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备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性，共7页。试卷主要包含了若定义在R上的偶函数f，已知函数f，[2024青岛市检测]若函数f，[2024安徽月考]已知函数f，已知f的解析式为等内容，欢迎下载使用。
1.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ C ）
A.f（x）＝tan（－x）B.f（x）＝2－x
C.f（x）＝e－x－exD.f（x）＝2x
解析 f（x）＝tan（－x）＝－tan x的定义域是{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故A错误；
f（x）＝2－x＝（12）x既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减，故B错误；f（x）＝
e－x－ex的定义域为R，∵f（－x）＝ex－e－x＝－f（x），∴f（x）是奇函数，∵y＝e－x，y＝－ex均为R上的减函数，∴f（x）在R上单调递减，故C正确；f（x）＝2x的定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选C.
2.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（ D ）
A.ex－e－xB.12（ex＋e－x）
C.12（e－x－ex）D.12（ex－e－x）
解析 因为f（x）＋g（x）＝ex，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－x）＋
g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，所以g（x）＝12（ex－e－x） .故选D.
3.已知函数f（x）＝x2+2x，x≥0，x2－2x，x<0，若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（ C ）
A.[－1，0）B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2]
解析 若x＜0，则－x＞0，f（－x）＝x2－2x＝f（x），若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝x2＋2x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，函数f（x）单调递增，由f（－a）＋f（a）≤2f（1），得2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），所以｜a｜≤1，所以
－1≤a≤1.故选C.
4.[2024青岛市检测]若函数f（x）＝cs x·lg（x2＋m－x）为奇函数，则m＝（ C ）
A.－1B.0C.1D.±1
解析 解法一 因为函数f（x）＝cs x·lg（x2＋m－x）为奇函数，又y＝cs x为偶函数，所以g（x）＝lg（x2＋m－x）为奇函数，则g（x）＋g（－x）＝0，即lg（x2＋m－x）＋lg（x2＋m＋x）＝0，即lg[（x2＋m－x）（x2＋m＋x）]＝lg（x2＋m－x2）＝lg m＝0，解得m＝1，故选C.
解法二 因为函数f（x）＝cs x·lg（x2＋m－x）为奇函数，又y＝cs x为偶函数，所以g（x）＝lg（x2＋m－x）为奇函数，所以g（0）＝0，即lgm＝0，解得m＝1.经检验，符合题意.故选C.
5.[2024安徽月考]已知函数f（x）＝2sin x＋x＋2，x∈[－2π，2π]，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（ A ）
A.4B.4π－333C.4π+333D.2π＋3－1
解析 因为y＝2sin x＋x的图象关于原点对称，所以f（x）＝2sin x＋x＋2的图象关于点（0，2）对称，所以f（x）在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和M＋m＝4.故选A.
6.[2023南京市、盐城市一模]若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d满足f（1－x）＋f（1＋x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x＋3）＜f'（x－1）的解集为（ C ）
A.（0，＋∞）
B.（－∞，－4）
C.（－4，0）
D.（－∞，－4）∪（0，＋∞）
解析 由f（1－x）＋f（1＋x）＝0可知，函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.
解法一 易得f'（x）＝3x2＋2bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f'（x）在
（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得｜2x＋3－1｜＜｜x－1－1｜，解得－4＜x＜0，故选C.
解法二 函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象的对称中心为点（－b3a，f（－b3a）），由
－b3a＝1，a＝1，得b＝－3，所以f'（x）＝3x2－6x＋c，由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得
3（2x＋3）2－6（2x＋3）＋c﹤3（x－1）2－6（x－1）＋c，解得－4＜x＜0，故选C.
7.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝ －x（答案不唯一） .（写出一个满足条件的函数即可）
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；②f（x）是奇函数；③当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0.
解析 因为f（x）是奇函数，且当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0，即x＞－y时，f（x）＜－f（y）＝f（－y），所以f（x）是单调递减函数，再考虑到f（x＋y）＝f（x）＋
f（y），所以f（x）＝kx（k＜0）都符合题意.
8.已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）的解析式为
f（x）＝ －2x2+3x+1，x>0，0，x=0，2x2+3x－1，x<0 .
解析 当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x＜0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.
综上，f（x）的解析式为f（x）＝－2x2+3x+1，x>0，0，x=0，2x2+3x－1，x<0.
