备考2024届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合

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（1）若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求此时化验总次数.
（2）若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用（k＋4）元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求此时化验总费用.
参考数据及公式：10≈3.16，（1＋x）n≈1＋nx（n∈N*，n≥2，｜x｜≤0.01）.
解析 （1）由题意知，若混合血样呈阴性，则X＝1k，P（X＝1k）＝0.996k，若混合血样呈阳性，则X＝1k＋1，P（X＝1k＋1）＝1－0.996k，
所以E（X）＝1k×0.996k＋（1＋1k）×（1－0.996k）＝1＋1k－0.996k＝1＋1k－（1－0.004）k≈1k＋0.004k.
令f（x）＝1x＋0.004x，则f'（x）＝0.004－1x2，当x∈（0，510）时，f'（x）＜0，当x∈（510，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，510）上单调递减，在(510,+∞)上单调递增.
因为k∈N*，（注意k取正整数）
510≈5×3.16＝15.8，且f（15）＝115＋0.004×15≈0.126 7，f（16）＝116＋0.004×16＝0.126 5，
所以当k＝16时，E（X）取得最小值，且E（X）的最小值为0.126 5.
所以当k取16时，每人血样化验次数X的数学期望最小，此时化验总次数为4 000×0.126 5=506.
（2）设每组k人时，每组化验总费用为Y元，
若混合血样呈阴性，则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，且P（Y＝k＋4）＝0.992k，P（Y＝6k＋4）＝1－0.992k，
所以E（Y）＝（k＋4）×0.992k＋（6k＋4）（1－0.992k）＝6k－5k×0.992k＋4.
每个人血样的化验费用为E（Y）k＝6－5×0.992k＋4k＝6－5×（1－0.008）k＋4k≈6－5×（1－0.008k）＋4k＝1＋0.04k＋4k≥1＋20.04k·4k＝1.8，
当且仅当0.04k＝4k，即k＝10时取等号，所以当k取10时，每人血样化验费用的数学期望最小，此时化验总费用为4 000×1.8＝7 200（元）.
2.[命题点2/2023南京市二模]进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），失败的概率为1－p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X～NB（r，p）.
（1）若X～NB（3，13），求P（X＝5）.
（2）若X～NB（2，12），n∈N*，n≥2.
①求∑i=2nP（X＝i）；
②要使得在n次内结束试验的概率不小于34，求n的最小值.
解析 （1）因为X～NB（3，13），
X＝5表示做了5次试验，前4次中有2次成功，第5次也成功，所以P（X＝5）＝C42（1－13）2×（13）3＝6×49×127＝881.
（2）①解法一 P（X＝i）＝Ci－11×（1－12）i－2×（12）2＝（i－1）×（12）i.
记S＝∑i=2nP（X＝i）＝1×（12）2＋2×（12）3＋…＋（n－1）×（12）n，则12S＝1×（12）3＋2×（12）4＋…＋（n－1）×（12）n＋1，两式相减，得12S＝（12）2＋（12）3＋…＋（12）n－（n－1）×（12）n＋1
＝（12）2[1－（12）n－1]1－12－（n－1）×（12）n＋1
＝12－（12）n－（n－1）×（12）n＋1
＝2n－n－12n+1，
所以S＝2n－n－12n，即∑i=2nP（X＝i）＝2n－n－12n.
解法二 ∑i=2nP（X＝i）＝P（X≤n），事件“X≤n”的对立事件为“n次试验中，成功了0次或1次”.
“n次试验中，成功了0次”的概率p1＝（1－12）n＝12n；
“n次试验中，成功了1次”的概率p2＝Cn1×（1－12）n－1×12＝n2n.
所以P（X≤n）＝1－12n－n2n＝2n－n－12n，
即∑i=2nP（X＝i）＝2n－n－12n.
②n次内结束试验的概率为P（X≤n），即∑i=2nP（X＝i）＝2n－n－12n，所以2n－n－12n≥34，即n+12n≤14.
记f（n）＝n+12n（n≥2），因为f（n＋1）－f（n）＝n+22n+1－n+12n＝－n2n+1＜0，所以f（n）为递减数列.
因为f（4）＝516＞14，f（5）＝316＜14，
故使得不等式n+12n≤14成立的最小正整数为5，
所以n的最小值为5.