备考2024届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破1概率统计中的开放性与决策问题

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方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为若摸出2个红球，1个白球，则享受免单优惠，若摸出2个红球，1个黑球，则打5折，若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折，其余情况不打折.
（1）某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和数学期望；
（2）若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪种抽奖方案更合理？
解析 （1）设顾客实付金额为X元，X所有可能的取值为0，100，200，300，
则P（X＝0）＝（15）3＝1125，P（X＝100）＝C32×（15）2×45＝12125，P（X＝200）＝C31×15×（45）2＝48125，P（X＝300）＝（45）3＝64125，
故X的分布列为
所以E（X）＝0×1125＋100×12125＋200×48125＋300×64125＝240.
故该顾客实付金额的数学期望为240元.
（2）若选择方案一，设摸到红球的个数为Y，实付金额为φ元，则φ＝500－100Y，
由题意可得Y～B（3，15），所以E（Y）＝3×15＝35，
所以E（φ）＝E（500－100Y）＝500－100E（Y）＝500－60＝440.
若选择方案二，设实付金额为η元，η所有可能的取值为0，250，375，500，
则P（η＝0）＝C22C11C103＝1120，P（η＝250）＝C22C71C103＝7120，P（η＝375）＝C21C11C71C103＝760，P（η＝500）＝1－1120－7120－760＝4960，
故η的分布列为
所以E（η）＝0×1120＋250×7120＋375×760＋500×4960≈466.67.
因为E（φ）＜E（η），
所以从实付金额的期望值分析，顾客选择方案一更合理.X
0
100
200
300
P
1125
12125
48125
64125
η
0
250
375
500
P
1120
7120
760
4960