备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题命题点1翻折问题

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例1 [全国卷Ⅲ]图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE.
（2）求图2中的二面角B－CG－A的大小.
图 1图2
解析 （1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，（位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变）
所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，（与“折痕”垂直的线段，翻折前后垂直关系不变）
又BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.
又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
（2）如图，作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCGE＝BC，所以EH⊥平面ABC.
由题设知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝3.
以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（－1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG＝（1，0，3），AC＝（2，－1，0）.
设平面ACGD的法向量为n＝（x，y，z），则CG·n=0，AC·n=0，即x＋3z=0，2x－y=0，
所以可得平面ACGD的一个法向量为n＝（3，6，－3）.
易知m＝（0，1，0）为平面BCGE的一个法向量，
则cs＜n，m＞＝n·m｜n||m｜＝32.
由图可知二面角B－CG－A为锐角，因此二面角B－CG－A的大小为30°.
方法技巧
1.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化.
注意 利用折叠前的平面图计算长度.
2.（1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变（常用于翻折后构成二面角的平面角）；
（2）与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.
训练1 已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝22，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线翻折到△A'BD的位置（A'不在平面ABCD内），则在翻折过程中，下列说法正确的是（ B ）
A.存在某个位置，使得直线BD与直线A'C垂直
B.存在某个位置，使得直线A'B与直线CD垂直
C.存在某个位置，使得直线BC与直线A'D垂直
D.对任意位置，三对直线“A'C与BD”“CD与A'B”“A'D与BC”均不相互垂直
解析 翻折前、后的图形如图1、图2所示.在图1中，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合.在图2中，连接CE.
对于选项A，若A'C⊥BD，因为BD⊥A'E，A'E∩A'C＝A'，所以BD⊥平面A'CE.因为CE⊂平面A'CE，所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故选项A错误.对于选项B，若A'B⊥CD，因为A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC.因为A'C⊂平面A'DC，所以A'B⊥A'C，由A'B＜BC可知存在这样的三角形，使得直线A'B与直线CD垂直，此时A'B＝A'C＝2，故选项B正确.对于选项C，若A'D⊥BC，因为DC⊥BC，A'D∩DC＝D，所以BC⊥平面A'DC.因为A'C⊂平面A'DC，所以BC⊥A'C，又BC＞A'B，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误.由以上分析可知选项D错误.故选B.
训练2 [2023昆明市模拟]如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝12CD，∠ADC＝120°，E为CD的中点，将△ADE沿AE翻折，使点D落到点P的位置，如图2.
图1图2
（1）证明：PB⊥AE.
（2）当二面角P－AE－B等于90°时，求PA与平面PEC所成角的正弦值.
解析 （1）如图，取AE的中点O，连接PO，BO，BE.
由题意及题图1知，DA＝DE＝AB＝BE，
又PA＝DA，PE＝DE，所以PA＝PE.
所以PO⊥AE，BO⊥AE，
又PO∩BO＝O，所以AE⊥平面POB.
因为PB⊂平面POB，所以AE⊥PB，即PB⊥AE.
（2）因为二面角P－AE－B等于90°，
所以平面PAE⊥平面ABCE，
又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，所以OA，OB，OP两两垂直.
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，由已知得∠APE＝120°，所以OP＝OB＝1，OA＝OE＝3，
则P（0，0，1），A（3，0，0），C（－23，1，0），E（－3，0，0），PA＝（3，0，－1），EP＝（3，0，1），EC＝（－3，1，0）.
设平面PEC的法向量为n＝（x，y，z），
则EP·n=0，EC·n=0，即3x＋z=0，－3x＋y=0，
令x＝1，则y＝3，z＝－3，所以平面PEC的一个法向量为n＝（1，3，－3）.
设PA与平面PEC所成的角为θ，
则sin θ＝｜cs＜PA，n＞｜＝｜232×7｜＝217，
即PA与平面PEC所成角的正弦值为217.