备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第1讲函数的概念及其表示

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第1讲函数的概念及其表示，共5页。试卷主要包含了函数f，下列各组函数表示相同函数的是，[2023重庆模拟]已知函数f，已知函数f等内容，欢迎下载使用。

1.函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）的定义域为（ C ）
A.[13，1）∪（1，＋∞）B.[13，2）
C.[13，1）∪（1，2）D.（0，2）
解析 要使函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）有意义，则3x－1≥0，2－x>0，2－x≠1，解得x≥13，x<2，x≠1，故函数的定义域为[13，1）∪（1，2）.故选C.
2.下列各组函数表示相同函数的是（ C ）
A.f（x）＝x2和g（x）＝（x）2
B.f（x）＝1和g（x）＝x0
C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝x，x≥0，－x，x<0
D.f（x）＝elnx和g（x）＝lg 10x
解析 对于选项A，f（x）＝x2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（x）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝x，x≥0，－x，x＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝elnx的定义域为（0，＋∞），g（x）＝
lg 10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.
3.[2023重庆模拟]已知函数f（x＋1）＝x＋2x，则f（x）的解析式为（ C ）
A.f（x）＝x2－1
B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）
C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）
D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）
解析 解法一（配凑法） f（x＋1）＝x＋2x＝（x＋1）2－1，令t＝x＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.
解法二（换元法） 令t＝x＋1（t≥1），则x＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.
4.已知函数f（x）＝lnx，x≥1，0，0≤x<1，x，x<0，若f（2a－1）－1≤0，则实数a的取值范围是（ D ）
A.[e+12，＋∞）B.（－∞，－12]∪[0，e+12]
C.[0，e+12]D.（－∞，e+12]
解析 因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤xP＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，e+12]，故选D.
5.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y＝f（x－1）x－2的定义域是 （2，5] .
解析 由题意知0≤x－1≤4，x－2>0，解得2＜x≤5，即y＝f（x－1）x－2的定义域为（2，5].
6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3x，x≤0，lg4x，x>0，则f（f（116））＝19.
解析 因为f（x）＝3x，x≤0，lg4x，x>0，所以f（116）＝lg4116＝－2，f（－2）＝3－2＝19，所以
f（f（116））＝19.
7.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是 f（x）＝2x（答案不唯一） .（写出满足条件的一个解析式即可）
解析 由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.
8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12）x，x∈（－∞，1),lg4x，x∈（1，＋∞),则f（x）＞1的解集为 （－∞，0）∪（4，＋∞） .
解析 由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝lg44＝1，结合对数函数y＝lg4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）.所以不等式
f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.
9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝lg2x，x>0，x2+4x+1，x≤0，若实数a满足f（f（a））＝1，则实数a的所有取值的和为（ C ）
A.1B.1716－5
C.－1516－5D.－2
解析 作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2.
令f（a）＝－4，则由图可得lg2a＝－4，解得a＝2－4＝116；
令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或lg2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；
令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或lg2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.
所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4＝
－1516－5，
故选C.
10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝x，0f（ea），则f（1a）＝ e .
解析 根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以ea＞1.易知y＝ex的图象与y＝x的图象无交点，所以ea≠a，所以要使f（a）＝f（ea），则0＜a＜1＜ea，所以a＝eln ea，变形可得a＝ea，解得a＝1e，则f（1a）＝f（e）＝eln e＝e.
11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x），下列说法正确的是（ D ）
A.f（x）的定义域为{0，1}
B.f（x）的值域为[0，1]
C.∃x∈R，f（f（x））＝0
D.对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立
解析 由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或
f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故D正确.故选D.
12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ ABD ）
A.2是y＝x＋1x（x∈（2，＋∞））的一个下界
B.y＝lnxx有上界无下界
C.y＝xex有上界无下界
D.y＝csxx2+1有界
解析 对选项A，y＝x＋1x在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2，A正确；
对选项B，y＝lnxx，则y'＝1－lnxx2，当x∈（0，e）时，y'＞0，函数单调递增，当x∈（e，
＋∞）时，y'＜0，函数单调递减，故函数在x＝e时有最大值为1e，无最小值，即y≤1e恒成立，B正确；
对选项C，当x趋近于＋∞时，y＝xex趋近于＋∞，C错误；
对选项D，y＝csxx2+1，则｜y｜＝｜csx｜x2+1≤1x2+1≤1，即－1≤y≤1恒成立，D正确.故选ABD.