备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点2探索性问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点2探索性问题，共2页。
（1）求C的方程.
（2）是否存在过点P（1，－12）的直线l与C相交于A，B两点，且满足P是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
解析 （1）已知点A（2，1）在C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，
所以4a2－1a2－1＝1，整理得a4－4a2＋4＝0，解得a2＝2，则a＝2，所以C的方程为x22-y2=1.
（2）由题可知若直线存在，则直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k（x－1）－12，且设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x122－y12=1，x222－y22=1，
两式相减得：（x1－x2）（x1＋x2）＝2（y1－y2）（y1＋y2），由于P（1，－12）为AB中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－1，则k＝y1－y2x1－x2＝－1，
则直线l的方程为y＝－（x－1）－12，即y＝－x＋12，
由y＝－x＋12，x22－y2=1，得2x2－4x＋5＝0，
Δ＝（－4）2－4×2×5＝－24＜0，方程无实根.
故不存在过点P（1，－12）的直线l与该双曲线相交于A，B两点，且满足P是线段AB的中点.
方法技巧
探索性问题的解题策略
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
训练2 [2023济南市学情检测]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，直线y＝3x为C的一条渐近线.
（1）求C的方程.
（2）若过点（2，0）的直线与C交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得MP·MQ为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解析 （1）由题意知，2a＝2，ba＝3，解得a＝1，b＝3，
所以双曲线C的方程为x2－y23＝1.
（2）若直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x＝my＋2，代入x2－y23＝1并整理得，（3m2－1）y2＋12my＋9＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则3m2－1≠0，Δ＝36m2＋36＞0，y1＋y2＝－12m3m2－1，y1y2＝93m2－1.
假设在x轴上存在定点M（t，0），使得MP·MQ为定值.
MP·MQ＝（x1－t）（x2－t）＋y1y2＝（m2＋1）y1y2＋（2－t）m（y1＋y2）＋（2－t）2＝（12t－15）m2+93m2－1＋（2－t）2.
若MP·MQ为定值，则必有12t－153＝9－1，
解得t＝－1，此时MP·MQ＝0.
若直线PQ的斜率为0，则可取P（－1，0），Q（1，0），M（－1，0），
所以MP·MQ＝（0，0）·（2，0）＝0.
所以在x轴上存在定点M（－1，0），使得MP·MQ为定值0.