备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第6讲双曲线

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第6讲双曲线，共7页。
1.[2024遂宁月考]已知双曲线x2m－y2m+6＝1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ D ）
A.x22－y24＝1B.x24－y28＝1
C.x2－y28＝1D.x22－y28＝1
解析 由题意，得2m＝m+6，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为x22－y28＝1.故选D.
2.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（ D ）
A.双曲线的一支
B.椭圆或圆
C.双曲线的一支或椭圆或圆
D.双曲线的一支或椭圆
解析 两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D.
3.[2024深圳外国语学校月考]已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若A是BF2的中点，且BF1⊥BF2，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
A.y＝±23xB.y＝±22x
C.y＝±3xD.y＝±2x
解析 连接AF1，设｜AB｜＝｜AF2｜＝m，则｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝m＋2a，BF1=BF2-2a=2m-2a，｜BF1｜2＋｜BA｜2＝｜AF1｜2，|BF1|2＋|BF2|2=|F1F2|2，即（2m－2a）2＋m2＝（m＋2a）2 ①，（2m－2a）2＋4m2＝4c2 ②，由①可得m＝3a，代入②式化简得13a2＝c2，∴12a2＝b2，∴ba＝23，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±23x.故选A.
4.[2024山西名校联考]双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A为C左支上一动点，直线AF2与C的右支交于点B，且｜AB｜＝3a，△ABF1与△BF1F2的周长相等，则｜F1F2｜＝（ B ）
A.233B.433C.23D.43
解析 点A在双曲线C的左支上，由双曲线的定义可知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a.因为△ABF1与△BF1F2的周长相等，所以AB+AF1+BF1=BF1+BF2+F1F2=BF1+AF2=AB+F1F2，则有｜F1F2｜＝2｜AB｜＋｜AF1｜－｜AF2｜＝4a.设双曲线C的半焦距为c，则2c＝4a＝2a2+1，所以a＝33，所以｜F1F2｜＝433.故选B.
5.[2023济南摸底考试]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若｜AB｜的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为（ C ）
A.8 B.12C.16 D.24
解析 因为双曲线的离心率为2，所以e2＝1＋b2a2＝2，得a＝b.当弦AB与实轴垂直时，｜AB｜的值最小，所以2b2a＝4，所以a＝b＝2.由双曲线的定义得｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋4a＝｜AB｜＋4a，所以△ABF2的周长为2｜AB｜＋4a，因为a＝2，｜AB｜的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16，故选C.
6.[2024惠州市一调]设O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为3，过F2作一条渐近线的垂线，垂足为P，则｜PF1｜｜OP｜＝（ D ）
A.62B.2C.3D.6
解析 由题意，不妨设a＝1，则c＝3，b＝2，所以｜PF2｜＝b＝2，｜OP｜＝a＝1，cs∠POF2＝33，所以cs∠POF1＝－cs∠POF2＝－33.由余弦定理可得，｜PF1｜2=｜OF1｜2＋｜OP｜2－2｜OF1｜·｜OP｜·cs∠POF1＝3＋1－2×3×1×（－33）＝6，所以｜PF1｜＝6，所以｜PF1｜｜OP｜＝6.故选D.
7.[全国卷Ⅰ]设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为（ B ）
A.72B.3C.52D.2
解析 解法一 设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1（－2，0），F2（2，0），又｜OP｜＝2，所以｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以△PF1F2是直角三角形，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有｜PF1｜－｜PF2｜＝2，两边平方，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝12×6＝3，（还可以直接利用S△PF1F2＝b2tan∠F1PF22进行求解）
故选B.
解法二 设点P的坐标为（xP，yP），因为｜OP｜＝2，所以xP2＋yP2＝4，把xP2＝4－yP2代入双曲线方程得｜yP｜＝32，所以S△PF1F2＝12｜F1F2｜·｜yP｜，由题意可知｜F1F2｜＝4，所以S△PF1F2＝12×4×32＝3.故选B.
