备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数导数问题中的应用命题点2同构法构造函数

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数导数问题中的应用命题点2同构法构造函数，共3页。试卷主要包含了5种常见变形，3种基本形式等内容，欢迎下载使用。
A.ab＞eB.b＞ea+1
C.ab＜eD.b＜ea+1
解析 由题意知，a＞0，b＞0，由aea+1＋b＜blnb，得aea+1＜b（ln b－1），则aea＜
beln be.
解法一（构造左侧形式） aea＜（ln be）eln be，设f（x）＝xex，则f（a）＜f（ln be），且
ln be＞0.当x＞0时，f'（x）＝ex＋xex＞1＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，于是a＜ln be，即ea＜be，即ea+1＜b.
解法二（构造右侧形式） ealnea＜beln be，设f（x）＝xlnx，则f（ea）＜f（be），且ea＞1，ln be＞0，即be＞1.当x＞1时，f'（x）＝ln x＋1＞0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，于是ea＜be，即ea+1＜b.
解法三（取对数形式） ln a＋a＜ln （lnbe）＋ln be，设f（x）＝ln x＋x，则f（a）＜
f（ln be），且ln be＞0.当x＞0时，f'（x）＝1x＋1＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，于是a＜ln be，即ea＜be，即ea+1＜b.
（2）[2023天津一模]若0＜b＜a＜π2，则（ C ）
A.bea－eb＜aeb－ea
B.eb＋1ea＋2a＞ea＋1eb＋2b
C.asinb＋b＜bsina＋a
D.sinbcsa＞sin a
解析 对于A，令f（x）＝exx+1，0＜x＜π2，则f'（x）＝xex（x+1）2＞0，故f（x）在（0，π2）上单调递增，则f（a）＞f（b），即eaa+1＞ebb+1，所以ea（b＋1）＞eb（a＋1），即bea－eb＞aeb－ea，故A错误；
对于B，令f（x）＝ex－1ex－2x，0＜x＜π2，则f'（x）＝ex＋1ex－2＞2ex·1ex－2＝0，故
f（x）在（0，π2）上单调递增，则f（a）＞f（b），即eb－1eb－2b＜ea－1ea－2a，所以eb＋1ea＋2a＜ea＋1eb＋2b，故B错误；
对于C，令f（x）＝sinx－1x，0＜x＜π2，则f'（x）＝xcsx－sinx+1x2＞0，故f（x）在（0，π2）上单调递增，则f（a）＞f（b），即sina－1a＞sinb－1b，所以b（sin a－1）＞a（sin b－1），即asinb＋b＜bsina＋a，故C正确；
对于D，当b＝π6，a＝π3时，sin bcsa＝14＜sin a＝32，故D错误.故选C.
方法技巧
1.同构法，即通过等价变形把不等式或等式两边转化为结构相同的形式，即转化为同源函数，进而利用该函数的单调性求解.
2.5种常见变形
（1）xex＝ex＋ln x（x＞0）；（2）exx＝ex－ln x（x＞0）；（3）xex＝elnx－x（x＞0）；（4）x＋ln x＝ln（x·ex）；（5）x－ln x＝lnexx.
3.3种基本形式
训练2 （1）已知函数f（x）＝xa－alnx（a＞0），g（x）＝ex－x，若x∈（1，e2）时，
f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的最大值是（ B ）
A.1B.eC.e22D.e2
解析 由f（x）≤g（x）可得xa－alnx≤ex－x，即xa－ln xa≤ex－ln ex，构造函数m（t）＝t－ln t，t∈（1，＋∞），则m'（t）＝1－1t＝t－1t＞0，所以m（t）＝t－ln t在（1，
＋∞）上单调递增，故由m（xa）≤m（ex）可得，xa≤ex，又x∈（1，e2），所以a≤xlnx恒成立.令h（x）＝xlnx，x∈（1，e2），则h'（x）＝lnx－1（lnx）2，令h'（x）＞0，得e＜x＜e2，令h'（x）＜0，得1＜x＜e，所以函数h（x）＝xlnx在（1，e）上单调递减，在（e，e2）上单调递增，所以h（x）min＝h（e）＝e，即a≤e，所以a的最大值是e.
（2）[多选/2023山东省青岛质检]已知0＜x1＜x2＜1，则下列不等式恒成立的为（ AC ）
A.x1ex2＜x2ex1B.x1ln x1＜x2ln x2
C.x2ln x1＜x1ln x2D.ex1－x2ln x1＞ln x2
解析 A.令f（x）＝exx且0＜x＜1，则f'（x）＝（x－1）exx2＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减，又0＜x1＜x2＜1，所以f（x2）＜f（x1）⇒ex2x2＜ex1x1⇒x1ex2＜x2ex1，A正确；
B.令f（x）＝xlnx且0＜x＜1，则f'（x）＝1＋ln x，所以在（0，1e）上f'（x）＜0，
f（x）单调递减，在（1e，1）上f'（x）＞0，f（x）单调递增，而0＜x1＜x2＜1，此时不能比较f（x2），f（x1）的大小，B错误；
C.令f（x）＝lnxx且0＜x＜1，则f'（x）＝1－lnxx2＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，又0＜x1＜x2＜1，所以f（x2）＞f（x1）⇒lnx2x2＞lnx1x1⇒x2ln x1＜x1ln x2，C正确；
D.令f（x）＝exlnx且0＜x＜1，则f'（x）＝exx（1＋xlnx），且exx＞0，令g（x）＝1＋xlnx且0＜x＜1，则g'（x）＝1＋ln x，在（0，1e）上g'（x）＜0，g（x）单调递减，在（1e，1）上g'（x）＞0，g（x）单调递增，则g（x）≥g（1e）＝1－1e＞0，故f'（x）＝exx·g（x）＞0，f（x）单调递增，又0＜x1＜x2＜1，所以f（x2）＞f（x1）⇒ex2ln x2＞ex1ln x1⇒
ex1－x2ln x1＜ln x2，D错误.故选AC.基本形式
同构变形
和差型：
ea±a＞b±lnb
同左：ea±a＞elnb±lnb，构造函数g（x）＝ex±x
同右：ea±lnea＞b±lnb，构造函数f（x）＝x±lnx
乘积型：
aea≤blnb
同左：aea≤（ln b）elnb，构造函数g（x）＝xex
同右：ealnea≤blnb，构造函数f（x）＝xlnx
a＞0时，取对数：a＋ln a＜ln b＋ln（lnb），构造函数h（x）＝x＋ln x
比商型：
eaa＜blnb
同左：eaa＜elnblnb，构造函数g（x）＝exx
同右：ealnea＜blnb，构造函数f（x）＝xlnx
a＞0时，可取对数：a－ln a＜ln b－ln（lnb），构造函数h（x）＝x－ln x