9.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝ln（x2+1＋x）－2ex+1，则不等式f（x）＋
f（2x－1）＞－2的解集是（ A ）
A.（13，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，13）D.（－∞，1）
解析 因为x2+1＞｜x｜≥－x，所以x2+1＋x＞0在R上恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，f（x）＝ln（x2+1＋x）＋（ex－1）－（ex+1）ex+1＝ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1－1，令h（x）＝f（x）＋1＝ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1，则h（x）＋h（－x）＝[ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1]＋[ln（x2+1－x）＋e－x－1e－x+1]＝ln（x2+1＋x）＋ln（x2+1－x）＋ex－1ex+1＋1－ex1+ex＝ln 1＋0＝0，所以h（x）是奇函数.
设g（x）＝ln（x2+1＋x），则g（x）为奇函数.当x≥0时，y＝x2+1，y＝x均单调递增，则y＝x2+1＋x在[0，＋∞）上单调递增.所以g（x）＝ln（x2+1＋x）在[0，＋∞）上单调递增.
又g（x）为奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增.又y＝ex＋1在R上单调递增，所以y＝2ex+1在R上单调递减，所以y＝－2ex+1在R上单调递增，所以h（x）＝g（x）－2ex+1＋1在R上单调递增.
不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2，即f（x）＋1＞－[f（2x－1）＋1]，也即h（x）＞－
h（2x－1）＝h（1－2x），所以x＞1－2x，解得x＞13.故选A.
10.[2024黄冈模拟]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝
f'（x＋1），且f（2＋x）－f（2－x）＝4x，g（3＋x）为偶函数，则g'（7）＋g（17）＝（ C ）
A.0B.1C.2D.3
解析 因为g（3＋x）为偶函数，g（x）＝f'（x＋1），所以f'（x＋4）＝f'（－x＋4），
对f（2＋x）－f（2－x）＝4x两边同时求导，得f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4，所以有
f'（4＋x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4－x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4＋x）＋f'（x）＝4⇒f'（8＋x）＝f'（x），所以函数f'（x）的周期为8，在f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4中，令x＝0，得f'（2）＝2，因此g（17）＝f'（18）＝f'（2）＝2.
因为g（3＋x）为偶函数，所以有g（3＋x）＝g（3－x）⇒g'（3＋x）＝－g'（3－x）⇒
g'（7）＝－g'（－1） ①，
f'（8＋x）＝f'（x）⇒g（7＋x）＝g（x－1）⇒g'（7＋x）＝g'（x－1）⇒g'（7）＝
g'（－1） ②，
由①②可得：g'（7）＝0，所以g'（7）＋g（17）＝2，故选C.
11.[多选/2024辽宁开学考试]已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x－1）＋f（x＋3）＝0，当x∈[－2，0]时，f（x）＝2x－2－x＋x，则（ ACD ）
A.f（x）的图象关于直线x＝2对称
B.4是f（x）的一个周期
C.f（x）在（0，2]上单调递增
D.f（2 024）＜f（12）＜f（0.50.2）
解析 由函数y＝xf（x）是R上的偶函数可知，f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）.
又f（x－1）＋f（x＋3）＝0，得f（x）＋f（x＋4）＝0，则f（x＋4）＝－f（x）＝
f（－x），所以f（x＋2）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称，A项正确.
由f（8＋x）＝－f（4＋x）＝f（x）可知，8是f（x）的一个周期，由f（x）＝－f（x＋4）可知，4不是f（x）的一个周期，B项错误.
当x∈[－2，0]时，易知f（x）＝2x－2－x＋x为增函数，
又f（x）为奇函数，所以f（x）在（0，2]上单调递增，C项正确；
又f（2 024）＝f（8×253）＝f（0），0＜0.5＜0.50.2，且f（x）在[－2，2]上单调递增，所以f（0）＜f（12）＜f（0.50.2），即f（2 024）＜f（12）＜f（0.50.2），D项正确.故选ACD.
