＋1）x＋（m－3）y＋2m＋10＝0（m∈R）.
（1）求证：直线l与直线3x＋7y－2＝0总相交.
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
解析 （1）直线l可变形为m（x＋y＋2）＋x－3y＋10＝0，令x＋y+2=0，x－3y+10=0，解得x＝－4，y=2，
故直线l恒过点（－4，2），
又3×（－4）＋7×2－2＝0，
故点（－4，2）在直线3x＋7y－2＝0上，
故直线l与直线3x＋7y－2＝0总相交.
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，则直线l的斜率存在且大于0，
故－m+1m－3＞0，解得－1＜m＜3.
在（m＋1）x＋（m－3）y＋2m＋10＝0（m∈R）中，
令y＝0，得x＝－2m+10m+1；
令x＝0，得y＝－2m+10m－3.
则S＝12×2m+10m+1×（－2m+10m－3）＝－2（m+5）2（m+1)(m－3），令m＋5＝t∈（4，8），则S=-2t2（t－4)(t－8）=-2t2t2－12t+32=-232t2－12t+1=-232（1t－316）2－18，
因为1t∈（18，14），
所以当1t＝316时，S取得最小值，最小值为16，
此时m＋5＝163，m＝13，直线l的方程为x－2y＋8＝0.