8.[2024武汉部分学校调考]过双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若FA＝3FT，则双曲线E的离心率为（ C ）
A.3B.5C.132D.152
解析 如图，连接OT，由题意可知，OT⊥AF，｜OT｜＝a，又｜OF｜＝c，所以｜FT｜＝b，所以cs∠OFT＝bc.因为FA＝3FT，所以｜FA｜＝3b.设F'为双曲线E的右焦点，连接AF'，由双曲线的定义得｜AF'｜＝3b－2a.在△AFF'中，由余弦定理得（3b－2a）2＝（3b）2＋（2c）2－2×3b×2c×bc，所以a2－3ab－c2＋3b2＝0，又c2＝a2＋b2，所以2b＝3a，所以ba＝32，所以e2＝1＋b2a2＝1＋94＝134，所以e＝132，故选C.
9.[多选/2024江西九校联考]已知双曲线C过点（3，2）且渐近线方程为y＝±33x，则下列结论正确的是（ AC ）
A.C的方程为x23－y2＝1
B.C的离心率为3
C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D.直线x－3y－1＝0与C有两个公共点
解析 对于A，由双曲线的渐近线方程为y＝±33x，可设双曲线方程为x23－y2＝λ，把点（3，2）代入，得93－2＝λ，即λ＝1，所以双曲线C的方程为x23－y2＝1，故A正确；
对于B，由a2＝3，b2＝1，得c＝a2＋b2＝2，所以双曲线C的离心率为23＝233，故B错误；
对于C，曲线y＝ex－2－1过定点（2，0），（2，0）为双曲线C的右焦点，故C正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，直线x－3y－1＝0与双曲线的一条渐近线平行，如图，故直线x－3y－1＝0与C有一个公共点，故D错误.故选AC.
10.[2024福州市一检]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，两条渐近线分别为l1，l2.点A在l1上，点B在l2上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称.若｜AF｜＝2b，则C的离心率为 2 .
解析 依题意，l1的方程为y＝bax.因为原点O与B关于直线AF对称，所以AF⊥l2，如图，设AF与l2的垂足为P，则｜FP｜＝b.因为｜AF｜＝2b＝2｜FP｜，所以点F，A关于直线l2对称，∠FOP＝∠AOP，又l1，l2关于y轴对称，所以∠FOP＝∠AOx，所以l1的倾斜角为13×180°＝60°，故ba＝tan 60°＝3，所以离心率e＝1+b2a2＝2.
11.已知双曲线x216－y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（32，2），求双曲线C的方程.
解析 （1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得mn＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，且c＝25，
∴h＝255，
即M点到x轴的距离为255.
（2）设双曲线C的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（32，2），
∴1816－λ－44+λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴双曲线C的方程为x212－y28＝1.
12.[2024兰州检测]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D.若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为（ A ）
A.2B.2C.3D.3
解析 设A（x1，y1），P（x2，y2），AP的中点为M，连接OM，则M（x1＋x22，y1＋y22）.由x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式作差得（x1－x2)(x1＋x2）a2＝（y1－y2)(y1＋y2）b2，整理得x1＋x2y1＋y2＝a2b2·y1－y2x1－x2，所以1kOM＝a2b2·kPA，即kOM·kPA＝b2a2＝e2－1.因为∠ADO＝∠AOD，所以kPA＋kAB＝0，又BA·BP＝0，所以BA⊥BP，所以kAB·kBP＝－kPA·kBP＝－1.因为O，M分别为AB，AP的中点，所以OM∥BP，所以kOM＝kBP，所以kOM·kPA＝1，即e2－1＝1，得e＝2，故选A.
13.[多选]在直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ：x2a－y2a2-a+4＝1（a＞0）的焦点到渐近线的距离不大于a+3，点A，B分别在Γ的左、右两支上，则（ ACD ）
A.Γ的离心率为定值
B.4x＋y＝0是Γ的一条渐近线
C.Γ的两条渐近线的夹角的正切值为43
D.｜AB｜的最小值为2
解析 选项A，不妨设F为Γ的右焦点，则F（a2+4，0），Γ的一条渐近线的方程为a2－a+4x－ay＝0，由题意得a2－a+4×a2+4a2+4≤a+3，整理得a2－2a＋1≤0，即（a－1）2≤0，所以a＝1，（另解：由双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b得a2－a+4≤a+3，得（a－1）2≤0，所以a＝1）
所以Γ：x2－y24＝1，所以Γ的离心率e＝1+41＝5，为定值，故A正确；选项B，由Γ：x2－y24＝1，得Γ的渐近线方程为2x±y＝0，故B错误；选项C，设Γ的渐近线2x－y＝0的倾斜角为α，则tan α＝2，所以tan 2α＝2tanα1－tan2α＝2×21－22＝－43，所以tan（π－2α）＝－tan 2α＝43，所以Γ的两条渐近线的夹角的正切值为43，（提示：两直线的夹角的取值范围为[0，π2]）故C正确；
选项D，易知｜AB｜≥2a＝2，（点拨：双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长为2b2a，双曲线异支的弦中最短的为实轴，其长为2a）
故D正确.故选ACD.
