终身会员
搜索
    上传资料 赚现金

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点1对称构造法求解极值点偏移问题

    立即下载
    加入资料篮
    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点1对称构造法求解极值点偏移问题第1页
    还剩1页未读, 继续阅读
    下载需要5学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点1对称构造法求解极值点偏移问题

    展开

    这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点1对称构造法求解极值点偏移问题,共2页。
    例1 [2022全国卷甲]已知函数f(x)=exx-ln x+x-a.
    (1)若f(x)≥0,求a的取值范围;
    (2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.
    解析 (1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞).
    由f'(x)=ex(x-1)x2-1x+1=ex(x-1)-x+x2x2=(ex+x)(x-1)x2,
    可得函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
    所以f(x)min=f(1)=e+1-a.
    又f(x)≥0,所以e+1-a≥0,解得a≤e+1,
    所以a的取值范围为(-∞,e+1].
    (2)解法一 不妨设x1<x2,则由(1)知0<x1<1<x2,1x1>1.
    令F(x)=f(x)-f(1x),则F'(x)=(ex+x)(x-1)x2+(e1x+1x)(1x-1)1x2·1x2=(x-1)x2(ex+x-xe1x-1).
    令g(x)=ex+x-xe1x-1,
    则g'(x)=ex+1-e1x+xe1x·1x2=ex+1+e1x(1x-1),
    所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,
    所以当x∈(0,1)时,g(x)<g(1)=0,
    所以当x∈(0,1)时,F'(x)>0,
    所以F(x)在(0,1)上单调递增,所以F(x)<F(1),
    即在(0,1)上f(x)-f(1x)<F(1)=0.
    又f(x1)=f(x2)=0,
    所以f(x2)-f(1x1)<0,即f(x2)<f(1x1).
    由(1)可知,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
    所以x2<1x1,即x1x2<1.
    解法二 不妨设x1<x2,则由(1)知0<x1<1<x2,0<1x2<1.
    由f(x1)=f(x2)=0,得ex1x1-ln x1+x1=ex2x2-ln x2+x2,
    即ex1-lnx1+x1-ln x1=ex2-lnx2+x2-ln x2.
    因为函数y=ex+x在R上单调递增,所以x1-ln x1=x2-ln x2成立.
    构造函数h(x)=x-ln x,g(x)=h(x)-h(1x)=x-1x-2ln x,
    则g'(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2≥0,
    所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
    所以当x>1时,g(x)>g(1)=0,即当x>1时,h(x)>h(1x),
    所以h(x1)=h(x2)>h(1x2),
    又h'(x)=1-1x=x-1x,
    所以h(x)在(0,1)上单调递减,
    所以0<x1<1x2<1,即x1x2<1.
    方法技巧
    对称构造法求解极值点偏移问题的步骤
    (1)求导,获得f(x)的单调性、极值点x0,作出f(x)的图象,由f(x1)=f(x2)得x1,x2的取值范围(数形结合);
    (2)构造对称函数,若证x1+x2>(<)2x0,则令F(x)=f(x)-f(2x0-x),若证x1x2>(<)x02,则令F(x)=f(x)-f(x02x),求导,讨论F(x)的单调性;
    (3)判断F(x)的符号,从而确定f(x),f(2x0-x)的大小关系或f(x),f(x02x)的大小关系;
    (4)代入x1(或x2),利用f(x1)=f(x2)及f(x)的单调性去符号“f”得最终结论.
    训练1 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点,a>0,设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
    解析 因为f'(x)=(x-1)(ex+2a),且a>0,所以当x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)的极小值点为x=1.
    f(x1)=f(x2)=0,不妨设x1<1<x2,要证x1+x2<2,即证x2<2-x1.
    构造函数F(x)=f(2-x)-f(x),x<1,代入整理得F(x)=-xe-x+2-(x-2)ex.
    求导得F'(x)=(1-x)(ex-e-x+2).
    当x<1时,F'(x)<0,则F(x)在(-∞,1)上单调递减,于是F(x)>f(2-1)-f(1)=0,
    则f(2-x)-f(x)>0,即f(2-x)>f(x)(x<1).
    将x1代入,则f(x1)<f(2-x1),
    又f(x1)=f(x2),所以f(x2)<f(2-x1).
    又函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,且x2,2-x1∈(1,+∞),所以x2<2-x1,即x1+x2<2得证.

    相关试卷

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题:

    这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题,共5页。

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点2比差值换元法求极值点偏移问题:

    这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点2比差值换元法求极值点偏移问题,共3页。

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数导数问题中的应用命题点2同构法构造函数:

    这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数导数问题中的应用命题点2同构法构造函数,共3页。试卷主要包含了5种常见变形,3种基本形式等内容,欢迎下载使用。

    • 精品推荐
    • 所属专辑
    欢迎来到教习网
    • 900万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册
    qrcode
    二维码已过期
    刷新

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字、字母或符号

    注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    返回
    顶部
    Baidu
    map