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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点2多三角形问题
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点2多三角形问题,共2页。
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
解析 (1)由题易得BDa=sinCsin∠ABC.在△ABC中,由正弦定理得sinCsin∠ABC=cb,则BDa=cb,即BD·b=ac,
又b2=ac,所以BD·b=b2,又b>0,所以BD=b.
(2)解法一 由题意可知AD=23b,DC=13b.在△ABD与△ABC中,cs∠BAD=cs∠BAC,所以c2+49b2-b22c·23b=c2+b2-a22bc ①.将b2=ac代入①式可得6a2-11ac+3c2=0,即(2a-3c)(3a-c)=0,所以c=23a或c=3a.
当c=23a时,cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=49a2+a2-23a243a2=712;
当c=3a时,cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=9a2+a2-3a26a2=76>1(舍).
综上,cs∠ABC=712.
解法二 由题意可得,AD=23AC,所以BD=BA+AD=BA+23AC=BA+23(BC-BA)=13BA+23BC,则BD2=19c2+49a2+49accs∠ABC ①,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accs∠ABC ②,
联立①②得11b2=3c2+6a2,
因为b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,
所以c=3a或c=23a.以下同解法一.
方法技巧
多三角形问题的解题思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件(如公共边,公共角,邻角之间的关系),求出结果.
训练2 [全国卷Ⅰ]如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB= -14 .
解析 依题意得,AE=AD=3,在△AEC中,AC=1,∠CAE=30°,由余弦定理得EC2=AE2+AC2-2AE·ACcs∠CAE=3+1-23cs 30°=1,所以EC=1,所以CF=EC=1.又BC=AC2+AB2=1+3=2,BF=BD=AD2+AB2=6,所以在△BCF中,由余弦定理得cs∠FCB=BC2+CF2-BF22BC×CF=22+12-(6)22×2×1=-14.
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