还剩4页未读，
继续阅读
所属成套资源：备考2024届高考数学一轮复习分层练习全套
成套系列资料，整套一键下载
备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义导数的运算
展开
这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义导数的运算，共7页。试卷主要包含了故选C，[易错题]已知函数f，[全国卷Ⅰ]设函数f，曲线f，已知曲线C，[多选]函数f等内容，欢迎下载使用。
1.[全国卷Ⅱ]曲线y＝2sin x＋cs x在点（π，－1）处的切线方程为（ C ）
A.x－y－π－1＝0B.2x－y－2π－1＝0
C.2x＋y－2π＋1＝0D.x＋y－π＋1＝0
解析 依题意得y'＝2cs x－sin x，y' x＝π＝2cs π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2（x－π），即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.
2.[2024福建泉州模拟]若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x相切，则实数a的值为（ C ）
A.0B.－1C.－2D.－3
解析 由y＝x－2ln x，得y'＝1－2x.设直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x相切于点（x0，y0），则1－2x0＝－1，y0＝x0－2lnx0，x0＋y0＋a=0，解得x0=1，y0=1，a＝－2.故选C.
3.[易错题]已知函数f（x）＝f'（1）x2＋2x＋2f（1），则f'（2）的值为（ D ）
A.－2B.0C.－4D.－6
解析 因为f'（x）＝2f'（1）x＋2，所以f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2，所以f'（x）＝－4x＋2，所以f'（2）＝－6，故选D.
4.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ D ）
A.y＝－2xB.y＝－xC.y＝2xD.y＝x
解析 解法一 因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－x）＝
－f（x），所以（－x）3＋（a－1）（－x）2＋a（－x）＝－[x3＋（a－1）x2＋ax]，所以
2（a－1）x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.
解法二 因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0，所以－1＋a－1－a＋（1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.
解法三 易知f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax＝x[x2＋（a－1）x＋a]，因为f（x）为奇函数，所以函数g（x）＝x2＋（a－1）x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以
f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.
5.曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为（ D ）
A.（1，3）B.（－1，3）
C.（－1，3）或（1，1）D.（－1，3）或（1，3）
解析 设切点P（x0，y0），由f'（x）＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f'（x0）＝3x02－1，因为曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，所以3x02－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f（1）＝3，此时P（1，3）；当x0＝－1时，可得f（－1）＝3，此时P（－1，3），综上，点P的坐标为（－1，3）或（1，3），故选D.
6.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－3a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由f（x）＝x3－3x，可知f'（x）＝3x2－3.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y＝（3x02－3）x－2x03，所以3x02－3=a，2x03＝3a，解得x0＝3，a=6或x0＝－32，a＝－34，所以“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的充分不必要条件.故选A.
7.[2024福建省宁德市模拟]曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点个数为（ C ）
A.1B.2C.3D.4
解析 由y＝－x3＋x2＋8x＋3，得y'＝－3x2＋2x＋8，∵曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，∴－3x2＋2x＋8＞0，即3x2－2x－8＜0，解得－43＜x＜2.又切点坐标为整数，∴x＝－1，0，1，此时对应的y值也为整数.∴该曲线上这样的切点的个数为3.故选C.
8.[多选]函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），若f'（x）＞0，且对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22），则下列选项正确的是（ BD ）
A.f（π）＜f（e）＜f（2）
B.f'（π）＜f'（e）＜f'（2）
C.f'（1）＜f（2）－f（1）＜f'（2）
D.f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1）
解析 由f'（x）＞0，得f（x）在R上单调递增，因为π＞e＞2，所以f（π）＞f（e）＞
f（2），故A不正确；
对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22），可得函数的大致图象如图所示.
f'（x）表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f（x）的图象上升得越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f'（π）＜f'（e）＜f'（2），故B正确；
又f（2）－f（1）＝f（2）－f（1）2－1表示点（1，f（1））与点（2，f（2））连线的斜率，结合图象可知f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1），D正确，C不正确.
9.[2024河南省名校调考]已知幂函数f（x）＝（m2－6m＋9）xm满足f'（1）＝2，则
f（2）＝ 4 .
