备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质

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在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（π2，1），① （π，0） ，（3π2，－1），② （2π，0） .
在余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（π2，0），③ （π，－1） ，（3π2，0），④ （2π，1） .
五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
注意 y＝tan x在其定义域内不单调.
常用结论
1.三角函数的对称性与周期T的关系
（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为T2；
（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为T4；
（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T.
2.与三角函数奇偶性有关的结论
（1）若函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）；若为偶函数，则φ＝kπ＋π2（k∈Z）.
（2）若函数y＝Acs（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数，则φ＝kπ＋π2（k∈Z）；若为偶函数，则φ＝kπ（k∈Z）.
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.
1.设A是△ABC最小的内角，则sin A＋cs A的取值范围是（ D ）
A.（－2，2）B.[－2，2]C.（1，2）D.（1，2]
解析 ∵A是△ABC最小的内角，∴0＜A≤π3，∴π4＜A＋π4≤7π12，∴22＜sin（A＋π4）≤1，则
sin A＋cs A＝2sin（A＋π4）∈（1，2]，故选D.
2.函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期为（ A ）
A.π4B.π2C.πD.2π
解析 函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期T＝π｜ω｜＝π｜－4｜＝π4.
3.[全国卷Ⅱ]若x1＝π4，x2＝3π4是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ A ）
A.2B.32C.1D.12
解析 依题意得函数f（x）的最小正周期T＝2πω＝2×（3π4－π4）＝π，解得ω＝2，选A.
4.函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的一条对称轴的方程是（ C ）
A.x＝π4B.x＝π2C.x＝－π4D.x＝－π2
解析 函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2（k∈Z），令x－π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝kπ＋3π4（k∈Z），故函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋3π4（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－π4.故选C.
5.[易错题]函数y＝2sin（－x＋π3）（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（ A ）
A.[－π，－π6]B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]
解析 令π2＋2kπ≤－x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，则－7π6－2kπ≤x≤－π6－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－π，－π6].
6.函数f（x）＝tan（3x＋π6）的图象的对称中心为 （kπ6－π18，0）（k∈Z） .
解析 令3x＋π6＝kπ2，k∈Z，解得x＝kπ6－π18，k∈Z，
所以f（x）的图象的对称中心为（kπ6－π18，0），k∈Z.
研透高考 明确方向
命题点1 三角函数的定义域
例1 函数y＝lg（sin x）＋csx－12的定义域为 {x｜2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z} .
解析 要使函数有意义，则sinx>0，csx－12≥0，解得2kπ＜x＜π+2kπ（k∈Z),－π3+2kπ≤x≤π3+2kπ（k∈Z),所以2kπ＜x≤π3＋2kπ（k∈Z），所以函数的定义域为{x｜2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}.
方法技巧
求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.
训练1 函数f（x）＝tanx·tan2xtan2x－tanx的定义域为 {x｜x≠kπ4，k∈Z} .
解析 tan 2x，tan x有意义，则x≠π2＋kπ，2x≠π2＋kπ，k∈Z，又tan 2x－tan x≠0，即2tanx1－tan2x－
tan x≠0，则tan x≠0，即x≠kπ，k∈Z，综上可得，x≠kπ4，k∈Z，则函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ4，k∈Z}.
命题点2 三角函数的值域（最值）
例2 （1）[2021全国卷乙]函数f（x）＝sin x3＋cs x3的最小正周期和最大值分别是（ C ）
A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2
解析 因为函数f（x）＝sinx3＋csx3＝2（sinx3csπ4＋csx3sinπ4）＝2sin（x3＋π4），所以函数f（x）的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.
（2）已知函数f（x）＝cs（2x＋π3）＋2的定义域为[α，π]，值域为[52，3]，则α的取值范围是（ C ）
A.[2π3，π]B.[0，2π3]C.[2π3，5π6]D.[π2，5π6]
解析 由题意知，2x＋π3∈[2α＋π3，7π3]，且y＝cs（2x＋π3）在[α，π]上的值域为[12，1]，∴2α＋π3≥5π3，且2α＋π3≤2π，解得2π3≤α≤5π6，∴α的取值范围是[2π3，5π6]，故选C.
方法技巧
三角函数值域的不同求法
1.把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.
