备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第1讲任意角和蝗制三角函数的概念

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（1）任意角
角的分类按旋转方向不同分类正角：一条射线绕其端点按①逆时针 方向旋转形成的角负角：一条射线绕其端点按②顺时针 方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角轴线角：角的终边落在③坐标轴 上
（2）弧度制
注意 1.用弧度制表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，但用角度制表示角的大小时，度（°）一定不能省略.
2.正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
3.利用扇形的弧长和面积公式时，要注意角的单位必须是弧度.
常用结论
1.象限角及轴线角
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β｜β＝α＋2kπ，k∈Z}.
注意 1.第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.
2.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，不相等的角的终边有可能相同.
2.任意角的三角函数
（1）任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝⑦ y ，cs α＝⑧ x ，tan α＝⑨ yx （x≠0）.
推广：设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r，即r＝x2＋y2，则sin α＝⑩ yr ，cs α＝⑪ xr ，tan α＝⑫ yx （x≠0）.
（2）三角函数值在各象限内的符号
上述符号的规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
注意 已知三角函数值的符号，判断角的终边所在位置时，不要遗漏终边在坐标轴上的情况，如sin π2＝1＞0，cs π＝－1＜0.
（3）特殊角的三角函数值
3.角的终边的对称性
（1）β，α的终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.
（2）β，α的终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
（3）β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
1.下列说法正确的是（ B ）
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
C.若sin α＝sin β，则α与β的终边相同
D.若α，β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0
解析 对于A，当三角形内角为π2时，角的终边在y轴上，A错误；对于B，角的大小只与旋转方向及角度有关，B正确；对于C，若α＝π6，β＝5π6，此时sin α＝sin β，但α与β的终边不相同，C错误；对于D，π3与5π3的终边关于x轴对称，但π3＋5π3＝2π≠0，D错误.
2.已知P（－4，3）是角α的终边上一点，则cs α＝（ D ）
A.45B.－35C.35D. －45
解析 设点P（－4，3）到原点O的距离为r，则r＝（－4）2＋32＝5，所以cs α＝xr＝－45，故选D.
3.已知α是第一象限角，那么α2是（ D ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角
解析 易知2kπ＜α＜π2＋2kπ，k∈Z，故kπ＜α2＜π4＋kπ，k∈Z，所以α2是第一或第三象限角.
4.[全国卷Ⅰ]若tan α＞0，则（ C ）
A.sinα＞0B.csα＞0C.sin 2α＞0D.cs 2α＞0
解析 因为tan α＞0，所以α为第一或第三象限角，即2kπ＜α＜2kπ＋π2或2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z，则4kπ＜2α＜4kπ＋π或4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.所以2α为第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角，从而sin 2α＞0.
5.在直径为20 cm的圆中，4π3的圆心角所对弧的长为 40π3 cm.
解析 由弧长公式l＝｜α｜r可得，弧长为4π3×202＝40π3（cm）.
6.[易错题]已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为 12π .
解析 ∵圆心角α＝30°＝π6，l＝｜α｜r，∴r＝2ππ6＝12，∴扇形面积S＝12lr＝12×2π×12＝12π.
研透高考 明确方向
命题点1 任意角及其表示
例1 （1）时针经过四个小时，转过了（ B ）
A.2π3 radB.－2π3 radC.5π6 radD.－5π6 rad
解析 因为时针顺时针旋转，所以转过一圈的弧度为－2π rad，则时针经过四个小时，转过了412×（－2π）rad＝－2π3 rad.
（2）终边在直线y＝3x上的角的集合为（ B ）
A.{β｜β＝kπ＋π6，k∈Z}B.{β｜β＝kπ＋π3，k∈Z}
C.{β｜β＝2kπ＋π6，k∈Z}D.{β｜β＝2kπ＋π3，k∈Z}
解析 解法一 易知直线y＝3x的倾斜角为π3.若终边落在射线y＝3x（x≥0）上，则有β＝2nπ＋π3，n∈Z，若终边落在射线y＝3x（x≤0）上，则有β＝2nπ＋4π3，n∈Z.综上可得β＝kπ＋π3，k∈Z.故终边在直线y＝3x上的角的集合为{β｜β＝kπ＋π3，k∈Z}.故选B.
解法二 易知直线y＝3x的倾斜角为π3.终边落在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}，将其逆时针旋转π3，即可得到终边在y＝3x上的角，故所求集合为{β｜β＝kπ＋π3，k∈Z}.
方法技巧
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k（k∈Z）赋值来求得所需的角.
2.确定kα，αk（k∈N*）的终边位置的方法：先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置.
训练1 [2023湖北十堰月考]与9π4终边相同的角的表达式中，正确的是（ D ）
A.45°＋2kπ，k∈ZB.k·360°＋π4，k∈Z
C.k·360°＋315°，k∈ZD.2kπ－7π4，k∈Z
解析 在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误.与9π4终边相同的角可以写成2kπ＋9π4（k∈Z）的形式，k＝－2时，2kπ＋9π4＝－7π4，315°换算成弧度制为7π4，所以C错误，D正确.故选D.