解析 由幂函数的定义可得m2－6m＋9＝1，解得m＝2或m＝4，当m＝2时，f（x）＝x2，f'（x）＝2x，f'（1）＝2，符合题意；当m＝4时，f（x）＝x4，f'（x）＝4x3，f'（1）＝4，不符合题意.故f（x）＝x2，f（2）＝4.
10.[新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝aex－1－ln x＋ln a.
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.
解析 f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝aex－1－1x.
（1）当a＝e时，f（x）＝ex－ln x＋1，f'（1）＝e－1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（e＋1）＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2.
直线y＝（e－1）x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－2e－1，2.
因此所求三角形的面积为2e－1.
（2）当0＜a＜1时，f（1）＝a＋ln a＜1.
当a＝1时，f（x）＝ex－1－ln x，f'（x）＝ex－1－1x.当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.所以当x＝1时，f（x）取得最小值，最小值为f（1）＝1，从而f（x）≥1.
当a＞1时，f（x）＝aex－1－ln x＋ln a＞ex－1－ln x≥1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞）.
11.[条件创新]已知曲线y＝ln x在x＝x0处的切线经过点（－1，0），则x0的大致范围是（参考数据：e≈2.718，e2≈7.389）（ C ）
A.（2，e）B.（e，3）C.（3，4）D.（4，5）
解析 ∵y'＝1x，∴曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程是y－ln x0＝1x0·（x－x0），由切线经过点（－1，0），得1x0－ln x0＋1＝0.令g（x）＝1x－ln x＋1（x＞0），显然g（x）单调递减，
∵g（3）＝43－ln 3＝lne4－ln273＞ln72－ln273＞0，g（4）＝54－ln 4＝lne5－ln2564＜ln35－ln2564＜0，∴x0的大致范围是（3，4）.
12.[2024南昌市模拟]若函数f（x）＝cs x，a∈（π2，π]，则函数f（x）在[π2，a]上平均变化率的取值范围为（ B ）
A.（－1，0]B.（－1，－2π]
C.（－∞，0]D.（－∞，－2π]
解析 记平均变化率为g（a），则g（a）＝csa－csπ2a－π2＝csaa－π2，g'（a）＝（π2－a）·sina－csa（a－π2）2.记h（a）＝（π2－a）sin a－cs a，则h'（a）＝（π2－a）cs a.∵a∈（π2，π]，∴h'（a）＞0，∴h（a）在（π2，π]上单调递增，∴h（a）＞（π2－π2）sinπ2－csπ2＝0，∴g'（a）＞0，从而g（a）在（π2，π]上单调递增，∴g（a）max＝g（π）＝－2π.∵f（x）＝cs x，∴f'（x）＝
－sin x，∴当a→π2时，g（a）→f'（π2）＝－sinπ2＝－1，∴a∈（－1，－2π].故选B.
13.[多选/2024惠州市一调]若过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）ex的图象相切，则实数λ的值可以是（ BC ）
A.－4eB.－2eC.－1eD.e
解析 设切点坐标为（x0，（x0－1）ex0），因为f'（x）＝xex，所以f'（x0）＝x0ex0，切线方程为y－（x0－1）ex0＝x0ex0（x－x0），
又切线过P（1，λ），所以λ－（x0－1）ex0＝x0ex0（1－x0），整理得λ＝－ex0（x02－2x0＋1）.令g（x）＝－ex（x2－2x＋1），则g'（x）＝－ex（x2－1），由g'（x）＝0得x＝±1，当x＜－1或x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当－1＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增.故当x＝－1时，g（x）取得极小值g（－1）＝－4e；当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝0.由g（x）＝－ex（x－1）2可知，当x≠1时，g（x）＜0，所以函数g（x）的大致图象如图，由图可知，当－4e＜λ＜0时，直线y＝λ与函数g（x）的图象有3个交点，此时过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）ex的图象相切，由此可知，B，C符合题意.故选BC.
14.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 2 .
解析 设曲线在点P（x0，y0）（x0＞0）处的切线与直线x－y－2＝0平行，则切线的斜率k＝2x0－1x0＝1，∴x0＝1，y0＝1，则P（1，1），则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝｜1－1－2｜12＋（－1）2＝2.