12.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数y＝f（x）对任意实数x，y都满足2f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y），且f（1）＝－1，则（ AC ）
A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数
C.f（x）＋f（1－x）＝0D.∑k=12025f（k）＝1
解析 在2f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）中，令x＝1，y＝0，可得2f（1）f（0）＝2f（1），即－2f（0）＝－2，解得f（0）＝1≠0，故f（x）不是奇函数，B错误；令x＝0可得2f（0）f（y）＝f（y）＋f（－y），即f（y）＝f（－y），故函数f（y）是偶函数，即f（x）是偶函数，故A正确；令x＝y＝12，则2f2（12）＝f（1）＋f（0）＝0，故f（12）＝0，令x＝12，可得2f（12）f（y）＝f（12＋y）＋f（12－y）＝0，故f（x）＋f（1－x）＝0，故C正确；因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），故f（－x）＋f（1－x）＝0，即
f（x）＋f（1＋x）＝0，所以f（x＋1）＋f（2＋x）＝0，所以f（x＋2）＝f（x），故函数
f（x）的周期为2，因为f（1）＋f（0）＝0，f（1）＝－1，所以f（1）＋f（2）＝f（1）＋f（0）＝0，f（2 025）＝f（1）＝－1，所以∑k=12025f（k）＝f（1）＋f（2）＋…＋
f（2 025）＝f（2 025）＝f（1）＝－1，故D错误.故选AC.
13.[多选/2024南昌市模拟]f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），下列说法中正确的是（ ACD ）
A.若f（x）＝f（－x），则f'（x）＝－f'（－x）
B.若f'（x）＝f'（x＋T）（T≠0），则f（x）＝f（x＋T）
C.若f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则f'（x）的图象关于直线x＝a轴对称
D.若f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2，f'（x＋2）的图象关于原点对称，则f（－1）＋
f'（2）＝1
解析 对于A：f（x）＝f（－x）两边对x求导，得f'（x）＝－f'（－x），故A正确.
对于B：f（x）＝f（x＋T）＋C（C为常数）⇔f'（x）＝f'（x＋T），则C≠0时，B错误.
对于C：f（x）的图象有对称中心（a，b）⇒f（a－x）＋f（a＋x）＝2b，两边对x求导，得－f'（a－x）＋f'（a＋x）＝0，即f'（a－x）＝f'（a＋x）⇒f'（x）的图象关于直线x＝a对称，C正确.
对于D：f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2⇒f（x）的图象有对称中心（－1，1），则
f（－1）＝1.f'（x＋2）的图象向右平移2个单位长度f'（x）的图象⇒f'（x）的图象有对称中心（2，0），则f'（2）＝0.所以f（－1）＋f'（2）＝1＋0＝1，故D正确.故选ACD.
14.[2022全国卷乙]若f（x）＝ln｜a＋11－x｜＋b是奇函数，则a＝ －12 ，b＝ ln2 .
解析 解法一 f（x）＝ln｜a＋11－x｜＋b＝ln｜a＋11－x｜＋ln eb＝ln｜（a+1）eb－aebx1－x｜.
∵f（x）为奇函数，
∴f（－x）＋f（x）＝ln｜（a+1）2e2b－a2e2bx21－x2｜＝0，
∴｜（a＋1）2e2b－a2e2bx2｜＝｜1－x2｜.
当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，（a+1）2e2b=1，a2e2b=1，解得a＝－12，b＝ln2.
当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝－1＋x2时，（a+1）2e2b＝－1，a2e2b＝－1，无解.
综上，a＝－12，b＝ln 2.
解法二 易知x≠1.∵函数f（x）为奇函数，
∴由奇函数定义域关于原点对称可得x≠－1，
∴当x＝－1时，｜a＋11－x｜≤0.
又∵｜a＋11－x｜≥0恒成立，
∴当x＝－1时，｜a＋11－x｜＝0，
∴a＝－12.
又由f（0）＝0可得b＝ln 2.
经检验符合题意，∴a＝－12，b＝ln 2.
15.[探索创新/2023广西联考]若定义在D上的函数f（x）满足下列条件：①∀x∈D，
f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立；②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞
x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立；③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·2x1＝1成立.则称该函数为“χ函数”，下列函数可以称为“χ函数”的是（ D ）
A.f（x）＝1－3x3x+1+3B.f（x）＝2＋sin x
C.f（x）＝x4－x2＋1D.f（x）＝ln（x2＋1＋x）
解析 由①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立可知，y＝f（x）的图象关于原点对称，“χ函数”为奇函数.
②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，整理可得（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，所以函数y＝f（x）在D上单调递增.③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·2x1＝1成立，整理可得f（x2）＝（12）x1，因为∀x1∈R，y＝（12）x1＞0，所以（0，＋∞）是f（x）的值域的子集.
对于选项B，C，均不满足①，对于选项A，f（x）＝1－3x3x+1+3＝2－（3x+1）3（3x+1）＝23（3x+1）－13，在定义域内单调递减，不满足②，f（x）＝ln（x2+1＋x）满足①②③，故选D.
