备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破2空间几何体的截面交线问题命题点2截面的面积问题

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A.334B.233C.324D.32
解析 如图，记该正方体为ABCD－A1B1C1D1，要使正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，那么平面α必须与正方体的体对角线AC1垂直.连接B1C，B1D1，CD1，易知平面α与平面B1CD1平行或重合.
设截面与棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的交点分别为E，F，G，H，I，J.
不妨设A1E＝x（0≤x≤1），则DJ＝x，延长EJ，HI交于点M，则M∈直线AD，显然△MEH是边长为2的正三角形，△MJI是边长为2x的正三角形，所以S四边形EHIJ＝S△MEH－S△MJI＝34（2－2x2），
同理可得S四边形EHGF＝34[2－2（1－x）2]＝34（4x－2x2），
所以截面面积S＝34（2＋4x－4x2）＝34[3－（1－2x）2]≤334，
当且仅当x＝12时等号成立.
故当x＝12时，截面面积取得最大值，最大值为334.
方法技巧
求解截面的面积（或面积的最值）问题，关键是准确判断截面的形状.
（1）如果截面的几何图形确定，那么可以利用平面几何知识求出其面积的大小；
（2）如果截面的几何图形不确定，那么可以讨论截面几何图形面积的最大、最小值，此时求解需要根据题意设立相关点的位置参量，建立截面面积的目标函数，然后利用函数知识求解.
注意 在求解截面面积的最值时，需要根据几何体和截面的变化来确定相关参量的取值范围.
训练2 [多选/2023南京模拟]如图，已知三棱锥A－BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且ACBD＝m，AMMB＝n，其中m，n∈（0，＋∞）.下列说法正确的是（ ABC ）
A.对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形
B.当AC⊥BD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形
C.当m＝1时，截面MNPQ的周长与n无关
D.当AC⊥BD，且AC＝BD＝2时，截面MNPQ的面积的最大值为2
解析 因为AC∥平面MNPQ，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，所以AC∥MN.同理AC∥PQ，所以MN∥PQ.由BD∥平面MNPQ，同理可得MQ∥NP.所以四边形MNPQ是平行四边形，所以选项A正确.
由选项A可知，当AC⊥BD时，有MN⊥MQ，所以四边形MNPQ是矩形.因为AMMB＝n，所以MQBD＝nn+1，MNAC＝1n+1，所以MQ＝nn+1·BD，MN＝1n+1·AC，若四边形MNPQ是正方形，则MN＝MQ，即1n+1·AC＝nn+1·BD，所以ACBD＝n，又ACBD＝m，所以当AC⊥BD时，对任意的m，当n＝m时，四边形MNPQ是正方形，所以选项B正确.
当m＝1时，AC＝BD，所以四边形MNPQ的周长为2（MN＋MQ）＝2（1n+1·AC＋nn+1·BD）＝2（1n+1·AC＋nn+1·AC）＝2AC，所以四边形MNPQ的周长与n无关，所以选项C正确.
当AC⊥BD，且AC＝BD＝2时，四边形MNPQ是矩形，且MQ＝nn+1·BD＝2nn+1，MN＝1n+1·AC＝2n+1，所以四边形MNPQ的面积S＝MQ·MN＝2nn+1·2n+1＝4n（n+1）2＝4nn2+2n+1＝4n＋1n+2≤42n·1n+2＝1，当且仅当n＝1时等号成立，所以四边形MNPQ的面积的最大值为1，所以选项D错误.故选ABC.