备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题

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解析 由（2b＋c）cs∠BAC＋acsC＝0，结合正弦定理，
得2sin Bcs∠BAC＋sin Ccs∠BAC＋sin∠BACcsC＝0，
即2sin Bcs∠BAC＋sin B＝0，又sin B≠0，所以cs∠BAC＝－12，所以∠BAC＝2π3.
因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝π3，S△ABC＝12bcsin∠BAC＝34bc，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝12×4csin π3＋12×4bsin π3＝3（b＋c），所以34bc＝3（b＋c），所以1b＋1c＝14.S△ABC＝3（b＋c）＝43（b＋c）（1b＋1c）＝43（2＋cb＋bc）≥163，当且仅当b＝c时等号成立，故△ABC面积的最小值是163.
2.[2024西安调研]在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足tan A＋
tan B＋tan C＝33tan Atan B，若c＝2，则a2＋b2的取值范围是 （4，28）∪（28，16＋83] .
解析 解法一 在斜三角形ABC中，tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C，tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtanB，则－tan C＝tanA＋tanB1－tanAtanB，故tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan BtanC＝33tan A·
tan B，且tan Atan B≠0，故tan C＝33，
∵0＜C＜π，∴C＝π6.
∵c2＝a2＋b2－2abcs C，c＝2，
∴4＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－3ab≥a2＋b2－3（a2＋b2）2，
∴a2＋b2≤16＋83，当且仅当a＝b时取等号.
又a2＋b2＝c2＋2abcs C＝4＋3ab＞4，且△ABC为斜三角形，
∴B≠π2，A≠π2，
∴a2＋b2≠28，∴a2＋b2的取值范围是（4，28）∪（28，16＋83].
解法二 由解法一得C＝π6，
∴由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝4，
即a＝4sin A，b＝4sin B，
∴a2＋b2＝16（sin2A＋sin2B）＝16（1－cs2A2＋1－cs2B2）＝16－8（cs 2A＋cs 2B），
∵cs 2B＝cs[2π－（2A＋2C）]＝cs（2A＋2C）＝cs（2A＋π3），
∴a2＋b2＝16－8[cs 2A＋cs（2A＋π3）]＝16－8（cs 2A＋12cs 2A－32sin 2A）＝16－
8（32cs 2A－32sin 2A）＝16－83cs（2A＋π6），
又△ABC是斜三角形，
∴0＜A＜5π6，且A≠π3，A≠π2，
∴－1≤cs（2A＋π6）＜32，且cs（2A＋π6）≠－32，
∴a2＋b2∈（4，28）∪（28，16＋83].
3.[2023浙江名校联考]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
acsB－bcsA＝a－c.
（1）求B；
（2）若b＝7，a＝2，M为边AC的中点，求BM的长.
解析 （1）解法一 因为acsB－bcsA＝a－c，
所以由余弦定理化简得b2＝a2＋c2－ac.
所以cs B＝a2＋c2－b22ac＝12，结合B∈（0，π），得B＝π3.
解法二 由acsB－bcsA＝a－c，结合正弦定理可得
sin AcsB－sin BcsA＝sin A－sin C，
因为sin C＝sin（A＋B）＝sin AcsB＋cs Asin B，
所以sin AcsB－sin BcsA＝sin A－sin AcsB－cs Asin B，
化简得cs B＝12.
因为0＜B＜π，所以B＝π3.
（2）因为b＝7，a＝2，
所以cs∠ABC＝a2＋c2－b22ac＝4+c2－74c＝12，解得c＝3.
因为M为边AC的中点，
所以BM＝12（BA＋BC），
所以｜BM｜＝12（ BA＋BC）2＝129+4+6＝192，
即BM的长为192.
4.[2024福建漳州调研]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin（B＋π6）＝b＋ca.
（1）求角A；
（2）若BC边上的高h＝34a，求cs BcsC.
解析 （1）由2sin（B＋π6）＝b＋ca可得3sin B＋cs B＝b＋ca，
由正弦定理得3sin B＋cs B＝sinB＋sinCsinA，
即3sin Asin B＋sin AcsB＝sin B＋sin（A＋B），
即3sin Asin B＋sin AcsB＝sin B＋sin AcsB＋cs Asin B，
即3sin Asin B＝sin B＋cs Asin B.
