备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系，共5页。试卷主要包含了故选A，已知直线l1，[2024河北衡水模拟]已知点，m是实数，直线l1，因为l2等内容，欢迎下载使用。
1.[2024山东鄄城第一中学校考]若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（ A ）
A.（－52，12）B.（－25，12）
C.[－52，－12]D.[－25，12]
解析 将两直线方程联立得y＝x+2k+1，y＝－12x+2，得x＝2－4k3，y＝2k+53，即交点坐标为（2－4k3，2k+53）.因为交点在第一象限，所以2－4k3>0，2k+53>0，解得－52＜k＜12.故选A.
2.[2024天津耀华中学校考]已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（ A ）
A.1或2B.3或4C.3D.4
解析 由题意得｜－2a+4+1｜a2+1＝｜－4a+6+1｜a2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，则2a－5＝±(4a-7)，解得a＝1或a＝2.故选A.
3.已知直线l1：xsinα＋y－1＝0，直线l2：x－3ycs α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α＝（ A ）
A.35B.－35C.23D.－23
解析 因为l1⊥l2，所以sin α－3cs α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcs α＝2sinαcsαsin2α＋cs2α＝2tanα1+tan2α＝35.故选A.
4.[2024河北衡水模拟]已知点（a，b）在线段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，则a2+b2-2的取值范围是（ B ）
A.[2，18]B.[2，38]
C.[0，38]D.[0，210－2]
解析 画出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的图象如图.（a，b）是图中线段上任意一点，a2＋b2表示原点到点（a，b）的距离的平方，易知图中线段的端点分别为（－2，4），（6，－2），到原点距离的平方分别为20，40，由原点到线段的距离d＝|-10|32＋42＝2，可得d2＝4，综上，
a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故选B.
5.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，则P点的坐标是（ C ）
A.（1，－1）B.（－1，1）
C.（135，－135）D.（－2，2）
解析 点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A'B的方程为y+3－2+3＝x－15－1，即y＝14x－134，与x＋y＝0联立，解得x＝135，y＝－135.
即点P坐标为（135，－135）时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值.
6.m是实数，直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，O为坐标原点，则｜OQ｜的最大值是（ B ）
A.2B.22C.23D.4
解析 解法一 由x－my－2=0，mx＋y+2=0，得x＝2－2mm2+1，y＝－2m+2m2+1，
即点Q（2－2mm2+1，－2m+2m2+1）.
因为m是实数，O为坐标原点，所以｜OQ｜＝2-2mm2+12+-2m+2m2+12=8(m2+1)m2+12=22m2+1，则当m＝0时，｜OQ｜max＝22，所以｜OQ｜的最大值是22.
解法二 易知直线l1恒过定点A（2，0），直线l2恒过定点B（0，－2），且l1⊥l2.连接AB，数形结合（如图所示）可知，点O，Q均在以AB为直径的圆上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.
7.[多选/2023青岛检测]已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），则（ ACD ）
A.直线l2过定点（－3，－1）
B.当m＝1时，l1⊥l2
C.当m＝2时，l1∥l2
D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
解析 对于A，解法一 直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2x－y+5=0，x－y+2=0，解得x＝－3，y＝－1，即直线l2过定点（－3，－1），故A正确.
解法二 在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点（－3，－1），故A正确.
对于B，若l1⊥l2，则有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正确.
对于C，若l1∥l2，则有4·[－（m＋1）]－（－3）·（m＋2）＝0，解得m＝2，当m＝2时，l1与l2不重合，故C正确.
对于D，当l1∥l2时，由对选项C的分析可得此时直线l2的方程为4x－3y＋9＝0，则l1，l2之间的距离为｜4－9｜42＋（－3）2＝1，故D正确.故选ACD.
8.[2024安徽合肥联考]过直线2x－y＋4＝0与3x－2y＋9＝0的交点，且垂直于直线x-2y+1＝0的直线方程是 2x＋y－8＝0 .
解析 由3x－2y+9=0，2x－y+4=0，解得x=1，y=6，即交点坐标为（1，6）.因为所求直线与直线x－2y＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－112＝－2，所以所求的直线方程是y－6＝－2（x－1），即2x＋y－8＝0.
9.已知△ABC的一个顶点A（4，－1），两条角平分线所在直线的方程分别为l1:x－y－1=0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为 2x－y＋3＝0 .
