备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破3立体几何中的动态问题命题点1空间位置关系的判定问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破3立体几何中的动态问题命题点1空间位置关系的判定问题，共2页。
例1 [多选/2021新高考卷Ⅰ]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足BP＝λBC＋μBB1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ BD ）
A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B.当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值
C.当λ＝12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D.当μ＝12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
解析 BP＝λBC＋μBB1（0≤λ≤1，0≤μ≤1）.
对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝2＋1+μ2＋1+（1－μ）2＝2＋1+μ2＋2－2μ＋μ2，不是定值，A错误；
图1图2
对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，
则V三棱锥P－A1BC＝V三棱锥A1－PBC＝13S△PBC×32＝36S△PBC＝36×12×1×1＝312，为定值，故B正确；
对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B，则当λ＝12时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即（32）2＋（1－μ）2＋（12）2＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；
解法一 由多选题特征，排除A，C，故选BD.
解法二 对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1.设AB1与A1B交于点K，连接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确.综上，选BD.
解法三 对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝12时，点P在线段EF上运动.以点C1为坐标原点建立如图3所示的空间直角坐标系C1xyz，则B（0，1，1），B1（0，1，0），A1（32，12，0），P（0，
1－λ，12），所以A1B＝（－32，12，1），B1P＝（0，－λ，12）.易得A1B⊥AB1，若A1B⊥B1P，则A1B⊥平面AB1P，所以－λ2＋12＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确.综上，选 BD.图3
方法技巧
解决空间位置关系的动点问题的方法
（1）特殊位置法.
（2）应用位置关系定理转化法.
（3）建立空间直角坐标系计算法.
训练1 [2023惠州第一次调研]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD＝O，M是PC上的动点，当点M满足 DM⊥PC（答案不唯一） 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
解析 由题意知，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC.
∵平面PCD为固定平面，平面MBD为运动平面，且运动平面MBD中的固定直线BD垂直PC，∴只需在运动平面MBD中找到一条与BD相交且垂直于PC的直线即可使平面MBD⊥平面PCD，则DM⊥PC，BM⊥PC等都满足要求.