15.[2021全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标.
解析 记曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为P（x0，x03－x02＋ax0＋1）.
因为f'（x0）＝3x02－2x0＋a，所以切线l的方程为y－（x03－x02＋ax0＋1）＝（3x02－2x0＋a）（x－x0）.
由l过坐标原点，得2x03－x02－1＝0，即（2x03－2x02）＋（x02－1）＝（x0－1）（2x02＋x0＋1）＝0，
解得x0＝1，
所以切线l的方程为y＝（1＋a）x.
令x3－x2＋ax＋1＝（1＋a）x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，
所以曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，1＋a）和（－1，－1－a）.
16.[2022全国卷甲]已知函数f（x）＝x3－x，g（x）＝x2＋a，曲线y＝f（x）在点（x1，
f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线.
（1）若x1＝－1，求a；
（2）求a的取值范围.
解析 （1）当x1＝－1时，f（－1）＝0，所以切点坐标为（－1，0）.
由f（x）＝x3－x，得f'（x）＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f'（－1）＝2，
所以切线方程为y＝2（x＋1），即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g（x）相切，得Δ＝（－2）2－4（a－2）＝0，
解得a＝3.
（2）由f（x）＝x3－x，得f'（x）＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f'（x1）＝3x12－1，
所以切线方程为y－（x13－x1）＝（3x12－1）（x－x1），即y＝（3x12－1）x－2x13.
将y＝（3x12－1）x－2x13代入y＝x2＋a，得x2－（3x12－1）x＋a＋2x13＝0.
由切线与曲线y＝g（x）相切，得Δ＝（3x12－1）2－4（a＋2x13）＝0，
整理得4a＝9x14－8x13－6x12＋1.
令h（x）＝9x4－8x3－6x2＋1，则h'（x）＝36x3－24x2－12x＝12x（3x＋1）（x－1），
由h'（x）＝0，得x＝－13，0，1，
h（x），h'（x）随x的变化情况如下表所示：
由上表知，当x＝－13时，h（x）取得极小值h（－13）＝2027，
当x＝1时，h（x）取得极小值h（1）＝－4，
易知当x→－∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，所以函数h（x）的值域为[－4，＋∞），
所以由4a∈[－4，＋∞），得a∈[－1，＋∞），
故实数a的取值范围为[－1，＋∞）.
17.[2024江苏联考]已知直线l与曲线y＝ex－1和y＝ln（x＋1）都相切，请写出两个符合条件的直线l的方程： y＝x ， y＝1ex＋1e .
解析 设直线l与曲线y＝ex－1和y＝ln（x＋1）分别切于点（x1，ex1－1），（x2，ln（x2＋1）），x2＞－1，
由（ex－1）'＝ex－1，[ln（x＋1）]'＝1x+1可得切线方程分别为y＝ex1－1（x－x1）＋ex1－1，
y＝1x2+1（x－x2）＋ln（x2＋1），即y＝ex1－1x－x1ex1－1＋ex1－1，y＝1x2+1x－x2x2+1＋ln（x2＋1）.
因此ex1－1＝1x2+1，则x1－1＝－ln（x2＋1），
又－x1ex1－1＋ex1－1＝－x2x2+1＋ln（x2＋1），
所以－x1ex1－1＋ex1－1＝[ln（x2＋1）－1]·1x2+1＋1x2+1＝－x2x2+1＋ln（x2＋1）.（根据曲线y＝
ex－1和y＝ln（x＋1）的公切线斜率相等，可得x1－1＝－ln（x2＋1），根据两个切线方程的对应系数相等列方程，化简整理求解）
化简得[1－ln（x2＋1）]·x2x2+1＝0，解得x2＝0或x2＝e－1.
当x2＝0时，x1＝1，切线方程为y＝x；当x2＝e－1时，x1＝0，切线方程为y＝1ex＋1e.x
（－∞，－13）
－13
（－13，0）
0
（0，1）
1
（1，
＋∞）
h'（x）
－
0
＋
0
－
0
＋
h（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
1.[全国卷Ⅱ]曲线y＝2sin x＋cs x在点（π，－1）处的切线方程为（ C ）
A.x－y－π－1＝0B.2x－y－2π－1＝0
C.2x＋y－2π＋1＝0D.x＋y－π＋1＝0
解析 依题意得y'＝2cs x－sin x，y' x＝π＝2cs π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2（x－π），即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.
