备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值范围问题命题点2范围问题

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（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P（0，－3）的直线l的斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线y＝－3于点M，N，若｜PM｜＋｜PN｜≤15，求k的取值范围.
解析 （1）由题意可知，b＝2，2ab＝45，所以a＝5，
所以椭圆E的标准方程为x25＋y24＝1.
（2）由题意可得直线l的方程为y＝kx－3，由y＝kx－3，x25＋y24=1，消去y得（4＋5k2）x2－30kx＋25＝0，Δ＝（－30k）2－4×25×（4＋5k2）＝400（k2－1）＞0，所以k＞1或k＜－1，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1＋x2＝30k5k2+4，x1x2＝255k2+4 ①.
直线AB的方程为y＋2＝y1+2x1x，令y＝－3，则x＝－x1y1+2，
所以M（－x1y1+2，－3），｜PM｜＝｜－x1y1+2｜＝｜x1y1+2｜，
同理得｜PN｜＝｜x2y2+2｜.
因为x1x2＞0，即x1，x2正负相同，且y1＋2＞0，y2＋2＞0，所以｜PM｜＋｜PN｜＝｜x1y1+2｜＋｜x2y2+2｜≤15，
即｜x1（y2+2）＋x2（y1+2）（y1+2)(y2+2）｜≤15，
从而｜x1（kx2－1）＋x2（kx1－1）（kx1－1)(kx2－1）｜≤15 ②.
由①②可得，｜k｜≤3.综上可得－3≤k＜－1或1＜k≤3.
所以k的取值范围为[－3，－1）∪（1，3].
方法技巧
圆锥曲线中最值（范围）问题的求解方法
训练2 [2023福建连江一中模拟]设双曲线C：x22－y23＝1，F1，F2为其左、右两个焦点.
（1）设O为坐标原点，M为双曲线C的右支上任意一点，求OM·F1M的取值范围；
（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值（大于｜F1F2｜），且cs∠F1PF2的最小值为－19，求动点P的轨迹方程.
解析 （1）设M（x，y），x≥2，左焦点F1（－5，0），
∵OM·F1M＝（x，y）·（x＋5，y）＝x2＋5x＋y2＝x2＋5x＋3x22－3＝52x2＋5x－3（x≥2），对称轴为直线x＝－55≤2，
∴OM·F1M∈[2＋10，＋∞）.
（2）由椭圆定义得P点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），
∵｜F1F2｜＝25，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，
∴cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－202｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜－202｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2－202｜PF1｜·｜PF2｜－1，
由基本不等式得2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜≥2｜PF1｜·｜PF2｜，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜时等号成立，
∴｜PF1｜·｜PF2｜≤a2，则cs∠F1PF2≥4a2－202a2－1＝－19，
∴a2＝9，b2＝4，
∴动点P的轨迹方程为x29＋y24＝1.
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
代数法
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.