备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点1解三角形中的最值范围问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点1解三角形中的最值范围问题，共2页。
例1 [2022新高考卷Ⅰ]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA＝sin2B1+cs2B.
（1）若C＝2π3，求B；
（2）求a2＋b2c2的最小值.
解析 （1）因为csA1+sinA＝sin2B1+cs2B，
所以csA1+sinA＝2sinBcsB2cs2B，
易知cs B≠0，所以csA1+sinA＝sinBcsB，
所以cs AcsB＝sin B＋sin Asin B，
所以cs（A＋B）＝sin B，
所以sin B＝－cs C＝－cs 2π3＝12.
因为B∈（0，π3），所以B＝π6.
（2）由（1）得cs（A＋B）＝sin B，
所以sin[π2－（A＋B）]＝sin B，且0＜A＋B＜π2，
所以0＜B＜π2，0＜π2－（A＋B）＜π2，
所以π2－（A＋B）＝B，解得A＝π2－2B，
由正弦定理得a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C＝sin2（π2－2B）＋sin2B1－sin2B＝cs22B＋sin2Bcs2B＝（2cs2B－1）2+1－cs2Bcs2B＝4cs4B－5cs2B+2cs2B＝4cs2B＋2cs2B－5≥24cs2B×2cs2B－5＝42－5，当且仅当cs2B＝22时取等号，所以a2＋b2c2的最小值为42－5.
方法技巧
解三角形中的最值（范围）问题的求解方法
注意 注意题目中隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，｜b－c｜＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等.
训练1 [全国卷Ⅱ]△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin BsinC.
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）由正弦定理和已知条件得a2－b2－c2＝bc.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得cs A＝－12.
因为0＜A＜π，所以A＝2π3.
（2）由BC＝a＝3，A＝2π3，得bsinB＝csinC＝asinA＝23，
从而b＝23sin B，c＝23sin（π－A－B）＝3cs B－3sin B，
故a＋b＋c＝3＋3sin B＋3cs B＝3＋23sin（B＋π3）.
又0＜B＜π3，所以π3＜B＋π3＜2π3，
故当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.函数法
利用“一角一函数”模型或二次函数模型求解.
基本不等式法
先转化为“和”或“积”为定值的形式，然后利用基本不等式求解.
几何法
根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.