2.[2024福建泉州模拟]若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x相切，则实数a的值为（ C ）
A.0B.－1C.－2D.－3
解析 由y＝x－2ln x，得y'＝1－2x.设直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2ln x相切于点（x0，y0），则1－2x0＝－1，y0＝x0－2lnx0，x0＋y0＋a=0，解得x0=1，y0=1，a＝－2.故选C.
3.[易错题]已知函数f（x）＝f'（1）x2＋2x＋2f（1），则f'（2）的值为（ D ）
A.－2B.0C.－4D.－6
解析 因为f'（x）＝2f'（1）x＋2，所以f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2，所以f'（x）＝－4x＋2，所以f'（2）＝－6，故选D.
4.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ D ）
A.y＝－2xB.y＝－xC.y＝2xD.y＝x
解析 解法一 因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－x）＝
－f（x），所以（－x）3＋（a－1）（－x）2＋a（－x）＝－[x3＋（a－1）x2＋ax]，所以
2（a－1）x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.
解法二 因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0，所以－1＋a－1－a＋（1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.
解法三 易知f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax＝x[x2＋（a－1）x＋a]，因为f（x）为奇函数，所以函数g（x）＝x2＋（a－1）x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以
f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.
5.曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为（ D ）
A.（1，3）B.（－1，3）
C.（－1，3）或（1，1）D.（－1，3）或（1，3）
解析 设切点P（x0，y0），由f'（x）＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f'（x0）＝3x02－1，因为曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，所以3x02－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f（1）＝3，此时P（1，3）；当x0＝－1时，可得f（－1）＝3，此时P（－1，3），综上，点P的坐标为（－1，3）或（1，3），故选D.
6.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－3a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由f（x）＝x3－3x，可知f'（x）＝3x2－3.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y＝（3x02－3）x－2x03，所以3x02－3=a，2x03＝3a，解得x0＝3，a=6或x0＝－32，a＝－34，所以“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的充分不必要条件.故选A.
7.[2024福建省宁德市模拟]曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点个数为（ C ）
A.1B.2C.3D.4
解析 由y＝－x3＋x2＋8x＋3，得y'＝－3x2＋2x＋8，∵曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，∴－3x2＋2x＋8＞0，即3x2－2x－8＜0，解得－43＜x＜2.又切点坐标为整数，∴x＝－1，0，1，此时对应的y值也为整数.∴该曲线上这样的切点的个数为3.故选C.
8.[多选]函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），若f'（x）＞0，且对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22），则下列选项正确的是（ BD ）
A.f（π）＜f（e）＜f（2）
B.f'（π）＜f'（e）＜f'（2）
C.f'（1）＜f（2）－f（1）＜f'（2）
D.f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1）
解析 由f'（x）＞0，得f（x）在R上单调递增，因为π＞e＞2，所以f（π）＞f（e）＞
f（2），故A不正确；
对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22），可得函数的大致图象如图所示.
f'（x）表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f（x）的图象上升得越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f'（π）＜f'（e）＜f'（2），故B正确；
又f（2）－f（1）＝f（2）－f（1）2－1表示点（1，f（1））与点（2，f（2））连线的斜率，结合图象可知f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1），D正确，C不正确.
9.[2024河南省名校调考]已知幂函数f（x）＝（m2－6m＋9）xm满足f'（1）＝2，则
f（2）＝ 4 .
解析 由幂函数的定义可得m2－6m＋9＝1，解得m＝2或m＝4，当m＝2时，f（x）＝x2，f'（x）＝2x，f'（1）＝2，符合题意；当m＝4时，f（x）＝x4，f'（x）＝4x3，f'（1）＝4，不符合题意.故f（x）＝x2，f（2）＝4.
10.[新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝aex－1－ln x＋ln a.
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.
解析 f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝aex－1－1x.
（1）当a＝e时，f（x）＝ex－ln x＋1，f'（1）＝e－1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（e＋1）＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2.
