备考2024届高考数学一轮复习分层练习第十章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合

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1.[新高考卷Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ C ）
A.120种B.90种C.60种D.30种
解析 第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有C61种安排方法；第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有C52种安排方法；第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有C61C52＝60（种），故选C.
2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有（ D ）
A.56种B.64种C.72种D.96种
解析 解法一（优先特殊元素） 根据题意可知，按A是否入选进行分类.
若A入选，则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A，有C31＝3（种）安排方法，再给剩下3个岗位安排人，有A43＝24（种）安排方法，共有3×24＝72（种）安排方法.
若A不入选，则4个人4个岗位，有A44＝24（种）安排方法.
综上，共有72＋24＝96（种）安排方法.故选D.
解法二（优先特殊位置） 先安排去甲岗位的，A不能去，其他4人中选1人，因而有C41种安排方法，再选3人安排其他岗位，有A43种安排方法，从而共有C41A43＝96（种）安排方法.故选D.
3.[2024北京市第十二中学模拟]4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ D ）
A.10B.20C.24D.30
解析 解法一 不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A66种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有A66A44＝30（种）排法，故选D.
解法二 插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没变，因而有C64种排法，再排新插入的2位同学有A22种排法，从而共有C64A22＝30（种）排法，故选D.
解法三 6个位置可以先排后加入的2位同学，有A62＝30（种）排法，剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D.
4.[2024湖南衡阳模拟]2023年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A，B，C，D，E，五辆车随机排成一列，则A车与B车相邻，且A车与C车不相邻的排法有（ A ）
A.36种B.42种C.48种D.60种
解析 将A车与B车捆在一起当成一个元素使用，有A22种不同的捆法，将其与除C车外的2个元素全排列，有A33种排法，将C车插入，不与A车相邻，有A31种插法，故共有A22×A33×A31＝36（种）排法.故选A.
5.5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有（ D ）
A.120种B.60种C.30种D.24种
解析 先将5个小朋友编为1～5号，然后让他们按1～5的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.分别以1，2，3，4，5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的站法一共有A555＝A44＝24（种），故选D.
6.[多选]下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ABD ）
A.（n＋1）Anm＝An+1m+1B.mCnm＝nCn－1m－1
C.Cnm＝Anmn！D.1n－mAnm+1＝Anm
解析 对于A，（n＋1）Anm＝（n＋1）n（n－1）…（n－m＋1）＝An+1m+1，故A正确；对于B，Cn－1m－1＝（n－1)!（m－1)!(n－m)!，Cnm＝n！m!(n－m)!＝n·（n－1)!m·（m－1)!(n－m)!＝nm·（n－1)!（m－1)!(n－m)!＝nm·Cn－1m－1，所以mCnm＝nCn－1m－1，故B正确；对于C，Cnm＝AnmAmm＝Anmm！，故C错误；对于D，1n－mAnm+1＝1n－m·n（n－1）·…·（n－m）＝n（n－1）…（n－m＋1）＝Anm，故D正确.故选ABD.
7.[多选/2024湖南湘潭联考]从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少有1名女生的选法种数为（ AC ）
A.C183－C103B.C81C172
C.C81C102＋C82C101＋C83D.C102C81＋C101C82
解析 对于A，从18名学生中选取3人，有C183种不同的选法，从18名学生中选取3人，选的都是男生有C103种不同的选法，所以至少有1名女生的选法有C183－C103＝696（种），A正确；
对于B，C81C172＝1 088≠696，故B错误；
对于C，至少有1名女生的选法有三种情况：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有1名女生的选法有C81C102＋C82C101＋C83＝360＋280＋56＝696（种），C正确；
对于D，C102C81＋C101C82＝360＋280＝640≠696，故D错误.
8.[2024上海市华东师范大学第二附属中学质检]7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 15 种不同的分配方法（用数字作答）.
解析 7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，其实就是在7个志愿者的名额产生的6个空位中插入2个“档板”，共有C62＝15（种）不同的分配方法.
9.高考期间，为保证考生能够顺利进入某考点，交管部门将6名交警分配到该考点周边3个不同路口疏导交通，每个路口2人，则不同的分配方法共有 90 种.
解析 根据题意，分两步进行分析.第一步，将6名交警分成“2，2，2”的三组，有C62C42C22A33＝15（种）分组方法；第二步，将分好的三组全排列，对应3个路口，有A33＝6（种）情况，则共有15×6＝90（种）分配方法.
10.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 （用数字作答）.
