备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破1球的切接问题命题点2内切球问题

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解析 易知半径最大的球即该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，所以内切球的体积V＝43πR3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为23π.
（2）已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则a的最大值为 2 .
解析 解法一 由题意知，正四面体在圆锥内可以任意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设球心为P，圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，连接SO，易知P在SO上，SO⊥AB，则OA＝OB＝32.
因为SO＝332，所以SA＝SB＝SO2＋OB2＝3，
所以△SAB为等边三角形，可知点P是△SAB的中心.
连接BP，PQ，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°，设正四面体外接球的半径为r，于是tan 30°＝r32＝33，即r＝33×32＝32，所以正四面体外接球的半径为32.
因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a，
则64a＝32，求得a＝2，所以a的最大值为2.
解法二 由题意知，正四面体在圆锥内可以任意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，圆锥的轴截面如图所示，则OA＝OB＝32.
连接SO，则SO⊥AB，SO＝332，所以SA＝SB＝SO2＋OB2＝3，△SAB的面积S△SAB＝934.
由三角形内切圆半径公式r＝2S三角形a＋b＋c（其中S三角形是三角形的面积，a，b，c是三角形的三边长，r是三角形内切圆半径）知，△SAB内切圆的半径r＝32.
因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a，则64a＝32，求得a＝2，所以a的最大值为2.
方法技巧
求解常见几何体的内切球半径的方法
训练2 （1）[2023河南省部分名校联合检测]已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球O的球面上，底面△ABC是边长为3的等边三角形.若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则r＝（ B ）
A.1B.13－14
C.32D.3（13－1）14
解析 如图，设底面△ABC的中心为Q，连接BQ，OQ，则BQ＝3×32×23＝3，且OQ⊥底面ABC，延长线段QO交球面于点P，此时三棱锥P－ABC的体积取得最大值.连接OB，因为球O的半径为2，所以OB＝2，在Rt△OQB中，OQ＝22－（3）2＝1，所以三棱锥P－ABC的体积的最大值为V＝13×34×32×（2＋1）＝934，此时PB＝32＋（3）2＝23，
S三棱锥P－ABC＝34×32＋3×12×3×（23）2－（32）2＝934（1＋13），
由等体积法知934＝13×934（1＋13）×r，解得r＝31+13＝13－14.故选B.
（2）[2024江苏省淮安市涟水县第一中学模拟]已知三棱柱ABC－EFG中，GC⊥AC，AE⊥BC，平面EBC⊥平面AEB，AC＝5，若该三棱柱存在体积为43π的内切球，则三棱锥
A－EBC的体积为（ B ）
A.23B.4C.2D.43
解析 设内切球的半径为R，则43πR3＝43π，所以R＝1.因为AE⊥BC，AE∥GC，所以GC⊥BC，又GC⊥AC，且AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，所以GC⊥平面ABC，所以三棱柱ABC－EFG为直三棱柱，即侧棱垂直于底面，且侧棱长为2.
作AO⊥BE交BE于O点，连接CO，如图所示.
因为平面EBC⊥平面AEB，平面EBC∩平面AEB＝BE，AO⊂平面AEB，所以AO⊥平面EBC，又BC⊂平面EBC，所以AO⊥BC.
因为EA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EA⊥BC，
又EA∩AO＝A，EA，AO⊂平面AEB，所以BC⊥平面AEB，
而AB⊂平面AEB，所以AB⊥BC.
设AB＝a，BC＝b，可得R＝a＋b－AC2＝a＋b－52＝1，解得a＋b＝7，又a2＋b2＝25，可得ab＝12，则V三棱锥A－EBC＝V三棱锥E－ABC＝13S△ABC×AE＝13×12ab×2＝4.故选B.几何体
求内切球半径R的方法
正方体（棱长为a）
R＝a2
正四面体（棱长为a）
R＝612a
三棱锥
1.过球心O、顶点P、切点M作截面图，部分截面图如图所示，利用相似三角形对应边成比例求解，即OMO1D＝POPD，R＝OM＝OO1.
2.等体积法：将三棱锥分割为以内切球球心为顶点，三棱锥的四个面为底面的棱锥，利用三棱锥的体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径.