直线y＝（e－1）x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－2e－1，2.
因此所求三角形的面积为2e－1.
（2）当0＜a＜1时，f（1）＝a＋ln a＜1.
当a＝1时，f（x）＝ex－1－ln x，f'（x）＝ex－1－1x.当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.所以当x＝1时，f（x）取得最小值，最小值为f（1）＝1，从而f（x）≥1.
当a＞1时，f（x）＝aex－1－ln x＋ln a＞ex－1－ln x≥1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞）.
11.[条件创新]已知曲线y＝ln x在x＝x0处的切线经过点（－1，0），则x0的大致范围是（参考数据：e≈2.718，e2≈7.389）（ C ）
A.（2，e）B.（e，3）C.（3，4）D.（4，5）
解析 ∵y'＝1x，∴曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程是y－ln x0＝1x0·（x－x0），由切线经过点（－1，0），得1x0－ln x0＋1＝0.令g（x）＝1x－ln x＋1（x＞0），显然g（x）单调递减，
∵g（3）＝43－ln 3＝lne4－ln273＞ln72－ln273＞0，g（4）＝54－ln 4＝lne5－ln2564＜ln35－ln2564＜0，∴x0的大致范围是（3，4）.
12.[2024南昌市模拟]若函数f（x）＝cs x，a∈（π2，π]，则函数f（x）在[π2，a]上平均变化率的取值范围为（ B ）
A.（－1，0]B.（－1，－2π]
C.（－∞，0]D.（－∞，－2π]
解析 记平均变化率为g（a），则g（a）＝csa－csπ2a－π2＝csaa－π2，g'（a）＝（π2－a）·sina－csa（a－π2）2.记h（a）＝（π2－a）sin a－cs a，则h'（a）＝（π2－a）cs a.∵a∈（π2，π]，∴h'（a）＞0，∴h（a）在（π2，π]上单调递增，∴h（a）＞（π2－π2）sinπ2－csπ2＝0，∴g'（a）＞0，从而g（a）在（π2，π]上单调递增，∴g（a）max＝g（π）＝－2π.∵f（x）＝cs x，∴f'（x）＝
－sin x，∴当a→π2时，g（a）→f'（π2）＝－sinπ2＝－1，∴a∈（－1，－2π].故选B.
13.[多选/2024惠州市一调]若过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）ex的图象相切，则实数λ的值可以是（ BC ）
A.－4eB.－2eC.－1eD.e
解析 设切点坐标为（x0，（x0－1）ex0），因为f'（x）＝xex，所以f'（x0）＝x0ex0，切线方程为y－（x0－1）ex0＝x0ex0（x－x0），
又切线过P（1，λ），所以λ－（x0－1）ex0＝x0ex0（1－x0），整理得λ＝－ex0（x02－2x0＋1）.令g（x）＝－ex（x2－2x＋1），则g'（x）＝－ex（x2－1），由g'（x）＝0得x＝±1，当x＜－1或x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当－1＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增.故当x＝－1时，g（x）取得极小值g（－1）＝－4e；当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝0.由g（x）＝－ex（x－1）2可知，当x≠1时，g（x）＜0，所以函数g（x）的大致图象如图，由图可知，当－4e＜λ＜0时，直线y＝λ与函数g（x）的图象有3个交点，此时过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）ex的图象相切，由此可知，B，C符合题意.故选BC.
14.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 2 .
解析 设曲线在点P（x0，y0）（x0＞0）处的切线与直线x－y－2＝0平行，则切线的斜率k＝2x0－1x0＝1，∴x0＝1，y0＝1，则P（1，1），则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝｜1－1－2｜12＋（－1）2＝2.
15.[2021全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标.
解析 记曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为P（x0，x03－x02＋ax0＋1）.
因为f'（x0）＝3x02－2x0＋a，所以切线l的方程为y－（x03－x02＋ax0＋1）＝（3x02－2x0＋a）（x－x0）.
由l过坐标原点，得2x03－x02－1＝0，即（2x03－2x02）＋（x02－1）＝（x0－1）（2x02＋x0＋1）＝0，
解得x0＝1，
所以切线l的方程为y＝（1＋a）x.