1.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ C ）
A.f（x）＝tan（－x）B.f（x）＝2－x
C.f（x）＝e－x－exD.f（x）＝2x
解析 f（x）＝tan（－x）＝－tan x的定义域是{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故A错误；
f（x）＝2－x＝（12）x既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减，故B错误；f（x）＝
e－x－ex的定义域为R，∵f（－x）＝ex－e－x＝－f（x），∴f（x）是奇函数，∵y＝e－x，y＝－ex均为R上的减函数，∴f（x）在R上单调递减，故C正确；f（x）＝2x的定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选C.
2.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（ D ）
A.ex－e－xB.12（ex＋e－x）
C.12（e－x－ex）D.12（ex－e－x）
解析 因为f（x）＋g（x）＝ex，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－x）＋
g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，所以g（x）＝12（ex－e－x） .故选D.
3.已知函数f（x）＝x2+2x，x≥0，x2－2x，x<0，若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（ C ）
A.[－1，0）B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2]
解析 若x＜0，则－x＞0，f（－x）＝x2－2x＝f（x），若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝x2＋2x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，函数f（x）单调递增，由f（－a）＋f（a）≤2f（1），得2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），所以｜a｜≤1，所以
－1≤a≤1.故选C.
4.[2024青岛市检测]若函数f（x）＝cs x·lg（x2＋m－x）为奇函数，则m＝（ C ）
A.－1B.0C.1D.±1
解析 解法一 因为函数f（x）＝cs x·lg（x2＋m－x）为奇函数，又y＝cs x为偶函数，所以g（x）＝lg（x2＋m－x）为奇函数，则g（x）＋g（－x）＝0，即lg（x2＋m－x）＋lg（x2＋m＋x）＝0，即lg[（x2＋m－x）（x2＋m＋x）]＝lg（x2＋m－x2）＝lg m＝0，解得m＝1，故选C.
解法二 因为函数f（x）＝cs x·lg（x2＋m－x）为奇函数，又y＝cs x为偶函数，所以g（x）＝lg（x2＋m－x）为奇函数，所以g（0）＝0，即lgm＝0，解得m＝1.经检验，符合题意.故选C.
5.[2024安徽月考]已知函数f（x）＝2sin x＋x＋2，x∈[－2π，2π]，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（ A ）
A.4B.4π－333C.4π+333D.2π＋3－1
解析 因为y＝2sin x＋x的图象关于原点对称，所以f（x）＝2sin x＋x＋2的图象关于点（0，2）对称，所以f（x）在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和M＋m＝4.故选A.
6.[2023南京市、盐城市一模]若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d满足f（1－x）＋f（1＋x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x＋3）＜f'（x－1）的解集为（ C ）
A.（0，＋∞）
B.（－∞，－4）
C.（－4，0）
D.（－∞，－4）∪（0，＋∞）
解析 由f（1－x）＋f（1＋x）＝0可知，函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.
解法一 易得f'（x）＝3x2＋2bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f'（x）在
（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得｜2x＋3－1｜＜｜x－1－1｜，解得－4＜x＜0，故选C.
解法二 函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象的对称中心为点（－b3a，f（－b3a）），由
－b3a＝1，a＝1，得b＝－3，所以f'（x）＝3x2－6x＋c，由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得
3（2x＋3）2－6（2x＋3）＋c﹤3（x－1）2－6（x－1）＋c，解得－4＜x＜0，故选C.
7.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝ －x（答案不唯一） .（写出一个满足条件的函数即可）
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；②f（x）是奇函数；③当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0.
解析 因为f（x）是奇函数，且当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0，即x＞－y时，f（x）＜－f（y）＝f（－y），所以f（x）是单调递减函数，再考虑到f（x＋y）＝f（x）＋
f（y），所以f（x）＝kx（k＜0）都符合题意.
8.已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）的解析式为
f（x）＝ －2x2+3x+1，x>0，0，x=0，2x2+3x－1，x<0 .
解析 当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x＜0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.
综上，f（x）的解析式为f（x）＝－2x2+3x+1，x>0，0，x=0，2x2+3x－1，x<0.