命题点2 扇形的弧长公式与面积公式
例2 [2023天津南开中学统练]如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若l1l2＝2，则S1S2＝（ A ）
A.3B.4C.1D.2
解析 设∠BOC＝α（α＞0），由l1l2＝2，得OA·αOB·α＝OAOB＝2，即OA＝2OB，则S1S2＝12α·OA2－12α·OB212α·OB2＝OA2－OB2OB2＝4OB2－OB2OB2＝3.故选A.
方法技巧
有关扇形弧长和面积问题的解题策略
（1）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
（3）扇形面积的最值问题，常转化为二次函数的最值问题.
训练2 （1）[2023广东深圳统考]荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，秋千源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为85°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ B ）
A.68π9米B.34π9米C.13.6米D.198米
解析 由题意得最大摆角，即圆心角｜α｜＝85π180＝17π36，半径R＝8，由弧长公式可得l＝｜α｜·R＝17π36×8＝34π9（米）.故选B.
（2）[2024河北张家口期中]如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB＝（ A ）
A.3sin 1B.3sin 2
C.3sin 1°D.3sin 2°
解析 设扇形的圆心角为α（α＞0），半径为r，弧长为l，则l＋2r＝6，l＝6－2r，由r>0，l=6－2r>0，可得0＜r＜3，所以扇形的面积为S＝12lr＝（3－r）r≤（3－r＋r2）2＝94，当且仅当3－r＝r，即r＝32时，扇形的面积S最大，此时l＝6－2r＝3.因为l＝αr，所以扇形的圆心角α＝lr＝332＝2.
如图，取线段AB的中点E，连接OE，由垂径定理可知OE⊥AB，因为OA＝OB，所以∠AOE＝12∠AOB＝12×2＝1，所以AB＝2AE＝2OAsin 1＝3sin 1.故选A.
命题点3 三角函数定义的应用
角度1 利用三角函数的定义求值
例3 [2023南京江宁区模拟]在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝－2，则cs α＝（ B ）
A.－255B.－55
C.55D.255
解析 ∵角α的终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝tan α＝－2，∴4x＝－2，∴x＝－2，∴cs α＝－2（－2）2＋42＝－55，故选B.
方法技巧
三角函数的定义中常见的三种题型及解题方法
训练3 已知角α的终边经过点P（－1，m），且sin α＝－35，则tan α的值是（ B ）
A.±34B.34C.－34D.43
解析 ∵角α的终边经过点P（－1，m），∴sin α＝mm2+1＝－35，解得m＝－34，∴tan α＝－m＝34.故选B.
角度2 判断三角函数值的符号
例4 （1）[全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则（ D ）
A.cs 2α＞0B.cs 2α＜0
C.sin 2α＞0D.sin 2α＜0
解析 由α为第四象限角，故－π2＋2kπ＜α＜2kπ（k∈Z），可得－π＋4kπ＜2α＜4kπ（k∈Z），所以2α的终边
在第三、四象限或y轴的非正半轴上，因此sin 2α＜0，cs 2α的正负无法确定.
（2）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝3x上，且
sin α＜0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜＝10（O为坐标原点），则m－n等于（ A ）
A.2B.－2C.4D.－4
解析 因为P（m，n）在直线y＝3x上，所以n＝3m ①，又sin α＜0，所以m＜0，n＜0.由｜OP｜＝10，得m2＋n2＝10 ②.
联立①②，并结合m＜0，n＜0，可得m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2.
方法技巧
判断三角函数值的符号，先确定角所在象限，再根据三角函数在各象限的符号确定正负.若不确定角所在象限，需分类讨论求解.注意角的终边在坐标轴上的情况.
训练4 [2023福建漳州质检]已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于（ D ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数值的符号与角的终边所在象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.故选D.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
任意角及其表示
该讲知识比较基础，单独命题比较少，常见的命题点有三角函数定义的应用，扇形的弧长公式和面积公式的应用，有时也应用于圆锥的平面展开图的有关计算，题型以选择题和填空题为主，难度不大.预计2025年高考单独命题的概率不大，但作为三角部分的基础，还是需要掌握.
扇形的弧长公式与面积公式
2020新高考卷ⅠT15
三角函数定义的应用
2021北京T14；2020全国卷ⅡT2
定义
长度等于④ 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
圆心角α的弧度数公式
｜α｜＝lr（弧长用l表示，半径用r表示）.
角度与弧度的换算
a.1°＝π180 rad≈0.017 45 rad；b.1 rad＝（180π）°≈57.30°.
弧长公式
l＝⑤ ｜α｜r .
扇形面积公式
S＝⑥ 12l·r ＝12｜α｜·r2.
角α
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
角α的弧度数
0
π12
⑬ π6
⑭ π4
⑮ π3
5π12
π2
sin α
0
6－24
⑯ 12
⑰ 22
⑱32
6＋24
1
cs α
1
6＋24
⑲ 32
⑳ 22
㉑ 12
6－24
㉒ 0
tan α
㉓ 0
2－3
㉔ 33
㉕ 1
㉖ 3
2＋3
㉗ 不存在
题型
解题方法
已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值.
先求出点P到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解.
已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横（纵）坐标，求与角α有关的三角函数值.
先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题.
已知角α的终边所在的直线方程（y＝kx，k≠0），求角α的三角函数值.
先设出终边上一点P（a，ka），a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
注意 由于终边所在的象限不确定，因此取点时应分a＞0和a＜0两种情况讨论.