令x3－x2＋ax＋1＝（1＋a）x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，
所以曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，1＋a）和（－1，－1－a）.
16.[2022全国卷甲]已知函数f（x）＝x3－x，g（x）＝x2＋a，曲线y＝f（x）在点（x1，
f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线.
（1）若x1＝－1，求a；
（2）求a的取值范围.
解析 （1）当x1＝－1时，f（－1）＝0，所以切点坐标为（－1，0）.
由f（x）＝x3－x，得f'（x）＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f'（－1）＝2，
所以切线方程为y＝2（x＋1），即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g（x）相切，得Δ＝（－2）2－4（a－2）＝0，
解得a＝3.
（2）由f（x）＝x3－x，得f'（x）＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f'（x1）＝3x12－1，
所以切线方程为y－（x13－x1）＝（3x12－1）（x－x1），即y＝（3x12－1）x－2x13.
将y＝（3x12－1）x－2x13代入y＝x2＋a，得x2－（3x12－1）x＋a＋2x13＝0.
由切线与曲线y＝g（x）相切，得Δ＝（3x12－1）2－4（a＋2x13）＝0，
整理得4a＝9x14－8x13－6x12＋1.
令h（x）＝9x4－8x3－6x2＋1，则h'（x）＝36x3－24x2－12x＝12x（3x＋1）（x－1），
由h'（x）＝0，得x＝－13，0，1，
h（x），h'（x）随x的变化情况如下表所示：
由上表知，当x＝－13时，h（x）取得极小值h（－13）＝2027，
当x＝1时，h（x）取得极小值h（1）＝－4，
易知当x→－∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，所以函数h（x）的值域为[－4，＋∞），
所以由4a∈[－4，＋∞），得a∈[－1，＋∞），
故实数a的取值范围为[－1，＋∞）.
17.[2024江苏联考]已知直线l与曲线y＝ex－1和y＝ln（x＋1）都相切，请写出两个符合条件的直线l的方程： y＝x ， y＝1ex＋1e .
解析 设直线l与曲线y＝ex－1和y＝ln（x＋1）分别切于点（x1，ex1－1），（x2，ln（x2＋1）），x2＞－1，
由（ex－1）'＝ex－1，[ln（x＋1）]'＝1x+1可得切线方程分别为y＝ex1－1（x－x1）＋ex1－1，
y＝1x2+1（x－x2）＋ln（x2＋1），即y＝ex1－1x－x1ex1－1＋ex1－1，y＝1x2+1x－x2x2+1＋ln（x2＋1）.
因此ex1－1＝1x2+1，则x1－1＝－ln（x2＋1），
又－x1ex1－1＋ex1－1＝－x2x2+1＋ln（x2＋1），
所以－x1ex1－1＋ex1－1＝[ln（x2＋1）－1]·1x2+1＋1x2+1＝－x2x2+1＋ln（x2＋1）.（根据曲线y＝
ex－1和y＝ln（x＋1）的公切线斜率相等，可得x1－1＝－ln（x2＋1），根据两个切线方程的对应系数相等列方程，化简整理求解）
化简得[1－ln（x2＋1）]·x2x2+1＝0，解得x2＝0或x2＝e－1.
当x2＝0时，x1＝1，切线方程为y＝x；当x2＝e－1时，x1＝0，切线方程为y＝1ex＋1e.x
（－∞，－13）
－13
（－13，0）
0
（0，1）
1
（1，
＋∞）
h'（x）
－
0
＋
0
－
0
＋
h（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
相关试卷
备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值，共6页。试卷主要包含了函数f，故选C，已知函数f，若函数f，[多选]函数y＝f，若直线y＝ax＋b为函数f等内容，欢迎下载使用。
备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第2讲导数与函数的单调性： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第三章一元函数的导数及其应用第2讲导数与函数的单调性，共7页。试卷主要包含了函数f，若函数f，因为g，故等内容，欢迎下载使用。
备考2024届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义导数的运算： 这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义导数的运算，共3页。试卷主要包含了[命题点1]已知f，则，[命题点2角度2]若点P 等内容，欢迎下载使用。