又sin B≠0，所以3sin A－cs A＝1，即sin（A－π6）＝12.
由0＜A＜π，得A＝π3.
（2）△ABC的面积S＝12a·34a＝12bcsin A，所以可得a2＝2bc.
由正弦定理得sin2A＝2sin BsinC，得sin BsinC＝38.
又cs（B＋C）＝－cs A＝－12，即cs BcsC－sin BsinC＝－12，
所以cs BcsC＝－18.
5.[2024安徽六校联考]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a－ccsC＝bcsB.
（1）求角B的大小；
（2）若BC的中点为D且AD＝3，求a＋2c的最大值.
解析 （1）由已知2a－ccsC＝bcsB，利用正弦定理可得2sin∠BAC－sinCcsC＝sinBcsB，
即（2sin∠BAC－sin C）cs B＝sin BcsC，
所以2sin∠BACcs B＝sin BcsC＋sin CcsB＝sin（B＋C），
又∠BAC＋B＋C＝π，
所以2sin∠BACcs B＝sin∠BAC，
因为∠BAC∈（0，π），
所以sin∠BAC＞0，
所以cs B＝12，
又B∈（0，π），所以B＝π3.
（2）在△ABD中，由正弦定理BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB＝ADsinB，得BDsin∠BAD＝ABsin∠ADB＝3sinπ3＝2，
设∠BAD＝θ，则a＝4sin θ，c＝2sin（θ＋π3），
所以a＋2c＝4[sin θ＋sin（θ＋π3）]＝43（32sin θ＋12cs θ）＝43sin（θ＋π6），
在△ABD中，B＝π3，所以θ∈（0，2π3），θ＋π6∈（π6，5π6），
所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，sin（θ＋π6）取得最大值1，
所以a＋2c的最大值为43.
6.在①ccsAa＝2sin2C2，②atanAcsB＝btanBcsA，③a2sinBcsB＝b2sinAcsA且C≠π2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若D为边BC的中点，且AD＝1，求△ABC周长的最大值.
解析 （1）方案一：选条件①.
由ccsAa＝2sin2C2及正弦定理，得sinCcsAsinA＝1－cs C，
所以sin CcsA＝sin A－sin AcsC，即sin A＝sin（A＋C）＝sin B，
又0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝B或A＋B＝π（不合题意，舍去），
故△ABC是等腰三角形.
方案二：选条件②.
由atanAcsB＝btanBcsA，得asinAcsBcsA＝bsinBcsAcsB，
所以asinA＝bsinB，
由正弦定理，得a2＝b2，故a＝b，
所以△ABC为等腰三角形.
方案三：选条件③.
由a2sinBcsB＝b2sinAcsA及正弦定理，得sin2AsinBcsB＝sin2BsinAcsA，
所以sin AcsA＝sin BcsB，得sin 2A＝sin 2B，
又0＜A＜π，0＜B＜π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
又C≠π2，所以A＝B，（求出两角的关系后，要进行验证，对结果进行取舍）
所以△ABC为等腰三角形.
（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且a＝b.
在△ABD中，由余弦定理，得1＝c2＋a24－2c×a2×c2a，
化简得a2＋2c2＝4.
设△ABC的周长为l，则l＝a＋b＋c＝2a＋c，
所以l2＝（2a＋c）2＝4a2＋4ac＋c2≤4a2＋（4c）2＋a22＋c2＝9（a2+2c2）2＝9×42＝18，
当且仅当4c＝a，a2+2c2=4，即a＝423，c＝23时取等号，（利用基本不等式求最值时，要注明等号成立的条件）
所以△ABC周长的最大值lmax＝18＝32.
7.[2023福建质检]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（A＋π6）.
（1）求C；
（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，BA·BD＝BA2，求四边形ABCD面积的最大值.