2.把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
3.利用sin x±csx和sin xcsx的关系转换成二次函数求值域.
训练2 （1）[2023四川省模拟]已知函数f（x）＝cs2x＋sin x－14的定义域为[0，m]，值域为[34，1]，则实数m的最大值为（ A ）
A.πB.7π6C.4π3D.3π2
解析 由已知，得f（x）＝cs2x＋sin x－14＝1－sin2x＋sin x－14＝－sin2x＋sin x＋34，令t＝sin x，函数f（x）可转换为y＝－t2＋t＋34＝－（t－12）2＋1，因为y∈[34，1]，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈[π2，π]，所以实数m的最大值为π，故选A.
（2）函数y＝sin x－cs x＋sin xcsx的值域为 [－2－12，1] .
解析 令sin x－cs x＝t，则t＝2sin（x－π4），t∈[－2，2]，t2＝sin2x＋cs2x－
2sin xcsx，故sin xcsx＝1－t22，所以y＝t＋1－t22＝－12（t－1）2＋1，所以当t＝1时，函数有最大值1；当t＝－2时，函数有最小值－2－12，即值域为[－2－12，1].
命题点3 三角函数的性质及应用
角度1 三角函数的周期性
例3 （1）[2023天津高考]已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（ B ）
A.f（x）＝sin（π2x）B.f（x）＝cs（π2x）
C.f（x）＝sin（π4x）D.f（x）＝cs（π4x）
解析 对于A，f（x）＝sin（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝sin π＝0，所以函数f（x）＝sin（π2x）的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f（x）＝
cs（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝cs π＝－1，所以函数f（x）＝
cs（π2x）的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin（π4x）和y＝cs（π4x）的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，选B.
（2）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝tanx1+tan2x的最小正周期为（ C ）
A.π4B.π2C.πD.2π
解析 f（x）＝tanx1+tan2x＝sinxcsx1+sin2xcs2x＝sinxcsxcs2x＋sin2x＝sin xcsx＝12sin 2x，所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.
方法技巧
1.求三角函数周期的基本方法
（1）定义法.（2）公式法：函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acs（ωx＋φ））的最小正周期T＝2π｜ω｜，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝π｜ω｜.（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.
2.有关周期的2个结论
（1）函数y＝｜Asin（ωx＋φ）｜，y＝｜Acs（ωx＋φ）｜，y＝｜Atan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均为π｜ω｜.
（2）函数y＝｜Asin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜Acs（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均为2π｜ω｜.
角度2 三角函数的单调性
例4 （1）[2022北京高考]已知函数f（x）＝cs2x－sin2x，则（ C ）
A.f（x）在（－π2，－π6）上单调递减
B.f（x）在（－π4，π12）上单调递增
C.f（x）在（0，π3）上单调递减
D.f（x）在（π4，7π12）上单调递增
解析 依题意可知f（x）＝cs2x－sin2x＝cs 2x，对于A，因为x∈（－π2，－π6），所以2x∈（－π，－π3），函数f（x）＝cs 2x在（－π2，－π6）上单调递增，所以A不正确；对于B，因为x∈（－π4，π12），所以2x∈（－π2，π6），函数f（x）＝cs 2x在（－π4，π12）上不单调，所以B不正确；对于C，因为x∈（0，π3），所以2x∈（0，2π3），函数f（x）＝cs 2x在（0，π3）上单调递减，所以C正确；对于D，因为x∈（π4，7π12），所以2x∈（π2，7π6），函数f（x）＝cs 2x在（π4，7π12）上不单调，所以D不正确.故选C.
（2）[全国卷Ⅱ]若f（x）＝cs x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是（ A ）
A.π4B.π2C.3π4D.π
解析 f（x）＝cs x－sin x＝2cs（x＋π4），因为函数y＝cs x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f（x）在[－a，a]上是减函数，｜－π4｜＜3π4，所以
－a≥－π4，解得a≤π4.又区间[－a，a]有意义时，a＞0，所以0＜a≤π4，所以a的最大值是π4.
