备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破2利用导数研究恒能成立问题命题点2等价转化求参数范围

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（1）当a＝8时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）＜sin 2x，求a的取值范围.
解析 （1）当a＝8时，f（x）＝8x－sinxcs3x，x∈（0，π2），
f'（x）＝8－cs4x+3sin2xcs2xcs6x＝8＋2cs2x－3cs4x.
令1cs2x＝t，则t∈（1，＋∞），
令h（t）＝－3t2＋2t＋8＝－（3t＋4）（t－2），
当t∈（1，2）时，h（t）＞0；当t∈（2，＋∞）时，h（t）＜0.
故当x∈（0，π4）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（π4，π2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
综上，f（x）在区间（0，π4）上单调递增，在区间（π4，π2）上单调递减.
（2）令g（x）＝f（x）－sin 2x＝ax－sinxcs3x－sin 2x，
则g'（x）＝a－cs4x+3sin2xcs2xcs6x－2cs 2x＝a－cs2x+3sin2xcs4x－4cs2x＋2＝a－（－2cs2x+3cs4x＋4cs2x－2），
令u＝cs2x，则u∈（0，1），令k（u）＝－2u+3u2＋4u－2，
则k'（u）＝2u－6u3＋4＝4u3+2u－6u3.
当u∈（0，1）时，k'（u）＜0，∴k（u）在（0，1）上单调递减，
∵k（1）＝3，∴当u∈（0，1）时，k（u）＞3，
∴k（u）的值域为（3，＋∞）.
①当a≤3时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π2）上单调递减，
∵当x∈（0，π2）时，g（x）＜0，∴f（x）＜sin 2x.
②当a＞3时，∃x0∈（0，π2）使得g'（x0）＝0，
∴g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，π2）上单调递减，
∴g（x0）＞0，∴f（x）＜sin 2x不成立.
综上所述，a的取值范围为（－∞，3].
方法技巧
对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看成常数，通过分析，变形，合理构造函数（常用的有作差构造，同构化构造等），转化成求函数的最值问题.
训练2 [全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝ex＋ax2－x.
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥12x3＋1，求a的取值范围.
解析 （1）当a＝1时，f（x）＝ex＋x2－x，f'（x）＝ex＋2x－1.易知f'（0）＝0，且
f'（x）在R上单调递增，故当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，＋∞）时，
f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.
（2）f（x）≥12x3＋1等价于（12x3－ax2＋x＋1）e－x≤1.
设函数g（x）＝（12x3－ax2＋x＋1）e－x（x≥0），则
g'（x）＝－（12x3－ax2＋x＋1－32x2＋2ax－1）e－x
＝－12x[x2－（2a＋3）x＋4a＋2]e－x
＝－12x（x－2a－1）（x－2）e－x.
（i）若2a＋1≤0，即a≤－12，则当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，2）上单调递增，故g（x）＞1，不合题意.
（ii）若0＜2a＋1＜2，即－12＜a＜12，则当x∈（0，2a＋1）∪（2，＋∞）时，g'（x）＜0；当x∈（2a＋1，2）时，g'（x）＞0.所以g（x）在（0，2a＋1），（2，＋∞）上单调递减，在（2a＋1，2）上单调递增.
因为g（0）＝1≤1，要使g（x）≤1，则g（2）＝（7－4a）e－2≤1，即a≥7－e24.
所以当7－e24≤a＜12时，g（x）≤1.
（iii）若2a＋1≥2，即a≥12，则g（x）≤（12x3＋x＋1）e－x.
由于0∈[7－e24，12），故由（ii）可得（12x3＋x＋1）e－x≤1.
故当a≥12时，g（x）≤1.
综上，a的取值范围是[7－e24，＋∞）.