解析 （1）因为b＝2csin（A＋π6），所以在△ABC中，由正弦定理得，sin B＝2sin C·
sin（A＋π6），
又sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C），
所以sin（A＋C）＝2sin Csin（A＋π6），
展开得sin AcsC＋cs Asin C＝2sin C（32sin A＋12cs A），
即sin AcsC－3sin CsinA＝0，
又sin A≠0，所以cs C＝3sin C，即tan C＝33.
又C∈（0，π），所以C＝π6.
（2）解法一 如图，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R.
因为BA·BD＝BA2，所以BA·（BD－BA）＝0，即BA·AD＝0，所以DA⊥BA，
故BD是☉O的直径，所以BC⊥CD.
在△ABC中，c＝1，2R＝csin∠BCA＝1sinπ6＝2，所以BD＝2.
在△ABD中，AD＝BD2－AB2＝3.
设四边形ABCD的面积为S，BC＝x，CD＝y，则x2＋y2＝4，
S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB·AD＋12BC·CD＝32＋12xy≤32＋12·x2＋y22＝32＋1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立.
所以四边形ABCD面积的最大值为32＋1.
解法二 如图，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，向量BD在向量BA上的投影向量为λBA，
所以BA·BD＝BA·（λBA）＝λ｜BA｜2.
又BA·BD＝BA2＝｜BA｜2，所以λ＝1，
所以向量BD在向量BA上的投影向量为BA，
所以DA⊥BA，
故BD是☉O的直径，
所以BC⊥CD.
在△ABC中，c＝1，2R＝csin∠BCA＝1sinπ6＝2，所以BD＝2.
在△ABD中，AD＝BD2－AB2＝3.
设四边形ABCD的面积为S，∠CBD＝θ，θ∈（0，π2），
则CB＝2cs θ，CD＝2sin θ，
S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB·AD＋12CB·CD＝32＋sin 2θ，
当2θ＝π2，即θ＝π4时，S最大，为32＋1.
所以四边形ABCD面积的最大值为32＋1.
解法三 如图，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R.
因为BA·BD＝BA2，
所以BA·（BD－BA）＝0，
即BA·AD＝0，
所以DA⊥BA，
故BD是☉O的直径，
所以BC⊥CD.
在△ABC中，c＝1，2R＝csin∠BCA＝1sinπ6＝2，所以BD＝2.
在△ABD中，AD＝BD2－AB2＝3.
设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，
则S＝S△ABD＋S△CBD＝12AB·AD＋12BD·h＝32＋h，
当h＝R＝1时，S最大，为32＋1.
所以四边形ABCD面积的最大值为32＋1.
8.[2024湖南张家界调考]如图，在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，BE⊥CD.
（1）求证：b2＋c2＝5a2.
（2）求cs∠BAC的取值范围.
解析 （1）连接AF，设AF，BE，CD的交点为G，则G为△ABC的重心.
由CD⊥BE，可得FG＝12BC＝12a，AG＝2FG＝a，则AF＝32a.（三角形重心的性质的应用）
在△ABF中，由余弦定理得c2＝（32a）2＋（12a）2－2×32a×12a×cs∠AFB ①，
在△ACF中，由余弦定理得b2＝（32a）2＋（12a）2－2×32a×12a×cs∠AFC ②.
因为∠AFC＋∠AFB＝π，
所以cs∠AFC＝－cs∠AFB，
①＋②，得b2＋c2＝5a2.
（2）因为△ABC为锐角三角形，
所以a2＋b2＞c2，b2＋c2＞a2，c2＋a2＞b2，
所以3b2＞2c2，3c2＞2b2，
则23＜b2c2＜32，即63＜bc＜62.
所以cs∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－15（b2＋c2）2bc＝25（bc＋cb）.
设bc＝t，则63＜t＜62，cs∠BAC＝25（t＋1t）.
令f（t）＝t＋1t，t∈（63，62），易得f（t）在（63，1）上单调递减，在（1，62）上单调递增，
所以当t∈（63，62）时，f（t）≥f（1）＝2，f（t）＜f（63）＝f（62）＝566，
则45≤cs∠BAC＜63，
故cs∠BAC的取值范围为[45，63）.