方法技巧
三角函数单调性问题的常见类型及求解策略
角度3 三角函数的奇偶性与对称性
例5 （1）[2022全国卷甲]将函数f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ C ）
A.16B.14C.13D.12
解析 记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin[ω（x＋π2）＋π3]＝sin[ωx＋（π2ω＋π3）].因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），得ω＝2k＋13（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝13.故选C.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]记函数f（x）＝sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，则f（π2）＝（ A ）
A.1B.32C.52D.3
解析 因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2πω＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，所以b＝2，且sin（3π2ω＋π4）＋b＝2，即sin（3π2ω＋π4）＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以13π4＜3π2ω＋π4＜19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以
f（x）＝sin（52x＋π4）＋2，所以f（π2）＝sin（52×π2＋π4）＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A.
方法技巧
1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0），令ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，求出对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出对称中心的横坐标（纵坐标为0）.对于y＝Acs（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解（注意y＝Atan（ωx＋φ）的图象无对称轴）.
说明 选择题可以通过验证f（x0）的值进行判断，即f（x0）＝±A⇔x＝x0是函数f（x）图象的对称轴方程；f（x0）＝0⇔点（x0，0）是函数f（x）图象的对称中心.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acsωx＋b的形式.
训练3 （1）[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－5π12）＝（ D ）
A.－32B.－12C.12D.32
解析 由题意得12×2π｜ω｜＝2π3－π6＝π2，解得｜ω｜＝2，易知x＝π6是f（x）的最小值点.若ω＝2，则π6×2＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－5π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（2x－6π5＋2kπ）＝sin（2x－5π6），f（－5π12）＝sin（－5π12×2－5π6）＝sin（－5π3）＝sinπ3＝32；若ω＝
－2，则π6×（－2）＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝
sin（－2x－π6＋2kπ）＝sin（－2x－π6）＝sin（2x－56π），所以f（－5π12）＝32.故选D.
（2）在函数①y＝cs｜2x｜，②y＝｜cs x｜，③y＝cs（2x＋π6），④y＝tan（2x－π4）中，最小正周期为π的所有函数为（ A ）
A.①②③B.①③④
C.②④D.①③
解析 对于①，y＝cs｜2x｜＝cs 2x，其最小正周期为2π2＝π；对于②，y＝｜cs x｜的最小正周期为π；对于③，y＝cs（2x＋π6）的最小正周期为2π2＝π；对于④，y＝tan（2x－π4）的最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.
（3）函数f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝ 5π6 ，f（x）图象的对称中心为 （π4＋kπ2，1），k∈Z .
解析 ∵f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1为偶函数，∴－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又φ∈（0，π），∴φ＝5π6，∴f（x）＝3sin（2x＋π2）＋1＝3cs 2x＋1.由2x＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π4＋kπ2，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（π4＋kπ2，1），k∈Z.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.借助单位圆能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在（－π2，π2）上的性质.
三角函数的定义域
本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域（最值）、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.
三角函数的值域（最值）
2021全国卷乙T4
三角函数的性质及应用
2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9
三角函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
⑤ {x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域
⑥ [－1，1]
⑦ [－1，1]
R
周期性
周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑧ 2π .
周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑨ 2π .
周期是kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑩ π .
对称性
对称轴方程是⑪ x＝kπ＋π2 （k∈Z），对称中心是⑫ （kπ，0） （k∈Z）.
对称轴方程是⑬ x＝kπ （k∈Z），对称中心是⑭ （kπ＋π2，0） （k∈Z）.
无对称轴，对称中心是
⑮ （π2，0） （k∈Z）.
奇偶性
⑯ 奇函数
⑰ 偶函数
⑱ 奇函数
单调性
在⑲ [－π2＋2kπ，π2＋2kπ] （k∈Z）上单调递增，在⑳ [π2＋2kπ，3π2＋2kπ] （k∈Z）上单调递减.
在㉑ [2kπ－π，2kπ] （k∈Z）上单调递增，在㉒ [2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上单调递减.
在㉓ （－π2＋kπ，π2＋kπ） （k∈Z）上单调递增.
常见类型
求解策略
已知三角函数解析式求单调区间
（1）将函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）；
（2）利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个整体，根据y＝sin x的单调区间列不等式求解.对于y＝Acs（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解.
注意 求函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的单调区间时要先看A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.
已知三角函数的单调性求参数
（1）求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不等式（组）求解.
（2）由所给区间求出“ωx＋φ”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.