备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题2

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题2，共5页。试卷主要包含了已知直线l，已知点A，已知圆O，已知动圆恒过定点F且与定直线l，已知点O2＋y2＝4上任意一点等内容，欢迎下载使用。
A.（0，12）B.[0，34]
C.[0，43]D.[12，43]
解析 解法一 由｜OP｜＝1，知点P在单位圆x2＋y2＝1上运动，则由题意知直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则｜－2k+1｜k2+1≤1，解得0≤k≤43，即k的取值范围是[0，43]，故选C.
解法二 因为直线l：y＝k（x－2）＋1（k∈R）上存在一点P，使得｜OP｜＝1，所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即｜－2k+1｜k2+1≤1，解得0≤k≤43，即k的取值范围是[0，43]，故选C.
2.已知点A（－1，0），B（2，0），若动点M满足｜MB｜＝2｜MA｜，直线l:x+y-2=0与x轴、y轴分别交于P，Q两点，则△MPQ的面积的最小值为（ D ）
A.4＋22B.4C.22D.4－22
解析 如图，设M（x，y），由｜MB｜＝2｜MA｜，得（x－2）2＋y2＝2（x+1）2＋y2，化简得（x＋2）2＋y2＝4，所以点M的轨迹是圆.由题意可知P（2，0），Q（0，2），则｜PQ｜＝22，圆（x＋2）2＋y2＝4的圆心N（－2，0）到直线l的距离d＝｜－2+0－2｜2＝22，所以点M到直线l的距离的最小值为22－2，所以S△MPQmin=12×22×22－2=4-22.故选D.
3.[2024江苏省常熟中学校考]设λ∈R，动直线l1：λx－y＋λ＝0过定点A，动直线l2：x＋λy－3－2λ＝0过定点B，若P为l1与l2的交点，则｜PA｜·｜PB｜的最大值为（ A ）
A.10B.20C.10D.25
解析 直线l1的方程可整理为λ（x＋1）－y＝0，令x+1=0，－y=0，解得x＝－1，y=0，所以A－1，0.直线l2的方程可整理为λ（y－2）＋x－3＝0，令x－3=0，y－2=0，解得x=3，y=2，所以B（3，2）.因为λ×1－1×λ＝0，所以l1⊥l2，所以点P是以AB为直径的圆上的点，又｜AB｜＝（－1－3）2＋（0－2）2＝25，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝20，所以｜PA｜·｜PB｜≤｜PA｜2＋｜PB｜22＝10，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝10时等号成立.故选A.
4.[多选/2023湖南益阳联考]在平面直角坐标系中，M（－2，0），N（1，0），A（3，1），｜PM｜＝2｜PN｜，设点P的轨迹为C，下列说法正确的是（ BD ）
A.C的方程为（x＋4）2＋y2＝12
B.△PMN面积的最大值为922
C.｜AP｜的最小值为42
D.若直线y＝2x＋1与C交于D，E两点，则｜DE｜＝655
解析 设点P（x，y），由｜PM｜＝2｜PN｜，得（x+2）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化简得（x－4）2＋y2＝18，故A错误；
当点P纵坐标的绝对值最大时，△PMN的面积最大，此时S△PMN＝12×3×32＝922，故B正确；
设轨迹C的圆心为E，半径为r，则E（4，0），r＝32，点A在圆内，所以｜AP｜min＝r-｜AE｜＝32－1+1＝22，故C错误；
易知轨迹C的圆心E到直线y＝2x＋1的距离为d＝95，｜DE｜＝2（32）2－（95）2=655，故D正确.故选BD.
5.已知圆O：x2＋y2＝1，过平面区域D内的每一个点均存在两条互相垂直的直线，它们均与圆O相交，则区域D的面积为 2π .
解析 如图所示，过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，此时PA⊥PB，连接OA，OB，则四边形PAOB是正方形，所以｜OP｜＝2，那么平面区域D就是以O为圆心、2为半径的圆及其内部，故区域D的面积为π（2）2＝2π.
6.[2023安徽合肥质检]已知AB为圆C：（x－2）2＋（y－m）2＝3的一条弦，M为线段AB的中点.若｜CM｜2＋｜OM｜2＝3（O为坐标原点），则实数m的取值范围是 -[2,2] .
解析 由题意可知C（2，m），设M（x，y），因为｜CM｜2＋｜OM｜2＝3，所以（x－2）2＋（y－m）2＋x2＋y2＝3，化简得x2＋y2－2x－my＋m22＋12＝0，即（x－1）2＋（y－m2）2＝2－m24，当2－m2＞0时，点M的轨迹是以D（1，m2）为圆心，半径r＝2－m22的圆；当2－m2＝0时，点M的轨迹为点（1，m2）.因为点M是圆C的一条弦的中点，所以点M在圆C的内部，所以圆D或点（1，m2）在圆C的内部，所以2－m2>0，（2－1）2＋（m－m2）2＜3－2－m22或2－m2=0，（1－2）2＋（m2－m）2