9.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝ln（x2+1＋x）－2ex+1，则不等式f（x）＋
f（2x－1）＞－2的解集是（ A ）
A.（13，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，13）D.（－∞，1）
解析 因为x2+1＞｜x｜≥－x，所以x2+1＋x＞0在R上恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，f（x）＝ln（x2+1＋x）＋（ex－1）－（ex+1）ex+1＝ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1－1，令h（x）＝f（x）＋1＝ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1，则h（x）＋h（－x）＝[ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1]＋[ln（x2+1－x）＋e－x－1e－x+1]＝ln（x2+1＋x）＋ln（x2+1－x）＋ex－1ex+1＋1－ex1+ex＝ln 1＋0＝0，所以h（x）是奇函数.
设g（x）＝ln（x2+1＋x），则g（x）为奇函数.当x≥0时，y＝x2+1，y＝x均单调递增，则y＝x2+1＋x在[0，＋∞）上单调递增.所以g（x）＝ln（x2+1＋x）在[0，＋∞）上单调递增.
又g（x）为奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增.又y＝ex＋1在R上单调递增，所以y＝2ex+1在R上单调递减，所以y＝－2ex+1在R上单调递增，所以h（x）＝g（x）－2ex+1＋1在R上单调递增.
不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2，即f（x）＋1＞－[f（2x－1）＋1]，也即h（x）＞－
h（2x－1）＝h（1－2x），所以x＞1－2x，解得x＞13.故选A.
10.[2024黄冈模拟]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝
f'（x＋1），且f（2＋x）－f（2－x）＝4x，g（3＋x）为偶函数，则g'（7）＋g（17）＝（ C ）
A.0B.1C.2D.3
解析 因为g（3＋x）为偶函数，g（x）＝f'（x＋1），所以f'（x＋4）＝f'（－x＋4），
对f（2＋x）－f（2－x）＝4x两边同时求导，得f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4，所以有
f'（4＋x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4－x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4＋x）＋f'（x）＝4⇒f'（8＋x）＝f'（x），所以函数f'（x）的周期为8，在f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4中，令x＝0，得f'（2）＝2，因此g（17）＝f'（18）＝f'（2）＝2.
因为g（3＋x）为偶函数，所以有g（3＋x）＝g（3－x）⇒g'（3＋x）＝－g'（3－x）⇒
g'（7）＝－g'（－1） ①，
f'（8＋x）＝f'（x）⇒g（7＋x）＝g（x－1）⇒g'（7＋x）＝g'（x－1）⇒g'（7）＝
g'（－1） ②，
由①②可得：g'（7）＝0，所以g'（7）＋g（17）＝2，故选C.
11.[多选/2024辽宁开学考试]已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x－1）＋f（x＋3）＝0，当x∈[－2，0]时，f（x）＝2x－2－x＋x，则（ ACD ）
A.f（x）的图象关于直线x＝2对称
B.4是f（x）的一个周期
C.f（x）在（0，2]上单调递增
D.f（2 024）＜f（12）＜f（0.50.2）
解析 由函数y＝xf（x）是R上的偶函数可知，f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）.
又f（x－1）＋f（x＋3）＝0，得f（x）＋f（x＋4）＝0，则f（x＋4）＝－f（x）＝
f（－x），所以f（x＋2）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称，A项正确.
由f（8＋x）＝－f（4＋x）＝f（x）可知，8是f（x）的一个周期，由f（x）＝－f（x＋4）可知，4不是f（x）的一个周期，B项错误.
当x∈[－2，0]时，易知f（x）＝2x－2－x＋x为增函数，
又f（x）为奇函数，所以f（x）在（0，2]上单调递增，C项正确；
又f（2 024）＝f（8×253）＝f（0），0＜0.5＜0.50.2，且f（x）在[－2，2]上单调递增，所以f（0）＜f（12）＜f（0.50.2），即f（2 024）＜f（12）＜f（0.50.2），D项正确.故选ACD.
