备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点3解三角形中的证明问题

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（1）证明：c2－b2＝13a2；
（2）若a＝3，点D在边BC上，且AD⊥BC，AD＝3，求△ABC的周长.
解析 （1）由sin CcsB－2sin BcsC＝0，可得sin C·csB＋sin BcsC＝3sin BcsC，
所以sin（B＋C）＝3sin BcsC，由B＋C＝π－A，可得sin（B＋C）＝sin A，即sin A＝3sin BcsC，
所以a＝3b×a2＋b2－c22ab，可得2a2＝3a2＋3b2－3c2，即c2－b2＝13a2.
（2）由（1）及a＝3，知c2－b2＝3，可得c2＝b2＋3，
由余弦定理得cs ∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝b2－3bc.
由AD⊥BC，AD＝3，可得S△ABC＝12×3×3＝332，
又S△ABC＝12bcsin ∠BAC，所以12bcsin ∠BAC＝332，可得sin ∠BAC＝33bc.
因为cs2∠BAC＋sin2∠BAC＝（b2－3bc）2＋（33bc）2＝1，c2＝b2＋3，所以b2＝4，解得b＝2，c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋2＋7＝5＋7.
方法技巧
对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者之间的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即可得证.
训练3 [2023石家庄市三检]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin A＝4sin CcsB，且c＝2.
（1）证明：tan B＝3tan C；
（2）若b＝23，求△ABC外接圆的面积.
解析 （1）因为sin A＝4sin CcsB，所以sin（B＋C）＝4sin CcsB，
即sin BcsC＋cs BsinC＝4sin CcsB，即sin BcsC＝3sin CcsB，
所以tan B＝3tan C.
（2）因为sin A＝4sin CcsB，所以a＝4c·a2＋c2－b22ac，
即a2＋2c2－2b2＝0.
又b＝23，c＝2，所以a＝4，
所以c2＋b2＝a2，所以A＝π2，
则△ABC外接圆的半径R＝12a＝2，
所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π.