备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合命题点1概率与统计图表综合

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例1 [2022新高考卷Ⅱ]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率.
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1％，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16％.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.000 1）.
解析 （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄x＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率P＝（0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020）×10＝0.89.
（3）设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50）为事件A，患这种疾病为事件B，则P（A）＝16％＝0.16，P（B）＝0.001，
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50）的概率为0.023×10＝0.23，即P（A｜B）＝0.23，
所以P（AB）＝P（B）P（A｜B）＝0.001×0.23＝0.000 23，
所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50），则此人患这种疾病的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝≈0.001 4.
方法技巧
此类问题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决此类问题的关键.在弄清统计图表的含义的基础上要掌握好样本的数字特征、各类概率及随机变量的分布列、均值与方差的求解方法.
训练1 [2023重庆市模拟]某校随机抽取100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下.若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8 h的有30人.
（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；
（2）每天学习时间在[6.0，6.5）的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽取2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在[6.0，6.5）和[7.0，7.5）的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[6.0，6.5）的人数的分布列和数学期望.
解析 （1）由（b＋0.22）×0.5×100＝30，得b＝0.38.
∵0.5×（0.14＋a＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22）＝1，∴a＝0.26.
（2）从7名学生中抽取2人进行电话访谈的基本事件数为C72＝21.
记抽取的学生有男生为事件A，则P（A）＝C42＋C41C3121＝67.
记抽取的学生有女生为事件B，则P（AB）＝C41C3121＝47.
则P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝23，即抽取的2人恰好为一男一女的概率为23.
（3）从每天学习时间在[6.0，6.5）和[7.0，7.5）的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，抽取的8人中每天学习时间在[6.0，6.5）的人数为14×8＝2，每天学习时间在[7.0，7.5）的人数为34×8＝6.
设选中的3人中每天学习时间在[6.0，6.5）的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝C63C83＝514，P（X＝1）＝C21C62C83＝1528，P（X＝2）＝C22C61C83＝328，
∴X的分布列为
∴X的数学期望E（X）＝0×514＋1×1528＋2×328＝34.X
0
1
2
P
514
1528
328