解析 由题知，A（4，－1）不在这两条角平分线上，因此l1，l2是角B，角C的角平分线所在直线.设点A关于直线l1的对称点为A1（x1，y1），关于直线l2的对称点为A2（x2，y2），则A1，A2均在边BC所在的直线上.由y1+1x1－4×1=－1，x1+42－y1－12－1=0，得x1=0，y1=3，所以A1(0,3).因为l2：x＝1，所以易得y2＝－1，由x2+42＝1，得x2＝－2，所以A2（－2，－1）.所以BC边所在直线的方程为y－3－1－3＝x－0－2－0，即2x－y＋3＝0.
10.过点A（0，73），B（7，0）的直线l1与过点（2，1），（3，k＋1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k＝（ B ）
A.－3B.3C.－6D.6
解析 若l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l1⊥l2.（圆内接四边形的对角互补）
易知直线l1的斜率k1=73-7=-13，直线l2的斜率k2＝k+1－13－2＝k，由k1k2＝－1，得k＝3.
11.在平面直角坐标系中，记d为点P（cs θ，sin θ）到直线x－my－2＝0的距离.当θ，m变化时，d的最大值为（ C ）
A.1B.2C.3D.4
解析 解法一 由题意可得d＝｜csθ－msinθ－2｜m2+1＝｜msinθ－csθ+2｜m2+1＝｜m2+1（mm2+1sinθ－1m2+1csθ）+2｜m2+1＝｜m2+1sin（θ－φ）+2｜m2+1（其中cs φ＝mm2+1，sin φ＝1m2+1），∵－1≤sin（θ－φ）≤1，∴｜2－m2+1｜m2+1≤d≤m2+1+2m2+1＝1＋2m2+1，∴当m＝0时，d取得最大值3，故选C.
解法二 易知点P（cs θ，sin θ）在单位圆x2＋y2＝1上，直线x－my－2＝0恒过定点A（2，0）.如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是单位圆的半径），所以dmax＝3，此时A，B重合，直线方程为x＝2.
12.[多选/2024山西吕梁统考]已知点A（－2，1），B（1，1），且点P在直线l:x+y+3=0上，则（ ACD ）
A.存在点P，使得｜PA｜＝2
B.存在点P，使得PA⊥PB
C.存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜
D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值为29
解析 设P（a，－a－3）.对于A，若｜PA｜＝2，则(a+2)2＋(－a－3－1)2＝2，即a2+6a+8=0，解得a＝－2或a＝－4，故存在点P，使得｜PA｜＝2，A正确.
对于B，当a＝－2时，直线PA的斜率不存在，又kPB＝23≠0，此时PA与PB不垂直；当a=1时，直线PB的斜率不存在，又kPA＝－53≠0，此时PA与PB不垂直；当a≠－2且a≠1时，kPA＝－a－4a+2，kPB＝－a－4a－1，若PA⊥PB，则kPAkPB＝－a－4a+2·－a－4a－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0，Δ＝92－4×2×14＝－31＜0，方程无解，故不存在点P，使得PA⊥PB，B错误.
对于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，则2（a+2）2＋（－a－3－1）2＝（a－1）2＋（－a－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝142－4×2×21＝28＞0，方程有解，故存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜，C正确.
对于D，设A（－2，1）关于直线l的对称点为A'（a，b），则b－1a+2=1，－2+a2＋1+b2+3=0，解得a＝－4，b＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜＝（－4－1）2＋（－1－1）2＝29，当且仅当A'，P，B三点共线时取等号，故D正确.
故选ACD.
13.已知点A（5，0），B（0，4），动点P，Q分别在直线y＝x＋2和y＝x上，且PQ与两直线垂直，则｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB｜的最小值为 5＋2 .
解析 设Q（x0，x0），因为直线PQ与两直线垂直，所以｜PQ｜＝2，则P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(x0－5)2＋x02＋(x0-1)2＋(x0－3)2，此式可理解为点Q(x0，x0)到A（5，0）及C（1，3）的距离之和，其最小值为｜AC｜＝5.故AQ+QP+|PB|的最小值为5＋2.
14.[新定义题]定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝ax0＋by0＋ca2＋b2.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是真命题的是（ D ）
A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行
C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交
解析 设P1（x1，y1），P2（x2，y2），若d1＝d2＝0，满足d1－d2＝0，d1＋d2＝0，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，直线P1P2与直线l重合，A，B，C错误；对于D，若d1d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，D正确