解析 解法一（特殊元素优先法） 丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C53＝10（种）；第二步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上，不同的排法有A22＝2（种）.由分步乘法计数原理，可知不同排法共有10×2＝20（种）.
解法二（插空法） 分成两步来完成：第一步，将相对顺序固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法；第二步，将余下的2项工程逐个插入，排法共有C41C51＝20（种）.根据分步乘法计数原理，安排这6项工程的不同排法共有1×20＝20（种）.
解法三 丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，其余4项工程各视为1个元素.对5个元素全排列，共有A55种排法.其中，甲、乙、丙丁这3个特殊元素的位置共有A33种不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法仅有1种，所以安排这6项工程的不同排法共有A55A33＝20（种）.
11.[2024河南省实验中学模拟]某院派出医护人员共5人，分别派往A，B，C三个区，每区至少一人，甲、乙主动申请前往A区或B区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ C ）
A.12种B.18种C.24种D.30种
解析 用捆绑法将甲、乙两人看成一个整体，若甲、乙和另一人共3人分为一组，则有2C31A22＝12（种）安排方法；若甲、乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组2人，则有C31C22A22A22＝12（种）安排方法.
综上，共有12＋12＝24（种）安排方法.故选C.
12.[2024浙江省名校联考]某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，且头尾2盏路灯不能关闭，关掉的相邻2盏路灯之间至少有2盏亮的路灯，则不同的方案种数是（ B ）
A.324B.364C.560D.680
解析 将20盏路灯分成2盏，15盏，3盏共3组，先将15盏亮的路灯排成一列，把3盏关掉的路灯插空，因为头尾2盏路灯不能关闭，所以是在除头尾之外的14个空位中插入3盏关掉的路灯，共C143＝364（种）方法，在每2盏关掉的路灯之间再各放入1盏亮的路灯，且路灯无差异，保证关掉的相邻2盏路灯之间至少有2盏亮的路灯，只有1种方法.
综上，共有364×1＝364（种）方案.故选B.
13.[2024福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校联考]2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将6张不同的纪念邮票全部分配给来自A省的2名代表和B省的2名代表，每名代表至少1张，则有 1 560 种分配方法（用数字作答）.
解析 可分两类：第一类，按1，1，2，2分组，然后全排列，则有C61C51C42C22A22A22×A44＝1 080（种）分配方法；第二类，按3，1，1，1分组，然后全排列，则有C63C31C21C11A33×A44＝480（种）分配方法.根据分类加法计数原理，共有1 080＋480＝1 560（种）分配方法.
14.[角度创新]某艺术团的演员，每人至少会演歌唱节目或舞蹈节目中的一种，其中会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，同时能歌能舞的有2人，现从中选派4人参加演出，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同的选派方法共有 105 种.
解析 根据题意，该艺术团一共有9人，不会演舞蹈节目的有4人，从9人中任选4人，有C94＝126（种）选法，选派的4人中，至少有2人能演舞蹈节目的对立事件为：4人都不会演舞蹈节目和只有1人会演舞蹈节目.4人都不会演舞蹈节目有C44＝1（种）情况，只有1人会演舞蹈节目有C43C51＝20（种）情况，则至少有2人能演舞蹈节目的选派方法有126－1－20＝105（种）.
15.[解题方法创新]有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”“八女投江”“八勇士智取华山”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”.如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1 223就是一个“英雄数”，1＋2＋2＋3＝8），则所有的“英雄数”有 120 个.
解析 根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组的数量不能为0，根据0的个数分情况讨论，结合隔板法即可求解.由题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间共有7个空位（不包括头尾），若“英雄数”中四个位置数字都不为0，则在这7个空位中随机安排3个隔板，可以将小球分为4组，（3个隔板将小球分成4组后，各组小球的个数分别是四位数的千位、百位、十位、个位上的数字）
共有C73＝35（组），因而可组成满足条件的四位数35个；若“英雄数”中4个数字只有1个0，则需要在这7个空位中随机安排2个隔板，可以将小球分成个数不为0的3组，共有C72组，根据0可以作为百位、十位、个位上的数字，此时共有3×C72＝63（个）“英雄数”；同理，若“英雄数”中4个数字有2个0，则需要在这7个空位中随机安排1个隔板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百位、十位、个位其中两位上的数字，此时共有C71×C32＝21（个）“英雄数”；若“英雄数”中4个数字有3个0，则只能是8 000，只有一种情况.综上，共有35＋63＋21＋1＝120（个）“英雄数”.