14.[多选/2024南昌市模拟]已知双曲线C：x2－y2＝2，O是坐标原点，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则下列说法正确的是（ AB ）
A.双曲线的离心率为2
B.存在点M，使得四边形OAMB为正方形
C.直线AB，OM的斜率之积为2
D.存在点M，使得｜MA｜＋｜MB｜＝3
解析 对于A，双曲线的标准方程为x22－y22＝1（等轴双曲线），∴a＝b＝2，∴c＝a2＋b2＝2，∴e＝ca＝2，∴A正确.
对于B，渐近线方程为y＝±x，如图，不妨设点A在渐近线y＝x上，点B在渐近线y＝－x上，由OA⊥OB，MA⊥OA，MB⊥OB，知四边形OAMB为矩形.取M（2，0）（右顶点），则由点到直线的距离公式得｜AM｜＝｜2－0｜2＝1，同理可得MB=1,∴MA=MB,∴点M为右顶点时，四边形OAMB为正方形，∴B正确.
对于C，当M为（2，0）时，kOM＝0，直线AB的斜率不存在；当点M的横坐标不是2时，设M（x0，y0）（x0＞2），直线MA的方程为y－y0＝－（x－x0），与y＝x联立，可解得x＝x0＋y02，y＝x0＋y02，∴A（x0＋y02，x0＋y02），同理可得B（x0－y02，y0－x02），∴kAB·kOM＝x0＋y02－y0－x02x0＋y02－x0－y02·y0x0＝x0y0·y0x0＝1≠2，∴C错误.
对于D，设M（x0，y0）（x0≥2），由点到直线的距离公式知｜MA｜＋｜MB｜＝｜x0－y0｜＋｜x0＋y0｜2≥｜x0－y0＋x0＋y0｜2＝2x0≥2，∴不存在点M，使得｜MA｜＋｜MB｜＝3，故D错误.
综上，选AB.
15.[2022新高考卷Ⅰ]已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积.
解析 （1）将点A的坐标代入双曲线方程得4a2－1a2－1＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为x22－y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，
故x1＋x2＝－4kb2k2－1，x1x2＝2b2+22k2－1.
kAP＋kAQ＝y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝kx1＋b－1x1－2＋kx2＋b－1x2－2＝0，化简得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0，
故2k（2b2+2）2k2－1＋（b－1－2k）（－4kb2k2－1）－4（b－1）＝0，
整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，
又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.
（2）不妨设直线PA的倾斜角为θ（0＜θ＜π2），由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝2tanθtan2θ－1＝22，
解得tan θ＝2或tan θ＝－22（舍去），
由y1－1x1－2＝2，x122－y12=1，得x1＝10－423，
所以｜AP｜＝3｜x1－2｜＝43（2－1）3，
同理得x2＝10+423，所以｜AQ｜＝3｜x2－2｜＝43（2+1）3.
因为tan∠PAQ＝22，所以sin∠PAQ＝223，
故S△PAQ＝12｜AP｜｜AQ｜sin∠PAQ＝12×43（2－1）3×43（2+1）3×223＝1629.
16.[背景创新/2024珠海市实验中学开学考试]如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（ B ）
A.53B.54C.43D.45
解析 点F（0，c）到渐近线y＝abx的距离d＝｜－bc｜a2＋b2＝b＝12，又由题知a＋c=36，a2＋122＝c2，解得a=16，c＝20，所以e＝ca＝2016＝54.故选B.