12.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数y＝f（x）对任意实数x，y都满足2f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y），且f（1）＝－1，则（ AC ）
A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数
C.f（x）＋f（1－x）＝0D.∑k=12025f（k）＝1
解析 在2f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）中，令x＝1，y＝0，可得2f（1）f（0）＝2f（1），即－2f（0）＝－2，解得f（0）＝1≠0，故f（x）不是奇函数，B错误；令x＝0可得2f（0）f（y）＝f（y）＋f（－y），即f（y）＝f（－y），故函数f（y）是偶函数，即f（x）是偶函数，故A正确；令x＝y＝12，则2f2（12）＝f（1）＋f（0）＝0，故f（12）＝0，令x＝12，可得2f（12）f（y）＝f（12＋y）＋f（12－y）＝0，故f（x）＋f（1－x）＝0，故C正确；因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），故f（－x）＋f（1－x）＝0，即
f（x）＋f（1＋x）＝0，所以f（x＋1）＋f（2＋x）＝0，所以f（x＋2）＝f（x），故函数
f（x）的周期为2，因为f（1）＋f（0）＝0，f（1）＝－1，所以f（1）＋f（2）＝f（1）＋f（0）＝0，f（2 025）＝f（1）＝－1，所以∑k=12025f（k）＝f（1）＋f（2）＋…＋
f（2 025）＝f（2 025）＝f（1）＝－1，故D错误.故选AC.
13.[多选/2024南昌市模拟]f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），下列说法中正确的是（ ACD ）
A.若f（x）＝f（－x），则f'（x）＝－f'（－x）
B.若f'（x）＝f'（x＋T）（T≠0），则f（x）＝f（x＋T）
C.若f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则f'（x）的图象关于直线x＝a轴对称
D.若f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2，f'（x＋2）的图象关于原点对称，则f（－1）＋
f'（2）＝1
解析 对于A：f（x）＝f（－x）两边对x求导，得f'（x）＝－f'（－x），故A正确.
对于B：f（x）＝f（x＋T）＋C（C为常数）⇔f'（x）＝f'（x＋T），则C≠0时，B错误.
对于C：f（x）的图象有对称中心（a，b）⇒f（a－x）＋f（a＋x）＝2b，两边对x求导，得－f'（a－x）＋f'（a＋x）＝0，即f'（a－x）＝f'（a＋x）⇒f'（x）的图象关于直线x＝a对称，C正确.
对于D：f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2⇒f（x）的图象有对称中心（－1，1），则
f（－1）＝1.f'（x＋2）的图象向右平移2个单位长度f'（x）的图象⇒f'（x）的图象有对称中心（2，0），则f'（2）＝0.所以f（－1）＋f'（2）＝1＋0＝1，故D正确.故选ACD.
14.[2022全国卷乙]若f（x）＝ln｜a＋11－x｜＋b是奇函数，则a＝ －12 ，b＝ ln2 .
解析 解法一 f（x）＝ln｜a＋11－x｜＋b＝ln｜a＋11－x｜＋ln eb＝ln｜（a+1）eb－aebx1－x｜.
∵f（x）为奇函数，
∴f（－x）＋f（x）＝ln｜（a+1）2e2b－a2e2bx21－x2｜＝0，
∴｜（a＋1）2e2b－a2e2bx2｜＝｜1－x2｜.
当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，（a+1）2e2b=1，a2e2b=1，解得a＝－12，b＝ln2.
当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝－1＋x2时，（a+1）2e2b＝－1，a2e2b＝－1，无解.
综上，a＝－12，b＝ln 2.
解法二 易知x≠1.∵函数f（x）为奇函数，
∴由奇函数定义域关于原点对称可得x≠－1，
∴当x＝－1时，｜a＋11－x｜≤0.
又∵｜a＋11－x｜≥0恒成立，
∴当x＝－1时，｜a＋11－x｜＝0，
∴a＝－12.
又由f（0）＝0可得b＝ln 2.
经检验符合题意，∴a＝－12，b＝ln 2.
15.[探索创新/2023广西联考]若定义在D上的函数f（x）满足下列条件：①∀x∈D，
f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立；②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞
x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立；③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·2x1＝1成立.则称该函数为“χ函数”，下列函数可以称为“χ函数”的是（ D ）
A.f（x）＝1－3x3x+1+3B.f（x）＝2＋sin x
C.f（x）＝x4－x2＋1D.f（x）＝ln（x2＋1＋x）
解析 由①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立可知，y＝f（x）的图象关于原点对称，“χ函数”为奇函数.
②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，整理可得（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，所以函数y＝f（x）在D上单调递增.③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·2x1＝1成立，整理可得f（x2）＝（12）x1，因为∀x1∈R，y＝（12）x1＞0，所以（0，＋∞）是f（x）的值域的子集.
对于选项B，C，均不满足①，对于选项A，f（x）＝1－3x3x+1+3＝2－（3x+1）3（3x+1）＝23（3x+1）－13，在定义域内单调递减，不满足②，f（x）＝ln（x2+1＋x）满足①②③，故选D.
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